TEORIA DE VAN HIELE:
UMA ALTERNATIVA PARA O ENSINO DA GEOMETRIA NO 2ºCICLO.

Marilene Rosa dos Santos – PCP/SEE-PE – rosa.marilene@gmail.com

1- Introdução
	Sabemos que a Geometria está presente em diversas situações da vida cotidiana do ser humano: na natureza, nos objetos que usamos, nas brincadeiras infantis, nas construções, nas artes. À nossa volta podemos observar as mais diferentes formas geométricas. Muitas dessas formas fazem parte da natureza, outras já são resultados das ações do homem. 
Pesquisas realizadas indicam que a aprendizagem geométrica é necessária ao desenvolvimento da criança, pois como afirma Fainguelernt (1995), a geometria ativa as estruturas mentais, possibilitando a passagem do estágio das operações concretas para o das operações abstratas. E se este ensino, enfocar os aspectos topológico, projetivo e euclidiano, a criança tem possibilidades de conhecer e explorar o espaço onde vive, fazer descobertas, identificar as formas geométricas, etc., além do mais pode contribuir para o desenvolvimento do pensamento crítico e autônomo.
No entanto, a escola, durante muito tempo, não procurou suficientemente estimular nos alunos essa percepção da geometria no mundo em que vivemos. Ao analisar a geometria, nas diversas modalidades de ensino, podemos observar que alguns alunos do ensino fundamental e médio, apresentam grandes dificuldades nesta área do conhecimento matemático. 
No Brasil, alguns argumentos podem ser usados para tentar justificar essas dificuldades, pois pesquisas realizadas por vários autores, entre eles: Pavanello         (1993) e Lorenzato (1995) constataram um abandono do ensino da geometria nas aulas de matemática, provavelmente, um dos motivos que levaram a esta ausência foi a falta de preparo do professor em geometria, detectada após o movimento da Matemática Moderna no Brasil, onde a Álgebra era mais enfatizada
Para Nasser (1994),....“Nas últimas décadas, uma necessidade de modificações no ensino da geometria cresceu ao redor do mundo, devido às dificuldades encontradas e ao fraco desempenho mostrado por alunos secundários em geometria”. Preocupados, professores pesquisadores têm desenvolvido maneiras que façam o educando se interessar e envolver-se no estudo da geometria.
Uma dessas formas é o estudo da teoria de Van Hiele, que apesar de ser um modelo hierárquico poderá ajudar o professor na sua prática pedagógica. Trabalha com o desenvolvimento do raciocínio em Geometria plana, sugerindo cinco níveis hierárquicos de atividades. Pode ser usado para orientar a formação, e avaliar as habilidades do aluno.  
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais - (BRASIL, 1997, p. 55):
 “Os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo de matemática no ensino fundamental, porque, por meio deles, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive”.
 Desta forma, ensinar conteúdos de geometria, a partir das séries iniciais, tem como principal objetivo, resolver problemas do cotidiano.
	Buscando contribuir para que o futuro cidadão do novo milênio, da periferia das cidades possa desenvolver seu potencial intelectual com amplitude e em condições de competir na sociedade, pois o saber tem um papel emancipador, surgiu esta pesquisa.
Por tudo isso, esse estudo consiste em analisar o nível de desenvolvimento do raciocínio em geometria, através da Teoria de Van Hiele, dos alunos de uma 4ª série em uma escola pública da Cidade do Paulista. Focaremos-nos no nível 1 - reconhecimento de figuras. De forma mais específica verificamos o nível de desenvolvimento geométrico que os alunos da 4ª série se encontravam e comparamos com os resultados obtidos após uma intervenção.

2- Problemática e fundamentação teórica
2.1 - O ensino de geometria nas séries iniciais

          .  Desde tempos muito antigos, o homem tem lidado com a Geometria. Concordamos com Pavanello (1994) que a Geometria oferece um maior número de situações em que o aluno pode construir sua criatividade ao interagir com as propriedades dos objetos. Essa construção pode acontecer quando a criança desenvolve atividades manipulando e construindo figuras ou objetos, observando suas características, comparando-os, associando-os de diferentes modos para representá-los.
Assim a Geometria é considerada como uma ferramenta para compreender, descrever e interagir com o espaço em que vivemos. 
Podemos descrever muitos argumentos a favor do ensino de Geometria nos cinco primeiros anos de escolaridade: apoio à construção de outros conceitos matemáticos pelo aluno, leva-o a intuir, conjecturar, descobrir, projetar, representar quando lida com as formas e o espaço, aprimora a percepção espacial, favorece a compreensão e produção de desenhos, esquemas, mapas, gráficos e etc.
	Recentemente existe uma tendência de resgate da importância da Geometria para a formação dos alunos, mas persistem grandes lacunas herdadas das dificuldades intrínsecas ao tratamento dos conteúdos desse campo e amplificadas pelo descaso com que foram tratadas na escola durante um longo período.
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997) propõem para o ensino da geometria, que o aluno desenvolva a compreensão do mundo em que vive, aprendendo a descrevê-lo, representá-lo e a se localizar nele, estimulando ainda a criança a observar, perceber semelhanças e diferenças, a identificar regularidades, compreender conceitos métricos, e permitir o estabelecimento de conexões entre a Matemática e outras áreas do conhecimento.
Fonseca (2002) e Fainguelernt (1999) propõem práticas de oficinas para modificação do ensino da Matemática na sala de aula e particularmente de Geometria. Também Pavanello (1994) oferece atividades que trabalha a criatividade das crianças com as figuras geométricas.
Acreditamos ser importante este tipo de abordagem, uma vez que, muitos pesquisadores apontam à falta de motivação por parte de alunos e professores, como uma das causas para o abandono da Geometria nas escolas. 
Portanto, todas as propostas encontradas convergem para o mesmo fim, ou seja, mostra a tendência do trabalho da geometria no ensino fundamental, recomendando a exploração da Geometria nessa faixa etária com muita oportunidade de atividades para as crianças. Por isso, é importante realizar experiências oferecendo situações onde visualizem, comparem e desenhem formas: É o momento do dobrar, recortar, moldar, deformar, montar, decompor, esticar, colar, manipular. É uma etapa que pode parecer passatempo, porém é de fundamental importância.

          2.2 - Geometria segundo a Teoria de Van Hiele

	É um modelo que trabalha com o desenvolvimento do raciocínio em Geometria plana, sugerindo cinco níveis hierárquicos de atividades adequadas com o estudo das figuras planas, na identificação e construção das mesmas. Pode ser usado para orientar a formação, e avaliar as habilidades do aluno.
	Foi criado por Pierre Van Hiele e sua esposa Dina Van Hiele-Geoldof, tendo por base nas dificuldades apresentadas por alunos do curso secundário na Holanda.
O modelo sugere que enquanto os alunos aprendem geometria, eles progridem segundo uma seqüência de níveis de compreensão de conceitos, onde cada nível é caracterizado por relação entre objetos de estudo e linguagem.
Apesar de esse modelo ser hierárquico, obedecendo a uma seqüência, como se estivesse reforçando a aprendizagem da geometria exclusivamente das partes para o todo, do particular para o geral, sufocando a visão global. Ele aponta as lacunas de aprendizagem que o aluno tem e assim o professor poderá organizar-se criativamente na sua prática pedagógica para facilitar a aprendizagem do aluno. Estabelecendo estratégias metodológicas que favoreça a resolução de problema e a interdidciplinaridade numa visão não linear.
	No nível da visualização os indivíduos adquirem uma concepção de espaço em sua volta, reconhecendo as figuras apenas pela sua aparência, já no nível de análise são reconhecidas partes das figuras, as quais passam a ser identificada.
              Posteriormente, surge à dedução informal, os indivíduos são capazes de deduzir as propriedades de uma figura e reconhecer classes de figuras.
              No nível formal os alunos são capazes de construir uma demonstração diante da dedução do sistema axiomático. Quanto ao nível de rigor os estudantes são capazes de trabalhar com diferentes sistemas axiomáticos e estabelecer a diferença entre os objetos e a sua essência.  Para melhor esclarecimento, segue abaixo um resumo desse modelo:
Nível de Van Hiele	Características	Exemplo	

1º Nível
Reconhecimento	Reconhecimento, comparação e nomenclatura das figuras geométricas por sua aparência global.	Classificação de recortes de quadriláteros em grupos de quadrados, retângulos, paralelogramos, losangos e trapézios.	

2º Nível
Análise	Análise das figuras em termos de seus componentes, reconhecimento de suas propriedades e uso dessas propriedades para resolver problemas.	Descrição de um quadrado através de propriedades: 4 lados iguais, 4 ângulos retos, lados opostos iguais e paralelos.	

3º Nível
Abstração	Percepção da necessidade de uma definição precisa, e de que uma propriedade pode decorrer de outra;
Argumentação lógica informal e ordenação de classes de figuras geométricas.	Descrição de um quadrado através de suas propriedades mínimas: 4 lados iguais, 4 ângulos retos.
Reconhecimento de que o quadrado é também um retângulo.	

4º Nível
Dedução	Domínio do processo dedutivo e das demonstrações;
Reconhecimento de condições necessárias e suficientes.
	Demonstração de propriedades dos triângulos e quadriláteros usando a congruência de triângulos.	

5º Nível
Rigor	Capacidade de compreender demonstrações formais;
Estabelecimento de teoremas em diversos sistemas e comparação dos mesmos.	Estabelecimento e demonstração de teoremas em uma geometria finita.	
Quadro 01 -  Descrição dos níveis de Van-Hiele
Fonte: Nasser et al (2000, p. 05).

	 Assim, de acordo com o quadro acima, percebemos que o Modelo de Van Hiele, leva o aluno partir do nível da visualização de um conceito geométrico, seguir ao nível da análise, prosseguir pelo nível da dedução formal e, finalmente atingir o nível do rigor da conceituação do ente geométrico, passando a entender e relacionar conceitos geométricos abstratos.
Portanto, nesse estudo enfatizaremos apenas o nível 1, visto que o público alvo pertencente a este estudo encontra-se ainda no Ensino Fundamental I.

3 - Metodologia
Essa pesquisa, de abordagem qualitativa, revestiu-se de um caráter diagnóstico e exploratório, adotando para isto um estudo de caso.
Participaram desse projeto 28 alunos da 4ª série de uma escola pública municipal da Cidade do Paulista/PE.
	Primeiramente realizamos um pré-teste para detectar as dificuldades e lacunas existentes em geometria plana, especificamente na parte de nomeação e classificação de figuras geométricas. Nesse teste é solicitado do aluno que ele assinale a alternativa correta de acordo com a aparência global da figura (teste nível 1 de Van Hiele). 
	Em seguida, após a análise dos resultados, dividimos nossa intervenção em 4 momentos, dando ênfase ao estudo dos triângulos, visto que o índice de acerto não foi satisfatório. Assim nossos encontros foram organizados da seguinte forma: estudo do triângulo eqüilátero, isóscele, escaleno e dos triângulos em gerais. Cada momento foi realizado em 2 horas.
As atividades eram realizadas em grupos ou duplas e utilizavam-se sempre materiais e recursos didáticos, tais como: bloco lógico, palito, canudos, colagem, origami e geoplano, tangram, visando além do conteúdo matemático, o reconhecimento dos triângulos em diversas situações problema.
Transcorrido todo o processo de intervenção, os alunos foram submetidos a um pós-teste, com o objetivo de verificar a evolução quantitativa da aprendizagem sobre a nomeação e classificação dos triângulos, visto que era notório no discurso a evolução qualitativa da aprendizagem. O pós-teste aplicado apresentou as mesmas questões do pré-teste.
4- Resultados e Discussão
	Nos resultados do pré-teste, detectamos que a maioria dos alunos da 4ª série não reconhecia perfeitamente figuras geométricas, assim como percebemos através de depoimentos que alguns nunca tinham estudado geometria. 
Ao compararmos os resultados obtidos do pré e pós-teste, verificamos uma melhora significativa de desempenho por parte dos alunos, após o período de intervenção. Fato que podemos constatar na tabela 01 a seguir:
Tabela 01: Resultados comparativos entre o pré e o pós-teste.
	Reconhece todos os triângulos	Reconhece parcialmente	Não reconhece a figura do triângulo	
Pré –teste	4%	92%	4%	
Pós –teste 	52%	39%	0%	

Como podemos perceber na tabela acima, metade da turma reconhece a figura do triângulo após a intervenção. No entanto, temos ainda 39% dos alunos que reconhecem apenas parcialmente a figura em estudo, ou seja, ainda sente dificuldades de reconhecê-lo em posição não prototípica.
Verifica-se também que após a intervenção não tivemos alunos sem reconhecer a figura do triângulo. O que para nós é uma satisfação, no entanto precisamos intensificar os trabalhos para que o nível de desenvolvimento geométrico alcance seu nível mais alto.
Conclusões
Inicialmente percebemos que os alunos da 4ª série de uma escola pública na Cidade do Paulista- PE, na sua maioria, não reconhecia a figura do triângulo. 
Entendemos que após uma pequena intervenção houve uma melhora significativa no desempenho dos alunos, levando a crer que a Teoria de Van Hiele, o uso de recursos didáticos e a interação social foram facilitadores na aprendizagem do reconhecimento da figura do triângulo. 
Fatos que merecem destaques são que os alunos demonstraram uma curiosidade e interesse de trabalhar com os recursos pedagógicos, uma vez que o professor regente da turma não tem esta prática pedagógica. Outro fato é que, a interação entre alunos- professor e pesquisador proporcionou aulas mais dinâmica que levaram a uma melhor compreensão do objeto de estudo.
Portanto, a intervenção demonstra a viabilidade do projeto em sala de aula contribuindo para uma educação de qualidade.
Referências

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática, V. 2. Brasília: MEC / SEF, 1997.  

FAINGUELERNT, E.K. O ensino de Geometria no 1º e 2º Graus. In: A Educação Matemática em Revista- SBEM, Ano III, n. 4, p. 45-53, 1995.

___________________. Educação Matemática: Representação e Construção em Geometria. 1. ed. Artes Médicas sul - 1999.

FONSECA, Maria da Conceição F. R., et al. O ensino de geometria na escola fundamental - três questões para formação do professor dos ciclos iniciais – 2. ed. – Belo Horizonte: Autêntica, 2002.

LORENZATO, S. Porque não ensinar geometria?  In: A Educação Matemática em Revista- SBEM, ano III, n. 4 p. 3-13, 1º semestre. 1995.

NASSER, L. Usando a teoria de Van Hiele para melhorar o ensino secundário de geometria no Brasil, Eventos; INEP, nº04, 2ª parte,1994.

NASSER, Lílian , et al. Geometria segundo a Teoria de Van Hiele – 3. ed. Instituto de Matemática/ UFRJ - Projeto fundão, 2000.

PAVANELLO, R. M. O abandono do Ensino da Geometria no Brasil: Causas e Conseqüências. In: Zetetiké, n.1, p. 07-17, Unicamp, mar. 1993.