UM MAPEAMENTO DO ENSINO DE FUNÇÕES REAIS
NO ENSINO BÁSICO

Wanderley Moura Rezende
IM-UFF - wmrezende@im.uff.br

1.	O Problema e a proposta da pesquisa
O dito “fracasso no ensino de Cálculo” é fato bem conhecido de todos no meio acadêmico.  Barufi (1999), Rezende (2003a) e Bean (2004) nos revelam alguns dados alarmantes dessa crise: segundo os autores o índice de não-aprovação em cursos de Cálculo Diferencial e Integral I oferecidos nas universidades pesquisadas (USP, UFF, UNESP e UNICAMP) se encontra, em média, na faixa de 45% a 80% .  Fernandes (2006), mais recentemente, revela-nos, por exemplo, que dentre as 10 mil disciplinas oferecidas na UFPR, 263 reprovavam, no período 1992-2001, sempre mais de 70% da turma: "Cálculo e Genética lideram a lista das cadeiras que mais reprovaram alunos nesse período". Parece que o problema não tem solução.
Tal situação de desconforto com relação ao ensino de Cálculo não é local e nem característica exclusiva destas instituições. Muito pelo contrário, levando-se em conta a tradição de excelência, pelo menos em termos nacionais, das Instituições aqui reportadas, há de se preocupar, e muito, com o “fracasso do ensino de Cálculo”.  
Por outro lado, engana-se quem pensa que tal problema é cultural e que se justifica pela condição sócio-econômica da sociedade brasileira.  A situação do ensino de Cálculo nos países “desenvolvidos” não é muito diferente, visto que trabalhos sobre esse tema têm sido publicados e recebidos merecido destaque por parte da literatura especializada internacional.  David Tall (1981, 1990, 1993 e 2002), por exemplo, tem sido um dos principais articuladores da área de pesquisa “pensamento matemático avançado”, cujas questões giram em torno das dificuldades de aprendizagens no ensino de Cálculo.  Outro exemplo internacional desta inquietação foi o movimento em prol da reforma do ensino de Cálculo, iniciado na década de 80 (e liderado por Peter Lax), e que ficou conhecido por “Calculus Reform”.  Tal movimento tem como característica básica o uso de tecnologia, isto é, de software computacional e de calculadoras gráficas, tanto para o aprendizado de conceitos e teoremas como para a resolução de problemas.  
Diante da problemática aqui apresentada emergem algumas questões interessantes: Qual seria então a razão de tantas reprovações?  Onde estaria localizada a raiz do problema?  No próprio processo ensino-aprendizagem? No aluno, isto é, na “falta de base” do aluno?  Ou estaria ela localizada na estrutura curricular do ensino de matemática que não dá o suporte que esta disciplina mereceria? 
As respostas e os encaminhamentos apresentados pelos pesquisadores da área têm sido bem diversificados. Uns preferem analisar o problema no âmbito da psicologia cognitiva.   Há quem julgue, no entanto, que o problema seja de natureza mais simples: as dificuldades de aprendizagem são decorrentes do processo didático. Não obstante, pensamos de forma diferente: acreditamos que grande parte das dificuldades de aprendizagem no ensino de Cálculo é essencialmente de natureza epistemológica.  Pode-se dizer ainda mais: as raízes do problema estão além dos métodos e das técnicas, sendo inclusive anteriores ao próprio espaço-tempo local do ensino de Cálculo.  Os resultados da tese de doutorado (Rezende, 2003a) que desenvolvemos apontam então para a existência de um único lugar-matriz das dificuldades de aprendizagem de natureza epistemológica do ensino de Cálculo: o escondimento ou evitação das idéias do Cálculo no ensino de matemática em sentido amplo, principalmente no que diz respeito ao ensino básico.  
De fato, alguns problemas clássicos do Cálculo são evitados, ou simplesmente ignorados, ou ainda tratados de forma superficial no ensino médio e fundamental.  O “horror” grego do infinito parece que está presente no ensino básico de matemática. Se, por um lado, no processo histórico de construção do conhecimento matemático, o Cálculo potencializa áreas fundamentais como a geometria e a aritmética, além de ser o principal responsável pelo desenvolvimento e organização do próprio conhecimento matemático, no campo pedagógico, resta-lhe apenas o papel de “grande vilão” no ensino superior. 
Assim, o que se precisa fazer de forma urgente em prol do ensino superior de Cálculo, e do próprio ensino de matemática em sentido amplo, é possibilitar ao Cálculo exercer no campo pedagógico a mesma função integradora que ele realizou no âmbito científico, no processo de construção do conhecimento matemático.  Para que isto ocorra será preciso fazer emergir no ensino médio e fundamental de matemática as idéias básicas do Cálculo. E esta é, com certeza, a meta principal do projeto de pesquisa (Rezende, 2003b), que passamos a descrever agora.

2.	Linhas de ação e metodologia da pesquisa
Para o cumprimento de tal meta, o projeto “Uma Proposta Didática de Emersão das Idéias Fundamentais do Cálculo no Ensino Básico” se desenvolve em duas etapas distintas e inter-relacionadas: uma inicial, em que se realiza um mapeamento das idéias e dos problemas construtores do Cálculo que se encontram camuflados no ensino básico de matemática; e outra, em que são propostas algumas atividades didáticas de emersão das idéias do Cálculo, seguida de experimentações e avaliações no ensino médio e fundamental de matemática.  Apresentaremos aqui os resultados parciais relacionados à primeira etapa desta pesquisa.  Antes, porém, faz-se necessário tecer alguns comentários sobre o instrumento metodológico que usamos em nossa pesquisa: os mapas.
Boaventura Santos (2000), recorrendo à cartografia, fonte original da idéia de mapa, procura promover uma “re-significação” da idéia de mapa no terreno da epistemologia.  Na verdade, sua “cartografia simbólica” (ou sociologia cartográfica) se apresenta como um instrumento de análise não apenas do direito, mas, fundamentalmente, do novo tipo de conhecimento que se anuncia.  Parafraseando Muehrcke, Boaventura Santos revela-nos que o que “o que torna o mapa tão útil é o seu gênio da omissão, é o reduzir da realidade à sua essência” (apud Santos, 2000, p.201).
Assim, para que um mapa se encarregue de sua atribuição mais relevante (reduzir da realidade à sua essência) devemos elaborá-lo baseados em três mecanismos fundamentais: a escala, a projeção e a simbolização.  Esses são mecanismos autônomos que envolvem procedimentos distintos e exigem decisões específicas. Mas também são interdependentes, pois, como diz o cartógrafo   Mark  Monmonier,  “a  escala  influencia  a quantidade de detalhe que pode ser mostrado e determina se um dado símbolo é ou não visualmente eficaz” (1981; apud Santos, 2000).
A escala é a representação entre a “distância” no mapa e a correspondente “distância” no terreno. Quanto maior a escala, maior o grau de pormenorização do mapa. Entretanto, conforme já observamos parágrafos acima: “o que torna o mapa tão útil é o gênio da omissão, é o reduzir da realidade à sua essência”. A escala é, com efeito, um “esquecimento coerente” que deve ser levado a cabo coerentemente (Racine et al. 1982).
A escolha da escala usada na confecção de um determinado mapa está vinculada às interações existentes entre os interesses do seu construtor, com os objetivos e finalidades do assunto abordado. A escolha das escalas é determinada pela intenção daquele que elabora o mapa, em consonância com seus interesses, suas metas, enfim, com o projeto original do autor. Essa escolha está associada, desse modo, a outro mecanismo básico da ação de mapear: a projeção.
A projeção determina o grau de distorção da realidade  que é desejado em um mapa. O cartógrafo em sua arte de mapear, não se coloca como uma pessoa sem malícia, e sem definição em seus proveitos. Sendo assim, os graus de distorção encontrado nos mapas estão vinculados a não só fatores técnicos, mas também aos interesses ideológicos do seu construtor. Boaventura Santos (2000) comenta que a projeção representa sempre um compromisso e cada tipo de projeção cria então um campo de representação no qual as formas e os graus de distorção têm lugar segundo regras conhecidas e precisas.
A simbolização é o terceiro grande mecanismo da representação/distorção cartográfica da realidade. Diz respeito aos símbolos gráficos usados para assinalar os elementos e as características da realidade espacial selecionados. Assim, se a escala indica o “grau de pormenorização da realidade” e a projeção o “grau de distorção”, a simbolização indica a “forma de representação” da mesma segundo a escala e a projeção realizada (Rezende, 2003a).           
A aplicação desse instrumento em pesquisas de natureza educacionais tem se notado cada vez mais freqüente.  Em (Rezende, 2003a), por exemplo, experimentamos do potencial desse instrumento metodológico: construímos mapas históricos e conceituais do Cálculo e mapas das dificuldades de aprendizagem de natureza epistemológica do ensino de Cálculo.  Assim, dando continuidade aos resultados obtidos em (Rezende, 2003a) optamos por começar a nossa pesquisa por essa ação de mapear.
O mapeamento dos problemas construtores do Cálculo que se encontram camuflados no ensino básico de matemática foi concebido segundo três linhas diretrizes, a saber: o problema da variabilidade (funções reais); o problema geométrico da medida (áreas e volumes de corpos redondos); e o problema aritmético da medida (número real).  Todos estes são, efetivamente, problemas fundamentais do Cálculo que têm raízes no ensino básico de matemática. 
Como fonte de nossa observação escolhemos o livro didático devido à facilidade de acesso e ao fato deste instrumento apresentar, em geral, um bom universo das alternativas didáticas utilizadas pelo professor em sala de aula.  Para a escolha dos livros didáticos a serem observados foram usados os seguintes critérios: popularidade (que são utilizados na maioria dos colégios e são publicados por editoras conhecidas e de circulação nacional); atualidade (que foram revisados recentemente ou que possuem publicação nova); e qualidade (que são considerados de boa qualidade por avaliações oficiais e/ou institucionais).
A pergunta que norteou a nossa pesquisa (projeto / projeção dos mapas) foi: Como os livros didáticos abordam cada um dos problemas construtores do Cálculo, isto é, como os livros didáticos abordam o ensino das funções reais, de áreas e volumes de corpos redondos e do número real tendo como pano de fundo as idéias e conceitos inerentes do Cálculo (variabilidade e processos infinitos e/ou infinitesimais)?  Até o presente momento desenvolvemos um mapeamento dos dois primeiros problemas.  Para a realização desta pesquisa foi fundamental a participação dos alunos José Carlos Gonçalves Gaspar, Leila Maria Lima Botelho e Sandro Lopes de Souza Sá, do curso de Especialização de Matemática para Professores do Ensino Médio e Fundamental da UFF.    Mais detalhes sobre os resultados dessa pesquisa podem ser vistos em suas respectivas monografias: (Gaspar, 2005), (Souza Sá, 2005) e (Botelho, 2005).  O terceiro problema ficou para ser realizado num momento futuro, na continuidade deste trabalho.  E para este artigo, selecionamos os resultados obtidos com o mapeamento que fizemos relativo ao “problema da variabilidade” (funções reais).
Antes, porém, de apresentarmos alguns resultados, cabe uma conversa inicial a respeito da simbolização utilizada nos mapas.  Como bem disse Biembengut (2003), “não se pode compreender verdadeiramente o significado das informações levantadas sem procurar expressar como os diversos entes se interagem”.   Para facilitar nossa exposição, consideremos um fragmento de um dos mapas (sobre o ensino de funções) construídos:

Fig. 1

Em cada mapa, os tópicos usados para o ensino das funções estão representados no interior de retângulos coloridos, que estão interligados a outros através de linhas ou setas. As setas nos mapas indicam o caminho utilizado pelo autor para desenvolver os tópicos ou introduzir algum conceito. No fragmento de mapa da Fig. 1, podemos observar, por exemplo, que a confecção da “TABELA DE VALORES” e a definição da “TAXA DE VARIAÇÃO” foram feitas a partir da “DEFINIÇÃO” da função. Podemos verificar também que o “GRÁFICO NO PLANO CARTESIANO” foi construído através da tabela de valores.
 É notório, no entanto, que para construir o gráfico de uma função utilizamos outros conceitos como, por exemplo, o de eixos coordenados, o de par ordenado além, é claro, e o da própria “DEFINIÇÃO” da função afim. No entanto, devemos estar atentos ao fato de que a escolha da escala está associada à nossa intenção de mapear (projeção a ser utilizada).  Em uma escala maior, por exemplo, o tópico “DEFINIÇÃO” poderia estar relacionado com todos os outros através de setas. É certo que tudo pode ser relacionado à quase tudo, mas decidir o que verdadeiramente importa é, cada vez mais, a grande questão (Machado, 2004).  No entanto, associar “tudo” com “tudo” (ou com quase tudo) dificultaria certamente a visualização de como o tema é abordado no livro e não nos permitiria alcançar o nosso objetivo com a ação de mapear.  Além disso, no fragmento mostrado na Fig.1 pode-se observar que a DEFINIÇÃO algébrica da função mapeada participa de forma indireta na construção do seu GRÁFICO (DEFINIÇÃOTABELA-DE-VALORESGRÁFICO-NO-PLANO-CARTESIANO), não sendo necessária desse modo uma seta que articulasse os tópicos  “DEFINIÇÃO” e “GRÁFICO-NO-PLANO-CARTESIANO”. Isto só “poluiria visualmente” o nosso mapa, dificultando, certamente, nossas observações acerca do que se quer mapear.  Vale lembrar que nosso objetivo, no caso específico das funções reais, era observar se a função foi (e como foi) caracterizada a partir do seu comportamento variacional.   
Outro recurso utilizado foi a cor.  Usamos as cores amarelo, rosa e azul para caracterizar o tipo de abordagem (se ela é mais algébrica, mais geométrica ou característica do Cálculo) que é predominante no desenvolvimento de cada tópico. Utilizamos as mesmas cores em todos os mapas, conforme a legenda a seguir:

ÁLGEBRA

GEOMETRIA 

CÁLCULO

3.	Problema da variabilidade: resultados da pesquisa
Para o mapeamento deste “problema” consideramos apenas o universo das funções polinomiais do primeiro e do segundo graus e as funções exponenciais e logarítmicas.  Para esta pesquisa foram consultados 4 livros do ensino fundamental (8ª série) e 6 livros do ensino médio (1ª série), a saber:
•	ANDRINI, A. e VASCONCELLOS M. J. Praticando Matemática – 8ª série. São Paulo: Editora do brasil, 2002.
•	BIANCHINI, E. e PACCOLA, H. Matemática, vol. 1, Versão Beta. São Paulo: Moderna, 1995.
•	BIGODE, A. J. L. Matemática hoje é feita assim, 8ª série. São Paulo: FTD, 2002.
•	DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações, vol.1, Ensino Médio. São Paulo: Ática, 2002.
•	FRANÇA, E. et al. Matemática na vida e na escola , 8ª série. São Paulo: Editora do Brasil, 1999.
•	IEZZI, G. e MURAKAMI, C. Fundamentos da Matemática Elementar, Conjuntos e Funções. São Paulo: Atual, 1993.
•	IMENES, L. M. e LELLIS, M. Matemática para todos – 8ª série. São Paulo: Scipione, 2002.
•	MACHADO, A. dos S. Matemática Temas e Metas - Conjuntos Numéricos e Funções. São Paulo: Atual, 1988.
•	PAIVA, M. Matemática: Conceitos, linguagem e aplicações – vol. 1. São Paulo: Moderna, 2002.
•	SMOLE, K. S. e DINIZ, M. I. Matemática – Ensino médio, vol. 1. São Paulo: Saraiva, 2003.

Foram elaborados 20 mapas para as funções afim e quadrática e 12 mapas para as funções exponencial e logarítmica.  Os mapas podem ser vistos em Botelho (2005) e Souza Sá (2005).  Selecionamos alguns deles para subsidiar nossas considerações finais.  Por questões éticas, omitiremos o nome dos autores dos livros didáticos. A relação completa dos textos que serviram como fonte da pesquisa se encontra no final do artigo.  Há de se ressaltar ainda que todos são textos bem coceituados na literatura nacional e que esta pesquisa, em qualquer momeno de sua realizção, não teve a pretenão de avaliá-los ou compará-los.

3.1.	Função Afim e Função Quadrática

Fig. 2– mapa da função afim – Fonte: A

Fig. 3 – mapa da função afim – Fonte: B

Fig. 4 – mapa da função quadrática – Fonte: C

O mapa descrito na figura 2 representa a atitude majoritária dos textos pesquisados em relação ao tópico “função afim”.  A função afim é definida e caracterizada algebricamente.  Estudam-se os elementos e as propriedades algébricas da função afim: domínio, imagem, zeros, “sinal da função”, injetividade, sobrejetividade.  O gráfico da função é elaborado mediante uma tabela de valores e sua representação é caracterizada intuitivamente como uma reta. Há de se registrar, no entanto, que apenas dois dos textos pesquisados fazem referência à taxa de variação da função afim (veja mapa de um dos textos na figura 3).

O mapa da figura 4 representa a atitude da quase totalidade dos textos com relação à ao tema função quadrática. Apenas um dos textos foge à regra e comenta a respeito da taxa de variação deste tipo de função.  O assunto é desenvolvido predominantemente, como no caso da função afim, no âmbito algébrico.  Estudam-se os elementos e as propriedades algébricas, e o gráfico da função é elaborado mediante uma tabela de valores.  A curva que descreve o traço do gráfico é caracterizada de forma indutiva como uma “parábola”.  E, novamente, os estudo de equações e inequações encerra a apresentação do tema.

3.2.	Função Exponencial e Função Logarítmica	

Fig. 5– mapa da função exponencial  – Fonte: D

Fig. 6– mapa da função exponencial  – Fonte: E

Fig. 7 – mapa da função logarítmica  – Fonte: D

O mapa da figura 6 representa a atitude majoritária em relação à abordagem da função exponencial nos livros didáticos pesquisados.  O estudo dessas funções é realizado, como no caso das funções polinomiais, no âmbito algébrico. Novamente, o estudo das equações exponenciais e das inequações exponenciais dá um caráter terminal ao estudo dessas funções.  Há de se ressaltar, entretanto, o mapa da figura 5.  No texto correspondente a este mapa pode-se observar uma relação entre a definição (algébrica) da função exponencial e a progressão geométrica . Contudo, tal fato aparece apenas como “motivação” para a introdução da noção de função exponencial e não participa efetivamente da apresentação dos outros tópicos a serem estudados; ao contrário, a partir da definição (algébrica), a abordagem do assunto segue o padrão de normalidade estabelecido pelos demais textos.
No que tange ao estudo das Funções Logarítmicas, pode-se observar uma continuidade “natural” da abordagem algébrica iniciada no estudo das funções exponenciais.  O mapa de figura 7 representa a totalidade das atitudes dos textos pesquisados. 

4.	Considerações finais
Com base nos mapas elaborados por Botelho (2005) e Souza Sá (2005), pode-se concluir que existe uma predominância da representação algébrica do conceito de funções.  Fala-se, por exemplo, em injetividade ou sobrejetividade, mas não em crescimento ou decrescimento da função, ou melhor, em quanto e como cresce/decresce o valor de uma função em relação à sua variável independente.  Discutem-se (caso existam) os zeros da função, mas não os seus pontos críticos, que são, em verdade, os seus pontos ótimos.  A noção de função é, desse modo, estabelecida não no contexto da “variabilidade”, mas, em termos de uma correspondência estática entre os valores das variáveis “x” e “y”.  O gráfico da função é, em geral, “plotado” através de uma tabela de valores “notáveis”.  A curvatura das curvas que compõem o gráfico da função é, em geral, induzida pelo acréscimo de mais pontos.   A noção de “taxa de variação” só foi considerada em dois textos e, mesmo assim, no caso das funções polinomiais.  A associação do estudo de funções reais com o estudo de seqüências (PA e PG) raramente é feita e, quando é realizada, restringe-se apenas a resolução de situações problemas em particular.  
Cabe destacar ainda que os exercícios resolvidos ou sugeridos nos textos já apresentam a expressão da função que modelam o problema.  A função “é dada pronta”; isto é, o aluno não é estimulado em nenhum momento a descobrir qual é a relação funcional que modela o problema a partir de dados que quantifiquem a variação de uma grandeza em relação à outra.  Nesse sentido, nota-se uma ausência quase total de tópicos que analisem o comportamento destas funções sob o ponto de vista da variabilidade.   Tal como sugere o fluxo das idéias nos mapas construídos, parece que a meta principal do estudo de funções reais é a aprendizagem de técnicas algébricas de resolução de equações e inequações polinomiais e exponenciais.  Isto representa, efetivamente, um desvio e uma limitação de natureza epistemológica do conceito de função.  
De fato, segundo Caraça (1989), o conceito de função se estabelece como uma ferramenta da matemática que ajuda o homem a entender os processos de fluência e de interdependência que são intrínsecos às coisas e aos seres do nosso Universo.   Portanto, saber que a variação de uma grandeza depende da variação da outra é um aspecto importante no estudo do conceito de função, mas que se torna incompleto do ponto de vista epistemológico, se não estudamos como ocorre esta variação, isto é, se não conseguimos dar qualidade e quantificar este processo de variação. 
E ao que parece, este “desvio” está consolidado nas abordagens dos textos aqui pesquisados. Talvez isso explique as dificuldades de aprendizagem apresentadas pelos estudantes do ensino superior da disciplina de Cálculo. Pesquisas na área de ensino de Cálculo têm sustentado que o conceito de função tem sido uma das principais fontes de obstáculos epistemológicos para a aprendizagem dos conceitos básicos desta disciplina.  Sierpinska (1987), Cabral (1998) e Rezende (2003a) são alguns exemplos dessas pesquisas.   Cabral (1998), por exemplo, analisando o universo de respostas dadas pelos estudantes a alguns problemas de taxas relacionadas e de otimização, identifica quatro níveis de significação: o aritmético, o algébrico, o funcional e o diferencial, identificando entre eles uma hierarquia de natureza epistemológica.   Segundo a pesquisadora, em situações problema dessa natureza, os dois primeiros níveis de significação são os mais comuns.  Os alunos não conseguem definitivamente “enxergar” as quantidades variáveis envolvidas no problema nem tampouco a relação funcional entre elas:  “O difícil mesmo é encontrar a função” – respondem os estudantes .  Identificar o que varia, e em função de que varia é, sem dúvida, o primeiro passo para a resolução desse tipo de questão.
Assim, se para os futuros estudantes de Cálculo na educação superior, já foram apontadas no parágrafo anterior razões que justifiquem uma abordagem das funções sob ponto de vista da variabilidade, resta saber: e para os outros alunos do ensino médio, aqueles que provavelmente jamais estudarão derivadas e integrais? Que importância teria em se desenvolver um estudo qualitativo e quantitativo da variabilidade das funções reais?
Os problemas do cotidiano ou das ciências que podem ser resolvidos matematicamente em geral não trazem fórmulas em seus enunciados. Trazem sim “quantidades variáveis” como tempo, lucro, temperatura, peso, população, demanda, preço ou qualquer outra grandeza. Não existem grandes vantagens em saber apenas que “o preço da gasolina vai subir” ou que “as taxas de juros no varejo caíram”. O exercício da cidadania envolve também o conhecimento sobre como e o quanto variam as grandezas presentes em problemas que nos são apresentados em nossa vida cotidiana.
Assim, um caminho natural para o estudo das funções reais na educação básica  seria caracterizá-las conforme a “maneira que variam”, estabelecendo-se, desse modo, uma verdadeira conexão do conceito de função e sua origem histórica.  Para o bem do ensino de funções reais na educação básica, precisamos resgatar a sua origem histórica. Precisamos recuperar os “escolásticos”, que ao “matematizarem” o conceito de função, viam nele um instrumento que permitia estabelecer uma tipificação da variação de uma grandeza em relação a outra(s) variável(veis) .  Não basta saber, conforme já dissemos, que o custo de vida cresce, que a inflação cresce, que o salário cresce, com o decorrer do tempo, mas sim, como se dão os crescimentos destas coisas.  Torna-se imprescindível ao educando, quando completar o ensino básico, ter ferramentas para interpretar o mundo que o cerca, objetivando o exercício pleno da cidadania numa sociedade cada vez mais complexa. 
Diante disso, surge uma questão de natureza prática: Como? Como poderíamos fazer tal resgate histórico no ensino de funções reais na educação básica? Não precisamos falar explicitamente de derivada, de limites. Mas poderíamos tirar proveito, por exemplo, da fecunda relação que existe entre o estudo das seqüências numéricas (PA e PG) – usualmente estudadas no ensino médio – e o das funções reais. Fazer, por exemplo, como fizeram Galileu e os escolásticos, que procuraram descrever e estudar a variação contínua por uma sucessão de intervalos cada vez menores.  Algumas ferramentas já se encontram no conteúdo programático do ensino médio.  O que precisamos fazer é tecer uma nova rede de significações entre alguns desses elementos, tendo como referência os grandes avanços que tem sido realizado pelos pesquisadores, educadores matemáticos, que trabalham em resolução de problemas e modelagem matemática.  Contribuições do uso de novas tecnologias, de softwares como o modellus – por exemplo , somar-se-ão a esta empreitada.  Mas isso é assunto para um outro projeto.

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