UM ESTUDO SOBRE A APRENDIZAGEM DE ALGUNS CONDEITOS ALGÉBRICOS E GEOMÉTRICOS

Profª. Drª. Cristiane Fernandes de Souza – FACAL/PE
cris_educ@hotmail.com

1 O ensino de Geometria e Álgebra
	O ensino-aprendizagem da Geometria e da Álgebra passou por transformações ao longo da evolução do ensino da Matemática que ocorreram no Brasil e em todo o mundo.
Por volta dos anos 20, antes do Movimento da Matemática Moderna, a Geometria era apresentada através de manuais didáticos estanques, nos quais se esgotavam todos os conhecimentos sobre tal área e caracterizava-se pelo ensino axiomático-dedutivo, com demonstrações rigorosas e sem nenhuma conexão com as outras áreas da Matemática. 
Com o advento do Movimento da Matemática Moderna, que no Brasil teve maior destaque por volta dos anos 60/70, a proposta de ensino era a unificação dos campos da Matemática, através da introdução das estruturas lógica, algébrica e topológica enfatizando a teoria dos conjuntos, com o objetivo de promover uma maior articulação entre eles. A proposta do movimento de modernização da matemática de algebrizar a Geometria terminou por frustrar-se, por vários motivos, dentre os quais, a própria falta de compreensão e preparação dos professores. Dessa forma, a Geometria, gradativamente, vai deixando de estar presente nos currículos escolares e passa a ser relegada a um segundo plano, havendo uma predominância dos temas algébricos (MIGUEL, FIORENTINI e MIORIM, 1992).
	A partir do final da década de 70 e início da década de 80, o ensino de Matemática passou a ter novas características. Para a Educação Matemática, além dos aspectos cognitivos, os aspectos sociais, culturais, lingüísticos passaram a ter importância na aprendizagem matemática. Em decorrência desses aspectos, surgiram muitas propostas de “retorno” à Geometria.
No Brasil a atenção de muitos educadores matemáticos voltou-se para tentar recuperar o ensino de Geometria em todas as séries da educação básica. Isso pode ser observado no número significativo de pesquisas realizadas a partir da década de 80, ao contrário das de Álgebra, onde o ensino de Geometria é objeto de estudo de vários pesquisadores, nas Propostas Curriculares de diversos estados do país, como também na reformulação dos livros didáticos de Matemática.
Ao contrário, em detrimento ao interesse das pesquisas em Geometria, as pesquisas relacionadas ao ensino de Álgebra nesse período foram deixando de se destacar dentre os pesquisadores e educadores matemáticos. O ensino de Álgebra sofreu um “abandono”, embora as informações algébricas estivessem fortemente presentes nos livros didáticos, há uma ausência de reflexão crítica sobre seu ensino. Ainda hoje os professores que trabalham a Álgebra desenvolvem de forma mecânica e automatizada, o professor explica os conteúdos exemplificando os conceitos, enfatizando simplesmente a memorização e a manipulação de regras, símbolos e expressões, para depois avaliar os conhecimentos dos alunos, quer dizer, a capacidade de repetição dos alunos (MIGUEL, FIORENTINI e MIORIM, 1992).
O ensino de conceitos algébricos é formalmente introduzido, especificamente com o título de Álgebra, na 7ª série do Ensino Fundamental segundo os guias curriculares. Este ensino é iniciado com o estudo de Monômios e Polinômios onde se estabelecem as primeiras regras algébricas para lidar com símbolos. Entretanto, já na 6ª série do Ensino Fundamental os alunos têm seu primeiro contato com letras para representar números no estudo das Equações do 1° grau. Nessa série os alunos iniciam as operações com letras e números em que estes são incógnitas em sentenças matemáticas que, muitas vezes, não fazem o menor sentido para eles.
Dados os sistemas de avaliação estaduais e nacionais sobre a aprendizagem de conceitos algébricos mostram as dificuldades que os alunos têm em operar com expressões algébricas e sentenças matemáticas, demonstrando que mesmo os alunos concluintes do Ensino Fundamental ainda não têm habilidade com a manipulação de variáveis. Observa-se que é comum os alunos apresentarem dificuldades na notação algébrica e erros nas operações com os termos.
Segundo Mendes (1999) essa dificuldade em manipular expressões algébricas pode estar na própria evolução da notação algébrica. Segundo essa autora, a definição de Álgebra requer destacar duas fases: a Álgebra Antiga (elementar) que está associada ao estudo de equações e métodos de resolução, e a Álgebra moderna (abstrata), ligada ao estudo das estruturas matemáticas.
Na década de 80 uma concepção sobre o ensino de Álgebra usa recursos analógicos geométricos, isto é, visuais para justificar as passagens do transformismo algébrico. “Assim, pelo fato de tornar visíveis certas identidades algébricas, essa concepção seria didaticamente superior a outras formas de se ensinar álgebra.” (RODRIGUES NETO, 1998, p.38). Pode-se dizer que essa seria uma maneira de tentar contornar as dificuldades do aluno no transformismo da álgebra, na hora de resolver equações. 
No que diz respeito às transformações — ou manipulações algébricas — que são feitas numa fórmula para se determinar o valor de uma variável (ou incógnita), pesquisas têm discutido, por exemplo, os aspectos da sintaxe e da semântica da álgebra. A exemplo desse tipo de pesquisa destaca-se Rodrigues Neto (1998). Outras pesquisas desenvolvidas sobre a aprendizagem de conceitos algébricos foram, por exemplo, Ribeiro (2003) e Nakamura & Franchi (2003). Essas três pesquisas estão apresentadas com mais detalhes no item a seguir.

2 Nossa pesquisa
No que diz respeito ao ensino de Geometria e, particularmente, com interesse no estudo sobre área de polígonos convexos, notadamente deduções das fórmulas, desenvolvemos um trabalho de Mestrado que consistiu numa pesquisa metodológica para o ensino-aprendizagem das fórmulas de área desses polígonos com alunos da 8ª série do Ensino Fundamental de uma escola pública em Natal/RN (SOUZA, 2003).
Nesse estudo, utilizando o ensino por atividades como opção metodológica, com base num ensino construtivo visamos, principalmente, obter as fórmulas de área dos principais polígonos convexos (retângulo, quadrado, paralelogramo, losango, trapézio e triângulo). Um outro objetivo desse trabalho foi verificar o entendimento do aluno sobre o caráter funcional entre as variáveis da fórmula para a área do retângulo.
Inicialmente foi aplicada uma Avaliação Diagnóstica com o objetivo de investigar os conhecimentos dos alunos sobre assuntos que consideramos importantes para realizar a abordagem pretendida de forma a proporcionar elementos para a elaboração do módulo de ensino. Essa avaliação continha perguntas sobre conteúdos de Geometria, que fazem parte do currículo oficial de Matemática para as séries do Ensino Fundamental.
As atividades de ensino foram elaboradas tendo em vista: nivelar os conhecimentos dos alunos sobre esses assuntos, detectados como insuficientes na Avaliação Diagnóstica; e, promover o ensino-aprendizagem das fórmulas de área, propriamente dito. O campo numérico das atividades foi o conjunto dos racionais absolutos (Q+). 
Uma análise qualitativa dos dados coletados na intervenção metodológica, os quais foram categorizados segundo a teoria de Skemp (1980) sobre compreensão de conceitos matemáticos pelo sujeito cognoscente, de modo geral, validou a pesquisa quanto aos seus propósitos. Não obstante, novos problemas foram identificados, como discutimos a seguir. 
As observações feitas durante a realização da intervenção metodológica e a análise dos dados obtidos no Pós-teste, ambas de caráter qualitativo, mostraram, entre outros aspectos, o uso incorreto, por parte dos alunos, da sintaxe da álgebra como, por exemplo, manipulações algébricas incorretas das fórmulas de área; a falta de parênteses e do sinal de igualdade, e desconhecimento da utilização das propriedades da igualdade nas fórmulas.
Esse aspecto foi identificado, principalmente, na manipulação da fórmula da área A do trapézio, dada por , sendo B e b as bases e h a altura. Acreditamos que essa fórmula gerou mais dificuldade por apresentar mais variáveis (área A, bases B e b — maior e menor — e altura h) do que as fórmulas das áreas do paralelogramo e triângulo, por exemplo, e por possuir, em sua fórmula, duas operações (adição e multiplicação) relacionando as variáveis base e altura.
Tais observações conferiram ao trabalho um caráter de continuidade, pois levantaram outras questões sobre o ensino de matemática que foram além dos objetivos estabelecidos na pesquisa de mestrado. 
No sentido de promover alternativas metodológicas para uma relação ensino-aprendizagem que resolvesse, de modo positivo, os problemas acima discutidos, buscando desenvolver no aluno autonomia com problemas de álgebra, utilizando a geometria como recurso, aprofundamos a discussão numa pesquisa em nível de Doutorado (SOUZA, 2006), realizando um estudo sob o ponto de vista da obtenção de expressões simbólicas para o perímetro de retângulos, através da utilização das propriedades operatórias (comutativa, associativa e distributiva), e uso de sinais de associação; e realização de um estudo das manipulações algébricas nas fórmulas de área do retângulo e trapézio, compreendendo a sintaxe da álgebra.
Além do aspecto acima discutido, nosso trabalho de pesquisa ampliou o campo de interesse na abordagem dos conteúdos matemáticos, e se estendeu para a obtenção das fórmulas do perímetro e da área de polígonos regulares, ultrapassando as limitações do estudo anterior (SOUZA, 2003) quanto às formas geométricas estudadas, que ficou restrita aos polígonos de três e quatro lados. Os polígonos regulares são figuras geométricas inscritíveis no círculo. Um polígono regular pode ser decomposto em triângulos isósceles e se permite a um tratamento em vários níveis de concreto (físico, representado simbolicamente e abstrato) sobre as grandezas área e perímetro. 
O estudo da área dos polígonos regulares, tanto do ponto de vista prático como teórico, permite obter aproximações para a área do círculo fazendo-se uma adaptação metodológica do processo de Arquimedes para a área dessa figura. Dessa forma seria possível desenvolver processos de cálculo para a área do círculo e, também, para o comprimento da circunferência, em diferentes níveis de dificuldade (ou sofisticação). 
O interesse pela realização de um estudo sobre obtenção da fórmula do comprimento da circunferência e da área do círculo, que faz parte do currículo de Matemática para a 8ª série, se justifica pela própria forma geométrica dessa figura, uma vez que o cálculo da sua área apresenta dificuldades de entendimento pelos alunos.
Nossa proposta foi realizar um estudo sobre a escrita de expressões simbólicas para o perímetro e a área de alguns polígonos convexos, estendendo-se para a obtenção das fórmulas do comprimento da circunferência e da área do círculo, a partir da fórmula do perímetro e da área do hexágono regular, através da aplicação de um módulo de atividades de ensino, com base num ensino construtivo. O Esquema 1 a seguir, está apresentando a ligação estabelecida entre os conteúdos abordados na pesquisa.

3 Pressupostos Teóricos
À exemplo do trabalho desenvolvido no Mestrado a pesquisa de Doutorado também utilizou as atividades de ensino como proposta metodológica. Assim, o trabalho se apoiou em Dienes (1974), e outros pesquisadores como, Dockweiller (1992, apud, RODRIGUES NETO, 1998) e Fossa (2001), que abordam o ensino de matemática por meio de atividades de ensino. 
	O ensino de Matemática por meio da utilização de tarefas ou instruções que são dadas aos alunos para conduzir à construção de um conceito, vem sendo adotada em alguns livros didáticos de Matemática do Ensino Fundamental como, por exemplo, Bigode (2000), Imenes & Lellis (2002) e Dante (2002). Nesses livros, esse tipo de abordagem é trazida em seções inseridas no texto ou, algumas vezes, separadas do texto após os exercícios, e podem se apresentar como um jogo, ou instruções que levam o aluno, na maioria das vezes, a utilizar material concreto, ou instrumentos de desenho geométrico ou, ainda, que levam-no a observar algumas regularidades em padrões geométricos para que possam chegar, através da atividade, a uma conclusão sobre a aplicação de um conceito ou dedução de alguma fórmula. A maioria das atividades são organizadas para que o aluno trabalhe em grupo com outros colegas de forma a promover uma discussão sobre a atividade desenvolvida. Segundo esses autores, suas coleções foram elaboradas de forma a contemplar os princípios norteadores dos Parâmetros Curriculares Nacionais (1998) e de promover uma aprendizagem matemática de forma construtiva, levando os alunos a uma reflexão sobre os conceitos aprendidos.
O ensino de Matemática por atividades foi tratado por Dienes (1974), no livro em que ele aborda o ensino de conceitos geométricos, algébricos e aritméticos, dando maior enfoque aos conceitos algébricos. A teoria de Dienes defende que o sujeito (aluno) deve vivenciar uma quantidade de situações concretas antes de abstrair as qualidades de uma situação matemática para formar o conceito. Em sua teoria ele defende quatro princípios para o aprendizado da Matemática: (i) Princípio Dinâmico; (ii) Princípio da Construtividade; (iii) Princípio da Variabilidade Matemática e (iv) Princípio da Variabilidade Perceptiva. De acordo com tais princípios os conceitos devem se aprendidos por meio de diferentes tarefas, mas que tenham a mesma estrutura conceptual. Ou seja, “variar a representação perceptiva, mantendo constante a estrutura conceptual” (DIENES, 1974, p. 41).
	Outro pesquisador que desenvolveu um modelo de ensino por meio de atividades foi Dockweiler (1992, apud RODRIGUES NETO, 1998), ele considera três etapas de aprendizagem nas atividades de ensino: (i) Atividades de desenvolvimento, que se relacionam com o meio físico/visual de representação do conceito matemático; (ii) Atividades de ligação têm o objetivo de “conectar” os conceitos matemáticos apreendidos na sua forma de representação física, bem como na sua representação oral, com suas representações simbólicas; (iii) Atividades abstratas, são assim denominadas para expressar a ausência de um modelo físico. As representações oral e simbólica são incorporadas nesse tipo de atividade.
Destacamos, ainda, um terceiro pesquisador Fossa (2001), que também aborda o ensino de matemática por meio de atividades. Segundo esse autor, para se utilizar as atividades em sala de aula necessita-se, em primeiro lugar, seqüenciar as atividades de maneira adequada, quer dizer, várias atividades justapostas com a mesma estrutura matemática reforçando umas às outras. Outra preocupação é que as atividades devam conter um componente oral, ou seja, proporcionar que o aluno possa verbalizar seu entendimento da atividade e, finalmente, as atividades deveriam apresentar um componente simbólico, isto é, que o aluno registre por escrito os resultados da atividade.
	A aplicação e desenvolvimento das atividades de ensino na intervenção metodológica do estudo realizado tiveram como referencial teórico o Construtivismo, o qual tem suas origens nos trabalhos e pesquisas de Piaget (1995) e seus colaboradores, como Kamii (2002).
O ensino de Matemática passou por grandes reformas ao longo do tempo, mas que ainda privilegiava seu caráter nobre, com todo seu simbolismo. A partir do final da década de 70 e início da década de 80, o ensino de Matemática passou a ter novas características, além dos aspectos cognitivos, os aspectos sociais, culturais, lingüísticos passaram a ter importância na aprendizagem matemática. As pesquisas desenvolvidas para o ensino da matemática tiveram forte influência da Psicologia. A Psicologia, na imagem de muitos pesquisadores, procurou conhecimentos que ajudassem a compreender a aprendizagem matemática. Desses estudos se destacaram duas grandes escolas de pensamento: a aprendizagem por associação, a qual a aprendizagem matemática efetua-se através de associações ou conexões entre estímulos e respostas; e a aprendizagem cognitiva, que vê a aprendizagem como uma reorganização de percepções. A primeira teve como principais representantes Thorndike e Skinner, enquanto que, na segunda o seu maior representante foi Jean Piaget (MATOS & SERRAZINA, 1996).
Piaget aborda o tema aprendizagem fazendo uma íntima conexão com o desenvolvimento cognitivo. Ele concebe o desenvolvimento cognitivo como uma sucessão de estágios e sub‑estágios caracterizados pela forma em que os esquemas, de ação ou conceptuais, se organizam formando estruturas. Cada um dos estágios marca o início de uma etapa de equilíbrio, uma etapa de organização das ações e operações do sujeito, através de uma estrutura lógico-matemática. O conhecimento é visto como uma estrutura flexível de conceitos e relações entre conceitos, a qual vai evoluindo de acordo com a experiência de vida de cada indivíduo.
A preocupação de Piaget era com a construção do conhecimento e a formação de habilidades, não com as questões relacionadas à educação de crianças no nível ensino-aprendizagem. No entanto, o resultado de suas pesquisas proporcionou uma ampla resposta, respaldada por um considerável suporte empírico, ao problema de como se constitui o conhecimento científico e suas idéias enriqueceram e renovaram o pensamento pedagógico contemporâneo. 
A teoria construtivista na educação teve origem nas idéias dos trabalhos de Piaget. O Construtivismo tem como base dois princípios: (i) que o conhecimento é ativamente construído pelo sujeito cognoscente e não passivamente recebido do meio, e (ii) conhecer é um processo de adaptação que organiza o mundo derivado da experiência do sujeito, e não de um mundo independente, exterior à mente do sujeito. Nesse processo a estrutura lógico-matemática está presente todo o tempo.
Em relação ao ensino de matemática, as teorias de Piaget sobre a aprendizagem de conceitos matemáticos modificaram toda uma estrutura de concepção sobre seu ensino. Para que o ensino de matemática alcançasse os objetivos propostos pela teoria construtivista, ou seja, uma construção de conceitos com compreensão, dando ao aluno habilidades e conhecimentos úteis que o preparasse para a resolução de problemas diários, foi necessário a utilização de uma metodologia que valorizasse os conhecimentos dos alunos e a ação do professor (MENDES, 2006).
No ensino de matemática, o construtivismo delineia a função do professor como aquele que estabelece o ambiente matemático. Dessa forma, a construção do conhecimento matemático depende das situações que o aluno deve vivenciar para trabalhar suas construções. O uso de materiais manipulativos em atividades estruturadas, principalmente nas séries iniciais, pode gerar um ambiente cognitivo rico, onde os alunos podem estabelecer relações entre o observável e as construções já existentes em suas mentes.

4 Metodologia
A exemplo da pesquisa de Mestrado (SOUZA, 2003), também optamos por desenvolver uma metodologia de estudos que contempla fases de avaliação e intervenção. 
	Em linhas gerais, o trabalho desenvolvido nesse estudo caracteriza-se por uma abordagem metodológica qualitativa, com intervenção direta da pesquisadora. A intervenção em sala de aula foi feita com o objetivo de realizar uma investigação sobre a aprendizagem de conceitos, utilizando um módulo de atividades de ensino, com fases de avaliação.
	A intervenção metodológica foi dividida em três momentos: (i) aplicação de uma avaliação diagnóstica para avaliar o nível médio de conhecimento dos alunos, sobre conteúdos matemáticos e geométricos, e para subsidiar a elaboração das atividades de ensino; (ii) aplicação de um módulo de ensino, que compreende um conjunto de atividades elaboradas para os alunos, com o objetivo de promover o ensino-aprendizagem dos conteúdos referidos nesta pesquisa, num processo de interação professor-aluno e aluno-aluno; (iii) aplicação de uma segunda avaliação, ao final da intervenção, para a apreciação da aprendizagem dos conteúdos geométricos objeto da pesquisa.
Inicialmente, a Avaliação Diagnóstica Inicial foi aplicada a três turmas que não representaram os sujeitos participantes da pesquisa (os grupos experimentais). Foram escolhidas três escolas dos três segmentos de ensino: estadual, privado e federal, todas localizadas na cidade de Natal/RN, para uma coleta preliminar dos dados. As séries escolhidas foram duas turmas de 8ª série, uma da escola estadual e outra da escola particular, ambas do turno matutino, e uma turma de 1° ano da escola federal, do turno vespertino. Nessa primeira fase da pesquisa foi investigado um total de 122 alunos. Esses alunos não fizeram parte da intervenção metodológica propriamente dita. O objetivo principal dessa investigação inicial foi subsidiar a elaboração do módulo de ensino, segundo os conhecimentos dos alunos quanto aos conteúdos de álgebra e geometria da pesquisa.
Como este estudo se referiu à aprendizagem de conceitos, foram efetuadas entrevistas com os alunos sobre os cálculos por eles desenvolvidos na avaliação final, para melhor compreender seus procedimentos. As entrevistas foram realizadas com uma amostra de alunos.
Foi também aplicado um questionário de identificação dos alunos com o objetivo de traçarmos um perfil desses alunos.
A intervenção metodológica propriamente dita foi realizada com alunos de duas turmas da 8ª série do Ensino Fundamental de uma escola da rede estadual de ensino da cidade de Natal/RN, Escola Estadual Desembargador Floriano Cavalcanti, totalizando 100 alunos. Essas turmas caracterizaram os grupos experimentais da pesquisa e a intervenção foi realizada separadamente em cada turma.
Foram aplicados dois tipos de avaliação diagnóstica: a primeira, denominada Avaliação Diagnóstica Inicial, na qual foram investigados os conhecimentos dos alunos sobre os conteúdos objetos da pesquisa e sobre os assuntos inerentes á aprendizagem desses conteúdos, para subsidiar a elaboração do módulo de ensino. A segunda avaliação, denominada Avaliação Diagnóstica Final, teve como objetivo principal investigar os efeitos da aplicação do módulo de ensino, ou seja, averiguar a evolução dos conhecimentos, por parte do aluno, sobre os conteúdos abordados nas atividades.
O módulo de atividades de ensino foi elaborado com o objetivo de promover um estudo sobre o ensino-aprendizagem da obtenção de fórmulas para o perímetro e área de figuras planas. As figuras geométricas planas abordadas no módulo de ensino foram triângulos (retângulos e eqüiláteros), quadriláteros (retângulo, paralelogramo e trapézio), polígonos regulares (quadrado e hexágono regular) e as figuras não-poligonais, circunferência e círculo. Para estas últimas foi estudada a obtenção da fórmula para o comprimento da circunferência e da fórmula para a área do círculo.
As atividades são tarefas que foram executadas pelos alunos em sala de aula, preparadas e orientadas pela pesquisadora.
Foram elaboradas um total de 15 atividades: 10 foram aplicadas aos alunos de 8ª série do Ensino Fundamental e 5 foram desenvolvidas como mini-curso no XII Seminário de Pesquisa do CCSA/UFRN (SOUZA, 2006), nas quais foi abordada a obtenção do número  pelo Método dos Perímetros (ou Processo de Arquimedes). O mini-curso foi destinado à alunos de graduação de Matemática e Pedagogia da UFRN.
Os dados coletados na aplicação da Avaliação Diagnóstica Inicial foram apresentados numericamente, usando uma estatística descritiva, através de categorização e quantificação em números absolutos e porcentagens das respostas dos alunos, do ponto de vista matemático, segundo os parâmetros: respostas certas, respostas erradas e em branco, dispostos em tabelas e gráficos de barras. As respostas dos alunos obtidas na aplicação da Avaliação Diagnóstica Final, além da apresentação na forma de estatística descritiva, foram analisados qualitativamente segundo a teoria de Skemp (1980) que categoriza a aprendizagem dos conceitos matemáticos em “compreensão instrumental” e “compreensão relacional”. Para realizar tal análise foram estabelecidos alguns critérios de julgamento das respostas. As respostas dos alunos obtidas durante a aplicação do Módulo de Atividades de Ensino foram discutidas apontando os erros cometidos pelos alunos ou as diferentes maneiras de encontrar a resposta correta.

5 Resultados
	Os resultados da pesquisa realizada são apresentados a seguir de forma bastante resumida, de forma a respeitar as normas de formatação do presente texto.
A análise das respostas dos alunos da avaliação diagnóstica inicial mostrou que: (a) de modo geral, quanto aos conceitos de álgebra, faltam aos alunos conhecimentos elementares sobre propriedades operatórias, como a comutatividade e a distributividade, domínio de técnicas de resolução de equações do 1° grau, inclusive o conhecimento das propriedades da igualdade; (b) quanto aos conceitos geométricos, como perímetro e área, observamos que os alunos não demonstraram domínio na aplicação desses conceitos, a maioria dos alunos não conseguiu representar simbolicamente o perímetro de um polígono, assim como, compreender o papel funcional das variáveis (área, base e altura) na fórmula da área do retângulo; (c) em relação ao cálculo de perímetro e área do hexágono regular inscrito e circunscrito a uma circunferência, decomposto em triângulos eqüiláteros, os alunos demonstraram não conhecer as propriedades do hexágono para utilizá-las no cálculo do perímetro e da área.
No desenvolvimento da aplicação do módulo de atividades de ensino foi possível fazer as seguintes observações: (a) dificuldades iniciais, como: a falta de compreensão do texto da atividade e a falta de autonomia para estabelecer estratégias de resolução; (b) com relação ao uso dos instrumentos de desenho geométrico a maioria dos alunos demonstraram não ter habilidade na sua utilização, o que também foi identificado em Souza (2003); (c) em referência aos conceitos necessários para a aprendizagem dos conteúdos abordados nas atividades, os alunos apresentaram falta de habilidade na resolução de equações do 1° grau, na aplicação do Teorema de Pitágoras e falta de conhecimento na classificação e propriedades de polígonos; (d) com relação aos materiais concretos — quadradinhos de cartolina, palitinhos de madeira, tampas de plástico, aro de plástico, esfera de isopor, entre outros — utilizados no desenvolvimento das atividades, verificou-se que os alunos, a partir do manuseio desses materiais ou da observação de propriedades extraídas dos objetos, puderam realizar abstrações e chegar a algumas conclusões sobre os conceitos tratados nas atividades que utilizaram esse tipo de recurso; (e) quanto à aprendizagem da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, após o término das atividades os alunos demonstraram relativa habilidade na aplicação da propriedade na escrita de expressões para o perímetro de retângulos com uma das dimensões desconhecida; (f) a respeito da compreensão das propriedades do hexágono regular inscrito na circunferência, ao final das atividades que abordavam essas propriedades, os alunos demonstraram ter-las compreendido; (g) quanto à dedução da fórmula da área do círculo () a partir da área do hexágono regular inscrito na circunferência, generalizando para um polígono de n lados, foi observado que os alunos obtiveram relativa compreensão em relação à construção dessa fórmula.
Os resultados da avaliação diagnóstica final, que refletem a aprendizagem dos alunos, mostraram que: (a) com referência à aplicação da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição para o cálculo da área do retângulo reticulado, alguns alunos responderam satisfatoriamente à questão; (b) quanto à habilidade do aluno de fazer as manipulações algébricas na fórmula da área do trapézio para encontrar o valor de uma das variáveis, por meio da resolução de uma equação, alguns alunos chegaram a um bom nível de compreensão; (c) sobre a habilidade do aluno de escrever expressões simbólicas para a área do paralelogramo, triângulo e círculo, alguns alunos chegaram a um bom nível entendimento e conseguiram escrever as expressões de área; (d) com relação ao cálculo do perímetro de um retângulo com a medida de uma dimensão desconhecida, mas o valor da área conhecida, os resultados indicaram que a compreensão desses aspectos foi parcialmente alcançada pelos alunos; (e) à respeito do domínio das propriedades do hexágono regular inscrito e circunscrito numa circunferência para o cálculo do seu perímetro e da sua área, os resultados mostraram que poucos alunos conseguiram aplicar tais propriedades; (f) quanto à determinação do comprimento da circunferência e da área do círculo fazendo uso de suas respectivas fórmulas, alguns alunos demonstraram domínio na aplicação das fórmulas.

6 Referências bibliográficas
BIGODE, A. J. L. Matemática hoje é feita assim: 5ª, 6ª, 7ª e 8ª séries. São Paulo: FTD, 2000.

BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais de 5ª a 8ª séries: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998.

DANTE, L. R. Tudo é matemática: 5ª, 6ª, 7ª e 8ª séries. São Paulo: Ática, 2002.

DIENES, Z. P. Aprendizado moderno da Matemática. Rio de Janeiro: Zahar, 1974.

FOSSA, J. A. Ensaios sobre Educação Matemática. Belém: EDUEPA, 2001. (Série Educação - n. 2).

IMENES, L. M.; LELLIS, M. Matemática para todos: 7ª e 8ª séries. São Paulo: Scipione, 2002.

KAMII, C. A criança e o número: implicações da teoria de Piaget para a atuação junto a escolares de 4 a 6 anos. 29. ed. Campinas, SP: Papirus, 2002.

MATOS, J. M.; SERRAZINA, M. L. Didáctica da Matemática. Lisboa: Universidade Aberta, 1996.

MENDES, I. A. Matemática e investigação em sala de aula: tecendo redes cognitivas na aprendizagem. Natal; Flecha do Tempo, 2006.

MENDES, J. R. Algumas considerações sobre o ensino de Álgebra com base nos estudos da História da Matemática. Revista Educação e Ensino. Bragança Paulista: Núcleo de publicação e Divulgação Científica da PROPEP/EDUSF, v. 4, n. 2. p. 49-57, jul.-dez., 1999.

MIGUEL, A.; FIORENTINI, D.; MIORIM, M. Álgebra ou Geometria: para onde pende o pêndulo?  Pró-Posições. São Paulo: Cortez, v. 3, n.1[7], p. 39-54, mar. 1992.

NAKAMURA, O. Y. A.; FRANCHI, A. Generalização de padrões geométricos: caminho para construção de expressões algébricas no Ensino Fundamental. In: II Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática, Anais... Santos, SP, 2003. CD-ROM.

PIAGET, J. et al. Abstração reflexionante: relações lógico-aritméticas e ordem das relações espaciais.  Porto Alegre: Artes Médicas, 1995.

RIBEIRO, A. J. Um estudo sobre o desempenho de alunos do Ensino Fundamental em Álgebra: algumas considerações para um debate teórico. In: II Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática, Anais... Santos, SP, 2003. CD-ROM.

RODRIGUES NETO, F. P. Um estudo sobre aprendizagem de conceitos algébricos fundamentais. 1998. Tese (Doutorado em Educação) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 1998. 

SKEMP, R. R. Psicologia del aprendizaje de las Matemáticas. Madri: Ediciones Moratas, 1980.

SOUZA, C. F. Um módulo de atividades para o ensino-aprendizagem das fórmulas de área dos principais polígonos convexos. 2003. Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2003.

SOUZA, C. F. Obtenção da constante “pi” pelo Método dos Perímetros (mini-curso). In: XII Seminário de Pesquisa do CCSA/UFRN. Anais... Natal, 2006. CD-ROM.

SOUZA, C. F.; RODRIGUES NETO, F. P. Dados de um diagnóstico sobre a aprendizagem de alguns conceitos algébricos e geométricos. In: VI ENCONTRO PERNAMBUCANO DE EDUCÇÃO MATEMÁTICA, Caruaru/PE. Anais, 2006, CD-ROM. 

SOUZA, C. F. Um estudo sobre aprendizagem de alguns conceitos algébricos e geométricos. 2006. Tese (Doutorado em Educação) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2006. 241 f. il.