ENSINO DO SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL: O QUE FALAM AS PROFESSORAS?

Maria Luiza Laureano Rosas, UFPE, adailrosas@bol.com.br
Ana Coelho Vieira Selva, UFPE, anacvselva@uol.com.br

Introdução
Este trabalho tem por objetivo compreender, através da fala de professoras, como o Sistema de Numeração Decimal – SND tem sido ensinado na 1ª série do Ensino Fundamental do Recife. Por que o SND? Porque é incontestável a importância do SND no processo de alfabetização matemática, uma vez que o “entendimento do funcionamento do sistema de numeração é fundamental na compreensão dos algoritmos e mesmo na realização das operações básicas” (MORETTI, 1999, p.27). 
O SND é um sistema notacional composto de princípios e propriedades para representar quantidades que precisam ser compreendidas por seus usuários. No entanto, estes princípios foram sendo construídos a partir da necessidade que o homem primitivo teve de quantificar o mundo para atender as exigências cotidianas de contar o tempo, os animais, os produtos, as pessoas da família e da comunidade, levando-o a reconhecer, registrar e comparar quantidades. 
Ao longo da história, foram criados vários sistemas de numeração, cada um com seus princípios e regras específicos, porém, um sistema que resistiu ao tempo e às necessidades humanas foi o hindu-arábico ou sistema de numeração decimal - SND, devido ao fato de ser o mais econômico na escrita, pois com apenas dez símbolos/algarismos (0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) é possível registrar qualquer quantidade, facilitando a leitura e a escrita de números.
Entretanto, estes símbolos são artificiais, pois não se relacionam com as quantidades que representam. Por isso é preciso memorização de uma ordem fixa associada às quantidades. Esta memorização, porém, é insuficiente para ler, interpretar e produzir números, tornando-se necessário compreender as regras de funcionamento do sistema (SILVA, 1990). Vejamos, então as regras básicas do funcionamento do SND:
•	É organizado por agrupamentos e reagrupamentos em base dez;
•	É posicional, uma vez que um mesmo símbolo representa valores diferentes, dependendo da posição que ocupa no número;
•	É aditivo porque se obtém o valor de número pela soma dos valores posicionais de cada algarismo;
•	É multiplicativo, visto que o valor do algarismo é multiplicado pelo valor da posição ocupada;
•	Tem no zero a função de guardar posição vazia no número.
Para fazer uso adequado do sistema, o usuário precisa compreender estes princípios. Isto não é tão simples assim, todavia, convivemos cotidianamente com situações que envolvem leitura, interpretação e escrita de números. As crianças, desde muito cedo, convivem com informações a respeito da lógica do sistema, mesmo sem compreendê-la. Estas informações precisam ser exploradas e ampliadas no âmbito escolar. 

Ensino do Sistema de Numeração Decimal
Quando pensamos em SND, lembramos de seus princípios e regras e da teia de conceitos que envolvem este conhecimento matemático. Cada recurso que usamos para trabalhar o SND permite maior clareza ou transparência de determinados princípios do sistema. Tomemos por exemplo situações de compra e venda com dinheiro em miniatura ou fichas coloridas que representam os valores monetários para trabalhar o sistema: é possível explorar a composição aditiva e o aspecto multiplicativo da numeração, mas não fica claro o princípio da posicionalidade. Vejamos ainda o ábaco e o quadro-valor-do-lugar - QVL, trabalham muito bem a posicionalidade, distribuindo as quantidades nas casas de valores diferentes; os agrupamentos e reagrupamentos na base dez; e o zero como mantenedor de lugar. Já com o material dourado é possível trabalhar a base dez e seus agrupamentos, os princípios aditivos e multiplicativos, mas não há clareza quanto à posição dos números. Desta forma, esta compreensão por parte do professor sobre as possibilidades e limites de cada recurso é fundamental para que ele planeje melhor sua prática pedagógica, oportunizando aos alunos uma variedade de situações que permita ampliar a compreensão dos mesmos sobre o Sistema de Numeração Decimal. 
Analisando a compreensão do sistema de numeração decimal, Vergnaud (1991) recomenda que seu ensino do SND deve considerar:
•	O trabalho com diferentes bases;
•	A exploração e/ou manipulação de diferentes recursos pedagógicos;
•	A articulação dos princípios do sistema de numeração com as regras das operações matemáticas.
É interessante lembrar que a teia de conceitos deve ser explorada através de situações desafiadoras que estimulem o aluno a pensar sobre a situação, acionando, confrontando e modificando conhecimentos, experimentando diferentes estratégias e socializando descobertas. O mundo numérico está exposto na sociedade, contudo precisamos refletir sobre ele, analisando seus contextos e sua lógica estrutural para que possamos lhe dar sentido e significado.
Durante muito tempo entendia-se o ensino do SND enquanto reprodução exaustiva de seqüências numéricas. Isto garantiria a compreensão do sistema. Entretanto, alguns pesquisadores se dedicaram a estudar como crianças compreendem a lógica do sistema numérico, trazendo-nos informações valiosas para a compreensão do processo ensino-aprendizagem do sistema de numeração. 
Carraher (1982), por exemplo, realizou estudos com crianças de primeira e segunda séries com a finalidade de investigar se a compreensão da composição aditiva do número capacita as crianças a escrever e interpretar números multidígitos, através de situações de compra em venda. A pesquisadora concluiu que as crianças podem entender a composição aditiva do número sem saber ler e escrever números, contudo, as crianças que lêem e escrevem números compreendem a composição aditiva. Como vemos, esta pesquisa combate diretamente a idéia tradicional da compreensão da lógica do sistema de numeração está subordinada à aprendizagem da escrita de números, visto que as crianças, mesmo sem saber escrever números corretamente, já compreendem princípios básicos do sistema de numeração. 
Já Lerner e Sadovsky (1994) pesquisaram como crianças de cinco a oito anos se aproximam da compreensão da numeração escrita. Para isto foram feitas entrevistas clínicas com duplas de crianças com questionamentos e atividades de comparação e produção de números. O estudo detectou que desde cedo as crianças constróem hipóteses para escrever e ler números, seja fazendo uso da quantidade e da posição dos algarismos para comparar números, seja se apoiando na vivência anterior com números rasos (dezenas fechadas, centenas fechadas...) para escrever outros números, seja se baseando na numeração falada para elaborar considerações a respeito da numeração escrita. As pesquisadoras chegaram à conclusão que estabelecer regularidades no sistema de numeração é uma condição necessária para compreender as regras do sistema e neste processo as crianças criam estratégias que estão diretamente ligadas à convivência com este sistema. Contudo é necessário que a criança tenha, dentro do espaço escolar, oportunidades constantes e variadas de comparar, escrever e ler números, isto é, refletir sobre as regularidades do sistema.
As pesquisas acima comentadas nos remetem a uma consideração importante: não é reproduzindo exaustivamente seqüências numéricas que a criança compreende o sistema de numeração. Ela convive, desde cedo, com este sistema, levantando idéias e criando ferramentas relacionadas às informações numéricas que lhe são acessíveis para compreendê-lo. Por isto, a importância de se oportunizar às crianças momentos de reflexão acerca de informações numéricas, lendo, interpretando, comparando e produzindo números. Desta forma, as regularidades do sistema e seus princípios vão se tornando claros e compreensíveis para a criança, à medida que for refletindo sobre os mesmos. 
	De acordo com Zunino (1995), no entanto, a forma como é ensinado o sistema de numeração, na maioria das escolas, não valoriza nem explora as estratégias de compreensão criadas pelas crianças como ponto de partida para a apropriação do sistema. Resultando, assim, num ensino desinteressante e pouco reflexivo do sistema, isto é, um ensino mecânico. Contudo, fazer dessas orientações uma constante na prática docente requer preparo, interesse numa aprendizagem significativa e persistência por parte do professor.
	Diante disto, retomando nosso objetivo de pesquisa, propomo-nos a investigar como ocorre o ensino do SND na 1ª série do Ensino Fundamental do Recife e, para tanto, traçamos um percurso metodológico que nos permitiu nos aproximar de nosso objeto de estudo.  

Metodologia
A pesquisa foi realizada através de entrevista semi-estruturada com onze professoras de 1ª série do Ensino Fundamental de seis escolas municipais do Recife. Todas com experiência mínima de cinco anos de ensino, sendo que nove delas concluíram o ensino superior: seis em Pedagogia e três em outras licenciaturas. As outras duas estão cursando Pedagogia.
As entrevistas, que foram gravadas e integralmente transcritas, objetivaram compreender como o professor de primeira série tem trabalhado o SND em sala de aula e as perguntas abordaram as seguintes questões: como é o ensino do SND; o que tem sido avaliado na aprendizagem do SND; dificuldades observadas na aprendizagem do SND e estratégias de ensino para superar tais dificuldades.
Os dados obtidos, que foram classificados e analisados considerando o referencial teórico consultado, possibilitaram-nos uma visão parcial de como ocorre o ensino do SND na primeira série do Ensino Fundamental de escolas municipais do Recife.

Resultados da pesquisa
	Na tentativa de compreender o ensino do SND, analisamos, primeiramente, os recursos pedagógicos, que, conforme pode ser visto no Gráfico 1, indicam que o livro didático de matemática e materiais concretos (palitos, fichas, tampinhas, canudos...) são os recursos mais usados no ensino do SND. Pensando sobre esta freqüência, é possível inferir que se trata de instrumentos de fácil acesso ao professor: o livro didático é disponibilizado pelo governo federal a todos os estudantes do Ensino Fundamental; e o material concreto pode ser solicitado aos alunos ou adquirido facilmente pelo professor. Além disso, inferimos que estes recursos também são os que as professoras mais sentem segurança ao explorá-los em sala de aula.
Gráfico 1 – Recursos usados no ensino do SND

	O uso do livro didático nos remete a algumas reflexões. Se o livro adotado abordar o SND de forma reflexiva, fazendo uso de recursos e situações variadas, na tentativa de explorar todos os aspectos do sistema, poderá se constituir em um recurso importante para o professor. Borba (1999, p.13) complementa isto dizendo que
o livro didático de matemática deve, portanto ter um conteúdo atualizado, trazendo o melhor que as pesquisas, estudos e experimentações revelam sobre os conceitos a serem trabalhados, além de apresentar uma distribuição do conteúdo de maneira que possa integrar os conhecimentos anteriores às experiências de aprendizagem.
Caso contrário, o ensino do sistema pode recair na ênfase de alguns poucos princípios em detrimento a outros tão importantes quanto, não possibilitando a compreensão da lógica funcional da numeração decimal.
O uso freqüente de materiais concretos pode indicar que o professor busca trabalhar agrupamentos e reagrupamentos em base dez, até mesmo a partir de atividades sugeridas no livro, entretanto, como já constatamos em outras pesquisas (Selva, 1998, por exemplo), a exploração de materiais concretos não garante por si só que a criança aprenda a estrutura de funcionamento do sistema. 
Analisando ainda o Gráfico 1, percebemos que já vem acontecendo o uso de outros recursos no ensino do SND, ainda que timidamente. Há professoras buscando diversificar os recursos e atividades ao trabalharem com o SND. Vejamos o depoimento da professora A:
_ Eu utilizei alguns jogos, achei que eles conseguiram melhor com jogos. (...). Então com os jogos eu também vi que eles aprendem muito com o dinheiro. Eles têm mais facilidade quando a gente coloca o sistema de numeração relacionado a problemas relacionados ao valor monetário. Juntar as duas coisas facilitou muito. 
	Ao voltarmos nosso olhar para as atividades propostas em sala de aula para ensinar o SND, verificamos que os exercícios orais e escritos são mais freqüentes. Isto, mais uma vez, retrata, como no caso dos recursos pedagógicos, o que é mais acessível e comum aos professores. Vejamos o Gráfico 2:
Gráfico 2 - Atividades propostas no ensino do SND

A ênfase em exercícios orais e escritos pode refletir a dificuldade do professor em trabalhar com atividades que reflitam sobre as regras do sistema, como, por exemplo, explorar bases diferentes de dez, articular as regras do sistema com as operações matemáticas, explorar situações desafiadoras e interessantes, uma vez que são atividades que exigem um conhecimento maior do conteúdo e do seu processo ensino-aprendizagem. Esta dificuldade talvez venha de lacunas na formação do professor. Rosas (2006, p. 68) enfatiza que “os entraves do processo ensino-aprendizagem de matemática nas séries iniciais se concentram no despreparo do professor ao lidar com esta área”. 
A grande maioria dos professores que atua nas séries iniciais é formada em pedagogia, não dispondo de uma formação matemática consistente. Assim, o professor enfatiza os exercícios orais e escritos para não se aventurar em um caminho que ele ainda não conhece bem. Os professores que trilham outros caminhos, apesar de se sentirem inseguros e despreparados, reconhecem a necessidade de variar as estratégias de ensino para favorecer a compreensão da criança. Vejamos o exemplo da professora A. sendo a única que afirmou trabalhar com bases diferentes de 10 na 1ª série, não escondeu seu despreparo e limitação ao lidar com outras bases. Vejamos sua fala:
_ Como eu comecei com a base 10, quando eu tentei introduzir... Talvez se eu tivesse começado ao contrário, tivesse sido mais fácil, só que quando eu vim despertar que a base 5 poderia ajudar mais, eles já tinham... os que não tinham conseguido nada ainda da base 10, ficou mais fácil, mas os que já tinham conseguido se apropriar, eles ficaram fazendo confusão do 5, do 10. Agora eu pretendo, no próximo ano, começar da base 3, base 5, que é mais fácil.
O trabalho com outras bases é uma das estratégias que favorecem a compreensão dos princípios do sistema. A professora A pôs em prática esta estratégia e reconheceu suas vantagens. 
Interrogadas quanto à avaliação da aprendizagem dos alunos em relação ao SND, as professoras afirmam que avaliam o desempenho dos alunos nas atividades realizadas, através das respostas e questionamentos dos mesmos. Entretanto, observando o Gráfico 3, percebemos que este desempenho está relacionado ao uso das regras do sistema: operações matemáticas, valor posicional e leitura de números.
Gráfico 3 – Avaliação da aprendizagem - SND 

Vejamos o exemplo da professora E: trabalha o SND com material concreto e humano, com o livro didático e com músicas (que contém seqüências numéricas), fazendo atividades de formação de número. Como é visto, seu ensino privilegia a seqüência numérica e os agrupamentos, tendo maior apoio no livro didático. Todavia, ela avalia a aprendizagem dos alunos através do desempenho em atividades de valor posicional e operações matemáticas. Isto significa que ela pouco oferece de reflexão a cerca dos princípios básicos do sistema e espera demais dos alunos. Ela parece acreditar que explorando estes recursos/atividades garantirá a compreensão do conteúdo. É contraditório, contudo, isto pode ser, novamente, reflexo de uma formação insuficiente.
Analisando as dificuldades de aprendizagem dos alunos no tocante ao SND, relatadas pelas docentes, verificamos que são elencadas, na maioria, as regras do sistema, principalmente o valor posicional. Vejamos na Tabela 1, abaixo, as dificuldades:
Tabela 1: Dificuldades de aprendizagem dos alunos relacionadas pelos professores
Dificuldades de aprendizagem - SND	Freqüência	
Valor posicional	4	
Agrupamentos / transformação	2	
Operações	2	
Vivenciar o concreto	2	
Composição e formação de número	1	
Se as regras não são enfatizadas no ensino do SND, parece óbvio que os alunos apresentem dificuldades justamente na compreensão destas regras. Apenas cinco professoras, por exemplo, afirmam explorar atividades e recursos que exploram a posicionalidade do sistema. 
Ao analisar as estratégias para superação das dificuldades dos alunos, observamos uma questão ainda mais séria: quando a professora verifica que seus alunos não se apropriaram dos princípios do sistema, ao invés de trabalhar explicitamente estes princípios para que os discentes superem as dificuldades, retomam-se as atividades e recursos enfatizados durante o ensino: exercícios escritos e orais e materiais concretos. Observe a Tabela 2, abaixo:
Tabela 2: Estratégias dos professores para superação das dificuldades dos alunos
Estratégias dos professores	Freqüência	
Exercícios escritos e/ou orais	4	
Uso do material concreto	4	
Uso do QVL e/ou ábaco	3	
Repetir o assunto	2	
Uso de recursos variados	1	
Socialização das estratégias dos alunos	1	
Das 11 professoras pesquisadas, apenas quatro fizeram referência a estratégias que possibilitam novas oportunidades às crianças, favorecendo a explicitação dos conceitos que envolvem o sistema de numeração. Há professoras que falam claramente que superam as dificuldades repetindo o assunto da mesma forma ou simplificando-o:
_ Batendo na mesma tecla. É repetindo. Tem que está sempre repetindo o assunto. (Professora F)
_ Tento explicar no quadro, colocar de uma maneira mais fácil para que ele entenda melhor. (Professora J)
Repetir o assunto, se observarmos as respostas destas professoras ao longo da entrevista, significa voltar às estratégias usadas para ensinar o SND, que, no caso delas foram exercícios orais e escritos, uso do livro didático e material concreto. Isto significa que o reensino termina enfatizando os mesmos princípios que foram trabalhados anteriormente. Desta forma, os estudantes continuarão com as mesmas dificuldades ou aprenderão sozinhos, num isolado sacrifício cognitivo de confrontação de idéias, visto que é um ser pensante que dialoga diariamente com informações numéricas, mais cedo ou mais tarde ele juntará as peças do quebra-cabeça e fará uso adequado do sistema para atender às demandas sociais. Contudo, este sacrifício se tornará desnecessário se o professor proporcionar momentos de reflexão a cerca das propriedades do sistema. Mas como fazer isto, se o professor não teve oportunidade, em sua maioria, de refletir sobre tais propriedades?
Em contraposição a estas professoras, temos a professora H que afirma superar as dificuldades de aprendizagem dos seus pupilos proporcionando situações diferentes e explorando recursos pedagógicos variados para tornar claras as regras da numeração:
_ Tenta de uma forma. Não conseguiu. Vamos buscar com jogo. Não conseguiu. Vamos buscar com o sistema... com o material dourado. Não conseguiu. Com o dinheiro chinês. E aí a gente vai tentando modificar, até conseguir realmente superar a dificuldades desse aluno. 
Percebe-se a preocupação da mestra em atender as necessidades de aprendizagem de seus alunos, retomando sempre o assunto, mas em situações e com recursos variados, possibilitando que o aluno reflita sobre os aspectos básicos do sistema de diferentes ângulos, tirando conclusões, reorganizando conhecimentos e construindo conceitos de forma significativa.
Diante destes resultados, é possível tecer algumas considerações sobre como o SND é ensinado na 1ª série de escolas municipais do Recife.

Considerações Finais
Percebemos que o processo ensino-aprendizagem do SND encontra-se desarticulado na medida que se ensina uma coisa e se avalia outra. É enfatizado no ensino o que é acessível, conhecido e de domínio do professor, no caso: livro didático, material concreto e os exercícios orais e escritos, acreditando-se que tais recursos/atividades garantem a compreensão do sistema. No entanto, avaliam-se as regras de funcionamento do sistema e, ainda, detectando-se que o aluno não compreendeu estas regras, o professor volta a trabalhar os mesmos recursos/atividades para superar as dificuldades de seus alunos. 
Esta desarticulação do ensino nos leva à consideração que a formação do professor das séries iniciais em relação ao ensino de matemática é insatisfatória. Observa-se isto também quando nos deparamos com as tentativas de professoras de melhorar sua prática pedagógica. Elas próprias reconhecem que não têm o conhecimento necessário para trabalhar de uma forma que leve à reflexão e à compreensão da funcionalidade do SND.
Pensando sobre o ensino do SND, conforme as idéias aqui expostas, podemos dizer que devem ser considerados alguns aspectos em seu desenvolvimento para tornar o processo de apropriação do SND mais significativo e reflexivo, tais como: trabalho com outras bases; situações-problema desafiadoras e contextualizadas; explicitação dos princípios do sistema de numeração; recursos pedagógicos; articulação dos princípios do sistema com as regras das operações matemáticas; comparação de números.
Nem todo professor está preparado para ensinar o SND considerando estes aspectos. Eles requerem saberes pedagógicos que geralmente não têm sido abordados em formação inicial ou continuada.
Se o professor não teve oportunidade de refletir sobre os objetivos e conteúdos matemáticos, nem de analisar as maneiras mais adequadas de trabalhá-los com seus alunos, na sua formação inicial, faz-se necessário um investimento mais efetivo na formação continuada de professores por parte das redes de ensino. É m desafio, neste sentido, para a Rede de Ensino do Recife, visto que é urgente reverter este quadro de despreparo professor ao lidar com um conteúdo da importância do SND.

Bibliografia
BORBA, R., Pessoa, C. & Santos, R. Livro didático: uma análise dos problemas aditivos. Recife: UFPE, (1999).
CARRAHER, T. N. O desenvolvimento mental e o sistema numérico decimal. In: CARRAHER, T. N. (org). Aprender pensando: contribuições da psicologia cognitiva para a educação. Petrópolis: Editora Vozes, 1982.
LERNER, D. e SADOVSKY, P. O sistema de numeração: um problema didático. In: PARRA, C. e SAIZ, I. (orgs.). Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996.
MORETTI, Méricles Thadeu. Dos Sistemas de Numeração às Operações Básicas com Números Naturais. Florianópolis: Ed. da UFSG, 1999.
ROSAS, M. L. L. Ensino e aprendizagem de matemática no processo de alfabetização infantil. (monografia). Nazaré da Mata: FFPNM/UPE, 2006.
SELVA, A. Discutindo o uso de materiais concretos na resolução de problemas de divisão. In SCHLIEMANN, A. & CARRAHER, D. (orgs.), A compreensão de conceitos aritméticos. Ensino e Pesquisa. São Paulo, Papirus editora: 1998. p. 95-119. 
SILVA, Z. M. M. H. da. A criança e a escrita numérica. In: Revista Brasileira de estudos Pedagógicos. Brasília, 71 (168), 141-162, maio/agosto, 1990.
VERGNAUD, G. El niño, las matematicas y la realidad: problemas de la enseñanza de las matematicas en la escuela primaria. México: Trillas, 1991.
ZUNINO, Delia Lerner de. A Matemática na Escola: aqui e agora. Porto Alegre: Artes Médicas. 1995.