UM OLHAR SOBRE O PAPEL DO CÁLCULO MENTAL PARA A APRENDIZAGEM DE CONCEITOS MATEMÁTICOS NOS ANOS INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL

Sheila Denize GUIMARÃES - UFMS (sheiladgui@hotmail.com )
José Luiz Magalhães de FREITAS – UFMS (jluiz@dmt.ufms.br)
Agência Financiadora: FUNDECT

INTRODUÇÃO
Embora os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (BRASIL, 1997) enfatizem a necessidade de ampliação de diferentes procedimentos e tipos de cálculos – mental ou escrito, exato ou aproximado, as escolas brasileiras, em sua maioria, se limitam em utilizar o cálculo escrito e o exato. Uma pesquisa recente realizada por Carnoy, Gove e Marshall (2003) apresenta os resultados de uma análise das práticas de ensino de matemática em salas de aula de 3ª série em escolas de três países: Brasil, Chile e Cuba. Os dados apontam que as escolas brasileiras se enquadram na categoria de aulas menos exigentes em termos de capacidade cognitiva exigida dos alunos, obtendo a média mais baixa tanto em demanda cognitiva como em proficiência matemática. Essa média está relacionada ao formato das aulas, centradas na aquisição de respostas corretas sem desenvolver a compreensão. “Grande parte das aulas brasileiras consistia na professora escrevendo no quadro-negro, os alunos copiando, com pouca interação. As explicações, quando ocorriam, limitavam-se a descrever o procedimento sendo utilizando” (ibid., p. 21).
Os resultados mostraram, também, que as professoras brasileiras, com algumas exceções, usavam trabalho individual ou trabalho em grupo, sem usar modos múltiplos de interação, como faziam as professoras chilenas e cubanas. Os autores acreditam que o uso de um método mais estático nas aulas brasileiras, seja uma forma de exercer controle sobre os alunos, a fim de manter a disciplina.
Essa visão de aula, regida pela manutenção da disciplina nos remete a concepção de escola trazida por alguns autores. Kant (1999) ao discutir a temática escola diz que esta não foi criada para que as crianças aprendessem alguma coisa, mas para que aprendessem a ter disciplina, a controlar seu próprio corpo e, principalmente, a obedecer pontualmente aquilo que lhes é mandado. 
Comenius (2002) quando discorre sobre como deveria ser a organização das escolas a disciplina é comparada a uma prensa de tipografia, que predispõe e obriga todos os papéis, no caso os alunos, a absorverem os ensinamentos. “Assim como, para transformar-se em livro, nenhum papel pode escapar da prensa (mais dura para os papéis mais duros e mais delicada para os mais delicados), ninguém que freqüente a escola para receber instrução poderá escapar da disciplina comum” (ibid., p. 366)
Cândido (1971) ao apresentar a estrutura da escola aponta que a disciplina pode ser atingida ou pelo cumprimento das normas ou por aplicação de sanções, para que os indivíduos ajustem seu comportamento. “A insubordinação, a desobediência, oficialmente avaliadas como conduta desorganizada e passível de sanção podem exprimir [...] a conformidade do imaturo com outros padrões [...]”, que não se submeteu as normas estabelecidas (ibid., p. 124).
Para Dubet (1998) a disciplina na escola desempenha um papel essencial pelo silêncio, domínio do corpo, ordem e, sobretudo pela construção de uma distância entre crianças e os adultos.
Entretanto, quando defendemos uma ampliação nos procedimentos e tipos de cálculos usados pelo aluno acreditamos que esse formato acaba se tornando inadequado. Acreditamos que as aulas que exigem maior capacidade cognitiva, como é o caso das que fazem uso do cálculo mental, é necessário que o professor crie um espaço para que o aluno possa explicitar os procedimentos utilizados na resolução das situações–problema. Nesse momento é inevitável o aparecimento de modos múltiplos de interação – professor / aluno, aluno / aluno, aluno / turma. Cabe ressaltar que usaremos a expressão cálculo mental para nos referirmos ao cálculo de cabeça ou de memória, sem ajuda externa, com dados exatos (GÓMEZ, 2005), realizado sem a utilização de algoritmos escritos, podendo ser utilizado, no mesmo sentido, a expressão cálculo oral (CORREA, 2004). 
Cabe ressaltar que a defesa da utilização de procedimentos e tipos de cálculo variados também se faz presente no Guia do livro didático 2007 (BRASIL, 2006) que apresenta na ficha de avaliação das coleções de livros didáticos, encaminhada aos pareceristas, um item que busca diagnosticar a presença de situações que envolvem o cálculo mental. O documento afirma que, em relação ao conjunto de coleções avaliadas, o cálculo mental é abordado em grande parte delas. Em muitas das coleções “[...] é feito um bom trabalho pedagógico para a construção dessa competência indispensável na formação Matemática do aluno. Contudo, em outras, as estratégias de cálculo mental são apresentadas, mas o aluno é pouco incentivado a utilizá-las” (ibid., p. 27).
Entretanto, tendo acesso apenas ao documento que avalia o livro didático, fica difícil vislumbrar o formato das situações que envolvem o cálculo mental e a maneira que essas são propostas nas coleções avaliadas. Fato que pode ser percebido na avaliação de uma das coleções que traz somente esta informação sobre o cálculo mental: “Convém mencionar que é bem cuidado o trabalho com o cálculo mental [...]” (ibid., p.53). Restamos compreender o significado de bem cuidado e principalmente, em que momentos e de que forma isso ocorre. 
Tendo em vista que tanto os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (BRASIL, 1997) como o Guia do livro didático 2007 (BRASIL, 2006) destacam a importância de se trabalhar situações que desenvolvam o cálculo mental, decidimos estruturar o presente estudo, de natureza teórica, que pretende identificar contribuições do cálculo mental para a aprendizagem de conceitos matemáticos. Para tanto, utilizamos como elemento norteador pesquisas que discutem a importância de um trabalho envolvendo o cálculo mental. 
Tal estudo tem como base a seguinte questão central: Quais as contribuições apontadas pelas pesquisas em relação ao trabalho com cálculo mental?
METODOLOGIA 
Apresentamos neste estudo os resultados de um levantamento realizado em alguns periódicos de educação que apresentam pesquisas que discutem o trabalho com o cálculo mental para a aprendizagem de conceitos matemáticos. Destacamos que o levantamento apresentado é parte do estado da arte que estamos realizando em nossa pesquisa de doutorado iniciada em 2006. Tal pesquisa busca investigar contribuições de uma prática regular de cálculo mental para ampliação e construção de novos procedimentos de cálculo para a aprendizagem dos conceitos aditivos e multiplicativos por alunos do 4º ano do Ensino Fundamental, em situação de resolução de problemas. 
CONTRIBUIÇÕES DE UMA PRÁTICA REGULAR DE CÁLCULO MENTAL PARA A APRENDIZAGEM DE CONCEITOS MATEMÁTICOS
Iniciemos apresentando a pesquisa realizada por Butlen e Pezard (1992) em escolas elementares da região parisiense e da cidade de Moulins do nível CP ao CM2 . Tal pesquisa se baseia em duas idéias sobre o papel do cálculo mental nas aprendizagens numéricas. A primeira está relacionada ao fato de admitir que o cálculo mental parece ser um campo privilegiado para testar as concepções numéricas dos alunos e sua disponibilidade. A outra idéia diz respeito às sessões de cálculo mental, consideradas espaços de trabalho intensivo para a realização desses testes. 
Os autores verificaram que a interação social desencadeada durante as sessões de cálculo mental favorece a aprendizagem tanto do ponto de vista individual como do ponto de vista coletivo. Do ponto de vista individual ajuda o aluno, por um lado, a organizar seu pensamento, devido ao fato de ter de expressá-lo para outras pessoas aumentando o grau de articulação e de precisão na verbalização. Por outro, agiliza o trabalho cognitivo, pois o aluno é estimulado a encontrar rapidamente uma solução para a situação–problema apresentada, buscando técnicas eficazes e adequadas, bem como levando-o  a explorar outros caminhos. 
Do ponto de vista coletivo é possível verificar um maior envolvimento dos alunos, pois esses são incitados a comparar os diferentes procedimentos, fazendo escolhas por um em específico “[...] em função de suas concepções numéricas, e por interesse pessoal em economia [...]” (BUTLEN; PEZARD, 1992, p. 336). Fato que permite enriquecer suas capacidades de cálculo. 
Além do conflito sócio-cognitivo desencadeado quando o aluno faz uma comparação entre a estratégia empregada por ele e a empregada por outros, o estado de desequilíbrio provocado pela situação proposta permite a construção de novos esquemas. Tais esquemas ajudarão o aluno a enfrentar outros desafios e automatizar o cálculo. Contudo, a automatização do cálculo é o resultado de um processo atingido após várias sessões de estudo nas quais o aluno é desafiado a estimar valores, testar hipóteses, comparar diferentes procedimentos e descobrir estratégias variadas de cálculo.
A prática do cálculo mental, apesar de não ser muito estimulada pelas escolas brasileiras, pode desenvolver habilidades como a atenção, a memória e a concentração. Além disso, o trabalho sistemático envolvendo o cálculo mental possibilita a memorização de um repertório básico de cálculo. O trabalho sistemático com cálculo mental em sala de aula, como ocorre em alguns países, indica que ele ajuda a desenvolver esses tipos de habilidades. Essa possibilidade que parece não ser percebida, de modo geral, pelo currículo escolar brasileiro, que dispende pouca atenção ao cálculo mental o reduz “[...] à memorização mecânica de fatos numéricos sem que sejam levadas em consideração as estratégias nele envolvidas” (CORREA e MOURA, 1997, p. 2).
Talvez por esse motivo, alguns professores acreditam que o uso do cálculo mental é sinônimo de cálculo decorado, incentivado pela teoria comportamentalista, proposta por Skinner. Contudo, no trabalho com o cálculo mental não basta reter uma quantidade enorme de informações é preciso colocá-la em ação diante de situações-problema, pois somente o aluno que compreendeu as regras contidas no seu repertório é que poderá ter êxito em situações envolvendo cálculos dessa natureza. É necessário que antes de atingir a memorização, o processo de aquisição desse repertório passe pela construção e organização de fatos fundamentais de uma dada operação, por isso mesmo podemos denominá-la de memorização compreensiva. 
De acordo com Anselmo e Planchette (2006), o trabalho de memorização se apóia sobre algumas idéias fortes:
•	A memorização ocorre através da ação, quando compreendemos e quando respondemos a uma questão que nós formulamos;
•	Para memorizar temos de utilizar todos os sentidos;
•	A verbalização para si e para os outros ajuda a interiorizar novos procedimentos de cálculo e a ganhar tempo, permitindo a certos alunos libertar-se das dificuldades da passagem ao escrito.
Além disso, dispor de resultados memorizados permite liberar a memória de trabalho e a melhorar o desempenho em cálculo, contribuindo para tornar mais disponível as propriedades dos números e das operações. Tal afirmação se apóia nos trabalhos desenvolvidos por Butlen e Pezard (2003) que afirmam também que uma prática regular de cálculo mental favorece a automatização dos cálculos e contribui para liberar espaço mental para a construção da representação do problema. 
Cabe ressaltar que o trabalho com o cálculo mental é um trabalho individual de desenvolvimento da memória, pois cada um possui estratégias e procedimentos diferentes que serão disponibilizados no contato com a situação–problema (LETHIELLEUX, 2001). O cálculo mental também contribui para um maior domínio do cálculo escrito à medida que o agiliza, além de permitir ao aluno perceber algumas propriedades e regularidades das operações. 
Uma outra pesquisa realizada por Butlen e Pezard (2000), com alunos do 2º ciclo do ensino básico, constatou que o trabalho com o cálculo mental gera realmente um ganho de tempo, proveniente da economia realizada por não recorrer à escrita e pelo ritmo e sucessão rápida das atividades. Os alunos conduzidos para o cálculo mental não somente calculam melhor como também reconhecem mais as operações a efetuar e cometem menos erros de cálculo.
Os autores afirmam ainda que, graças ao cálculo mental, os alunos se familiarizam com os números e podem explorar rapidamente diferentes caminhos de resolução dos problemas, encorajando-os a não recorrer imediatamente a certos algoritmos confiáveis, mas que necessitam de maior tempo para resolução.
A pesquisa realizada por Gómez (1995), com estudantes espanhóis, buscou analisar os erros cometidos pelos alunos durante a resolução de exercícios de cálculo mental com números naturais e decimais. Após a resolução, os alunos tinham que explicar como encontraram o resultado, mediante entrevistas individualizadas, sendo essa informação utilizada para caracterizar os tipos de erros em cálculo mental. Tais entrevistas “[...] permitiram uma melhor compreensão do significado e das propriedades das operações, do uso das noções do sistema de numeração, das expressões numéricas equivalentes, da representação simbólica da linguagem horizontal das equações [...]” (GÓMEZ, 1995, p. 320).
Correa e Moura (1997), realizaram um estudo com crianças de 1ª à 4ª série do ensino fundamental na resolução de adições e subtrações, no intuito de investigar o uso de múltiplas estratégias na resolução oral destas operações. Os problemas possuíam o mesmo formato verbal, contendo somas e subtrações com um ou dois algarismos. Foram identificados três grupos principais de estratégias: contagem, composição e decomposição.
Os resultados de tal estudo indicam que “[...] as estratégias usadas no cálculo mental são flexíveis e parecem desenvolver-se como resultado da compreensão intuitiva da criança acerca do número e das propriedades do sistema de numeração, refletidas sob a forma de verdadeiros teoremas em ação [...]” (ibid., p.11).
Como podemos observar, a presença dos invariantes operatórios – teoremas em ação – é um outro princípio que temos que considerar, pois estes organizam a ação do aluno, fazendo com que reconheça os elementos pertinentes da situação e o leve a tomada de decisão. Os invariantes operatórios são percebidos no estudo do sujeito em ação, sendo fontes de pesquisa que podem auxiliar o professor a compreender como o aluno resolveu uma dada situação e que elementos foram considerados no momento da resolução que o fez a decidir por esta ou aquela estratégia. 
A análise das regras de ação do tipo “se... então...” utilizadas pelo aluno no trabalho com o cálculo mental também podem constituir material de pesquisa.  Tal análise permite evidenciar e hierarquizar os procedimentos utilizados na resolução de uma situação-problema que solicita, por exemplo, o resultado de 15 x 8. O aluno poderia explicar que realizou a seguinte operação mental:  se 5 é a metade de 10 e 10 x 8 = 80,  então 5x 8= 40, logo 80 + 40 = 120. Podemos perceber nesse exemplo a utilização da propriedade distributiva da multiplicação e da adição reiterada, obtendo a solução, sem que fosse preciso usar o algoritmo. 
Vale destacar que para a análise das regras do tipo “se... então...” também temos que considerar o sujeito em ação, na busca de uma solução à situação proposta. Ressaltamos ainda, que é diante de uma variedade de situações que podemos evidenciar a operacionalidade de um conceito. Isso porque consideramos, assim como Vergnaud (1985), que existe uma reciprocidade muito grande entre conceito e situação, tendo em vista que um conceito remete a muitas situações e uma situação remete a muitos conceitos. Acreditamos que o trabalho com o cálculo mental permite comprovar essa reciprocidade e favorecer a aprendizagem de conceitos matemáticos.
Acreditamos que o trabalho com o cálculo mental permite comprovar essa reciprocidade e favorecer a aprendizagem de conceitos matemáticos. Além disso, o trabalho com o cálculo mental possui, de acordo com Boulay; Le Bihan; Violas (2004), duas funções: a social e a pedagógica. A função social se justifica pelo uso em cálculos do dia-a-dia, que se manifestam na diversificação de estratégias de cálculo complexo e na utilização de cálculos aproximados. Já a função pedagógica tem um papel importante para a compreensão e domínio das noções ensinadas, haja vista que sua prática pode contribuir para :
•	A construção e o reforço dos primeiros conhecimentos relativos à estruturação aritmética dos números naturais inteiros (relações aditivas e multiplicativas dos números), bem como para compreensão as propriedades das operações;
•	Ampliar capacidade de raciocínio dos alunos na elaboração de procedimentos originais;
•	Auxiliar na resolução de problemas, permitindo reconduzir um problema ao seu campo conceitual;
Cabe ressaltar, também, que podemos observar dois tipos de cálculo mental: o automatizado e o refletido. Segundo Anselmo e Planchette (2006), o cálculo automatizado pode ser definido como o cálculo onde os resultados são produzidos imediatamente de maneira espontânea, sem consciência do caminho seguido.
Já no cálculo refletido os resultados são obtidos por uma reconstrução pessoal. Esse tipo de cálculo apóia-se sobre propriedades conhecidas e dominadas pelo sujeito. Para um mesmo cálculo, os procedimentos variam de acordo com os indivíduos, com o momento e com o contexto onde este cálculo é proposto. Os procedimentos são elaborados partir das propriedades implícita ou explicitamente conhecidas das operações (comutatividade, distributividade, associatividade) e de resultados memorizados. 
De acordo com os autores, o resultado de um mesmo cálculo pode revelar um cálculo automatizado ou refletido, variando conforme os indivíduos, o momento e o contexto onde esse cálculo é proposto. Contudo, as duas formas de cálculo convivem e evoluem, tendo em vista que o cálculo refletido se nutre do cálculo automatizado, pois a prática faz com que a memorização aconteça, talvez por preocupação de economia, fazendo este se torne mais atuante no cálculo mental.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Podemos inferir, diante do estudo teórico realizado neste estudo, que o trabalho sistemático com o cálculo mental permite ao aluno construir novos esquemas de ação, estabelecer um espaço de múltiplas interações em sala de aula, desenvolver habilidades como a atenção, a memória e a concentração, ampliar o repertório de cálculo e agilizar seu uso. Além disso, tal prática poderá auxiliar o professor a identificar invariantes operatórios mobilizados em situações–problema e atuar diretamente neles.
Partindo desses pressupostos, nos propomos a investigar contribuições de uma prática regular de cálculo mental para a aprendizagem dos conceitos aditivos e multiplicativos de alunos do 4º ano do Ensino Fundamental, em situação de resolução de problemas, a partir da construção e aplicação de uma seqüência de atividades em classe, ou seja, de uma Engenharia Didática (ARTIGUE, 1988).
Tal engenharia está sendo implementada de forma pré-experimental, em sessões de atividades semanais, com duração de aproximadamente 15 minutos. Nessas sessões priorizamos o cálculo oral, visto que o escrito parece induzir a utilização de técnicas escritas. Isso porque, o cálculo oral exige, por parte dos alunos, uma maior concentração e um esforço de memória superior ao utilizado no cálculo escrito. 
A investigação proposta se baseia na seguinte questão investigativa: Quais são as estratégias de cálculo mental utilizadas pelos alunos durante a realização de uma seqüência de atividades que envolve operações aditivas e multiplicativas? 
Acreditamos que essas estratégias de cálculo poderão ser melhor evidenciadas a partir de um trabalho sistemático envolvendo o cálculo mental que, por um lado, permita ao aluno construir novos esquemas de ação, estabelecer um espaço de múltiplas interações em sala de aula, ampliar e automatizar o repertório de cálculo e habilidades como a atenção, a memória e a concentração.
E por outro, auxilie o professor a identificar invariantes operatórios mobilizados nas situações–problema e atuar diretamente neles. Fato que a justifica. Além disso, os resultados das pesquisas apresentadas neste estudo destacam a importância de se criar momentos durante a aula para que o aluno possa fazer uso do cálculo mental, diante de situações variadas, levando-o à ampliação e à diversificação dos seus esquemas de ação.  

REFERÊNCIAS BIBLIGRÁFICAS

ANSELMO, B.; PLANCHETTE, P. , Le calcul mental au collège: nostalgie ou innovation? Repères IREM. Num. 62. p. 5-20, 2006. 
ARTIGUE, M. Ingénierie Didactique. Recherches en Didactique des Mathémaques, Vol. 9, no 3, pp. 281-308, Grenoble : La pensée sauvage, 1988.
BOULAY, S.; LE BIHAN, M.; VIOLAS, S. Le calcul mental. Mathématiques, 2004. Disponível em: <http://jclebreton.ouvaton.org/IMG/doc/Le_calcul_mental.doc>. Acesso em 26 de out. /2006.
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto/Secretaria de Educação Básica. Guia do livro didático 2007: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 2006.
_____ . Ministério da Educação e do Desporto/Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais. V. 3: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997.
BUTLEN D. e PEZARD M. Une contribution à l’étude des rapports entre habiletés calculatoires et résolution de problèmes numériques à l’école primaire et au début du collège, Spirale, Revue de Recherche en Education, vol 31, 117-140, Lille, 2003.
BUTLEN, D.; PEZARD, M. et al., Calcul mental et résolution de problèmes numériques au début du collège, Repères-IREM, n° 41, 5-24, Topiques Editions, Metz, 2000.
BUTLEN. D. e PEZARD, M. Calcul Mental et Resolution de Problemes Multiplicatifs, une Experimentation du CP au CM2. Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol. 12, nº. 23, pp. 319-368, 1992. 
CANDIDO, A. A estrutura da escola. In: PEREIRA, Luiz & FORACCHI, Marialice M. Educação e Sociedade. 6. ed. São Paulo: Editora Nacional, 1971.
CARNOY, M., GOVE, A. K., MARSHALL, J.H. As razões das diferenças de desempenho acadêmico na América Latina: dados qualitativos do Brasil, Chile e Cuba. Revista Brasileira de Estudos Pedagógicos, 84, p.7-33, 2003.
COMENIUS, ÁMOS. Didática Magna. São Paulo: Martins Fontes, 2002.
CORREA, J. A resolução oral de tarefas de divisão por crianças. Revista Estudos de Psicologia [Natal], vol.9 nº.1, Jan./Abr.2004.
CORREA, J. E MOURA, M.L. S. de. Revista Psicologia: Reflexão e Crítica [Porto Alegre], vol.10, n.1, 1997.
DUBET, F. M. D. Escuela y educación. [ s.I. : s.n.], 1998.
GÓMEZ, B. La enseñanza del cálculo mental. Revista Iberoamericana de Educación Matemática. Num.  4, p. 17-29, 2005.
_____ . Tipología de los errores de cálculo mental en el contexto educativo. Enseñanza de las ciencias, 13. 3. pp. 313-325, 1995.
KANT, E. Sobre a Pedagogia. Trad. Francisco Fontanella. Piracicaba: UNIMEP, 1999.
LETHIELLEUX, C. Le Calcul Mental au Cycle des Approfondissements. Paris: Bordas, 2001.
VERGNAUD, G. Conceitos e esquemas numa teoria operatória da representação. Trad. de FRANCHI, A., CARVALHO, D. L. Psychologie Française, n 30-3/4, p.245-52, nov.1985.