A ÁREA DO PARALELOGRAMO NO LIVRO DIDÁTICO DE MATEMÁTICA

Marilene Rosa dos Santos – PCP/ SEE-PE  rosa.marilene@gmail.com

1-	Introdução
De forma geral, na Matemática escolar, considera-se área como um conteúdo do campo da geometria. Tal escolha encobre um aspecto central em nosso trabalho, que é a consideração da área como uma grandeza associada a figuras geométricas. Portanto, o conceito de área é aqui tomado como componente do campo das grandezas geométricas, que, por sua vez, está inserido, de uma forma mais ampla, no estudo das grandezas e medidas. 
Além de favorecer a articulação com outros eixos da matemática, as grandezas geométricas possibilitam a exploração de uma abordagem que destaca a presença, utilidade social e a construção histórica do conhecimento matemático. Ao mesmo tempo, pesquisas anteriores revelam, de uma forma geral, a existência de lacunas conceituais relativas ao processo de ensino-aprendizagem dessas grandezas, especialmente no Ensino Fundamental. 
Tanto o campo da geometria como o das grandezas geométricas sofreram um abandono na Matemática escolar nas últimas décadas (PAVANELLO, 1993; LORENZATO, 1995; PEREZ, 1995; CÂMARA DOS SANTOS e CÂMARA, 1999). Um dos indícios desse abandono é a posição predominante dos capítulos dedicados a esses temas no final do livro didático.
Observa-se mais recentemente uma tendência de resgate da importância desses campos para a formação dos alunos, mas persistem grandes lacunas herdadas das dificuldades intrínsecas ao tratamento dos conteúdos desses campos e amplificadas pelo descaso com que foram tratadas na escola durante um longo período.
Em observações assistemáticas constatamos que a figura do paralelogramo aparece muitas vezes, no livro didático brasileiro ou na própria abordagem do professor, com o lado de maior comprimento na posição horizontal, inclinação2 para a direita e altura interna. Dessa forma, os alunos, por vezes, não o reconhecem em outra posição, em outra inclinação ou ainda apresentam dificuldades na resolução de problemas envolvendo área do paralelogramo, quando a figura é diferente da habitual. 
Por tudo isso, nosso objeto de estudo é o processo de ensino e aprendizagem do conceito de área das figuras planas e em particular, da área do paralelogramo.

2-	Fundamentação Teórica

Um dos resultados importantes relativos à aprendizagem do conceito de área é a classificação das concepções de área em dois pólos, as concepções geométricas3 e as concepções numéricas4, proposta por Perrin-Glorian e Douady5 (1989, apud BELLEMAIN e LIMA, 2002) e por Balacheff6 (1988, apud BELLEMAIN e LIMA, 2002). Perrin-Glorian e Douady afirmam que alguns alunos desenvolvem uma concepção forma ou uma concepção número ou ambas, mas de forma isolada.
	Na abordagem do conceito de área como grandeza, segundo essas pesquisadoras, deve-se distinguir três quadros7: o quadro geométrico, constituído por superfícies planas; o quadro numérico, consistindo nas medidas das superfícies planas, que pertencem ao conjunto R+ e o quadro das grandezas, ao qual pertence a área - constituído por classes de equivalência de superfícies de mesma medida. Expressões compostas de um número e de uma unidade de medida são uma maneira de designar área como grandeza.
Em relação à área do paralelogramo, percebemos nas pesquisas anteriores, tais como: (BALTAR, 1996; VINH BANG e LUNZER8 apud BELLEMAIN e LIMA, 2002) referências importantes de dificuldades conceituais de aprendizagem, particularmente quanto ao uso de fórmulas articulado com a distinção entre área e perímetro. Um dos fatores que explica essas lacunas é que existe um foco no aspecto numérico e da fórmula e numa forma mecânica e padronizada de se trabalhar o conceito de área do paralelogramo.
	Freqüentemente, o conceito é apresentado ao estudante de forma pronta e acabada, desvinculado de qualquer contexto. É o caso, por exemplo, do professor que, ao ensinar a maneira de calcular a área do paralelogramo, apresenta verbalmente a fórmula: “a área do paralelogramo é a base vezes a altura”. Desse modo, deixa de valorizar a invariância da área com relação à escolha do lado tomado como base e de apresentar situações nas quais tal fórmula poderia ser aplicada. Neste caso, do aluno é exigido apenas o conhecimento e a aplicação, geralmente mecânica, da fórmula, em exercícios artificiais.
Por tudo isso, a fim de investigar os processos de ensino e aprendizagem da área do paralelogramo, escolhemos os conceitos de contrato didático e variável didática; ambas as noções estão inseridas na Teoria das Situações Didáticas, proposta por Guy Brousseau e seus seguidores.
	 Se, por um lado, o contrato didático é um modelo criado pelo pesquisador para investigar os direitos e deveres implícitos dos alunos e do professor, com relação aos objetos do saber matemático ensinado, por outro, a variável didática é uma ferramenta importante na categorização dos problemas matemáticos a serem propostos aos alunos, na elaboração de problemas adaptados para desestabilizar regras de ação errôneas, na escolha de problemas que contribuam significativamente para a aprendizagem e na análise dos procedimentos de resolução mobilizados pelos alunos, inclusive nos erros cometidos.  
	Uma particularidade do contrato didático é o fato de grande parte de suas regras ser implícita. Contudo, essas regras são muito importantes numa relação didática, sendo fundamentais para a aprendizagem. 
	Na sua introdução no campo dos conceitos da didática, o contrato didático foi definido em termos de expectativas, direitos e deveres de professor e aluno. No entanto, alguns didatas escolheram não considerarem situações onde os alunos e professores bem especificados estivessem efetivamente juntos, ou seja, reduzir o contrato didático ao resultado da devolução. Eles buscaram nos livros didáticos regras ou indícios de cláusulas de contrato didático. 
	Assim, a pesquisa realizada na França, por Bessot & Le Thi Hoai (1994), com alunos no nível equivalente ao 3º ciclo do Ensino Fundamental no Brasil, não se refere à realidade da sala de aula. Elas analisam os livros didáticos, identificando regras de contrato didático, e os procedimentos utilizados pelos alunos que manuseiam esses livros quando os problemas propostos rompem com o contrato didático em vigor, a respeito do conceito da raiz quadrada.
	Outro elemento da Teoria das Situações Didáticas utilizado neste trabalho é a noção de variável didática, que, segundo Grenier (1988) são características do problema que tem influência sobre as regras de resolução utilizadas pelo aluno (o que provoca uma mudança no status das respostas). 
	Então, ao escolher diversos valores para a variável didática, o professor enriquece o processo de ensino-aprendizagem, no sentido de fazer surgir vários conhecimentos relativos a um mesmo conteúdo.
	Por outro lado, em um processo de diagnóstico é importante conhecer as variáveis didáticas e escolher valores para essas variáveis. Assim poderemos diferenciar o aluno que está raciocinando corretamente, sobre determinado conteúdo, daquele que está mobilizando uma concepção errônea, porém produzindo uma resposta correta. Desse modo, os valores dessas variáveis podem permitir a utilização de um conhecimento fora de seu domínio de validade, contribuindo para que o pesquisador compreenda mais profundamente como o aluno está pensando.

3- Procedimentos metodológicos9

Nosso interesse inicial era identificar, por meio da análise da coleção, regras de contrato didático potenciais e valores de variáveis didáticas privilegiadas na abordagem dos livros didáticos relativa à área do paralelogramo. Então, é a partir da análise do livro didático que investigaremos o que está sob a responsabilidade do professor e do aluno, ambos hipotéticos, usuários da coleção adotada na escola, verificando assim, as possíveis regras que regem a relação livro-aluno.
	Para tanto, nos inspiramos claramente nos procedimentos metodológicos realizados por Bessot & Le Thi Hoai (1994) a respeito da noção de raiz quadrada. Assim, apoiamos-nos na hipótese adotada pela referida pesquisa, em que as interrelações entre o texto-aula do livro e os exercícios revelam, em parte, um contrato didático, uma vez que elas especificam o conjunto de ações legitimamente exigidas dos alunos pelo professor, que adota os livros didáticos, e reconhecidas como tal pelos alunos, usuários do livro em relação ao conhecimento matemático em foco, no nosso caso, a área do paralelogramo.
	Para a análise dos livros da coleção foram tomados três focos: a figura do paralelogramo, a abordagem do conceito de área e a área do paralelogramo. E para tanto, os seguintes critérios de análise foram adotados: Freqüência e conexão com outros conteúdos; identificação de regularidades nas figuras do paralelogramo; caracterização da abordagem do conceito de área ao longo da coleção; identificação das escolhas de valores de algumas variáveis didáticas relativas aos conteúdos de área e paralelogramo privilegiado na coleção.
	Adotamos três grandes focos que guiaram nossa pesquisa: o paralelogramo10, a abordagem do conceito de área e a área do paralelogramo.

3- Resultados
Iniciamos nossos procedimentos metodológicos analisando os livros da coleção MATEMÁTICA, cujos autores são Luiz Márcio Imenes e Marcelo Lellis, na sua 1ª edição em 2000. A referida coleção é uma das mais antenadas com a produção científica em Educação Matemática hoje no mercado. No guia do Programa Nacional do Livro Didático de 1999, foi recomendada com distinção.
O paralelogramo é apresentado nessa coleção em todas as séries, mas em algumas, nas quais a figura é objeto de estudo, a freqüência é maior, como podemos perceber na tabela a seguir:

Tabela 01: Freqüência da figura do paralelogramo na coleção analisada
	5ª série	6ª série	7ª série	8ª série	
Número de vezes em que a figura do paralelogramo aparece na coleção adotada	19	10	31	14	

Ao longo de toda a coleção, a figura do paralelogramo é exibida articulada com diversos conteúdos, tais como o estudo dos ângulos, polígonos, quadriláteros, paralelismo, medida, simetria, área, perímetro, semelhança etc. 
	Na tabela a seguir11, podemos verificar a síntese dos resultados relativos à posição da figura do paralelogramo na coleção analisada.

Tabela 02: Resultados relativos à posição da figura do paralelogramo na coleção analisada
Série	Total de figuras	Posição horizontal 	Posição vertical 	Posição oblíqua 	
5ª	19	15 	02 	02 	
6ª	10	07 	01 	02 	
7ª	31	29 	01 	01 	
8ª	14	11 	0 	03 	

Os dados apresentados na tabela acima indicam que há predominância das figuras nas quais um dos lados do paralelogramo encontra-se na posição horizontal (pelo menos 70% das figuras, em cada série). Mas observa-se, também, que existe uma preocupação por parte dos autores em explorar figuras em diversas posições, inclusive naquela em que ambos os lados do paralelogramo são oblíquos.
Tomando as figuras que apresentam um dos lados na posição horizontal, verificamos, em seguida, o comprimento dos lados e a inclinação da figura. Podemos perceber na tabela a seguir que em cada série pelo menos 70% das figuras têm o lado horizontal como aquele de maior comprimento. Apesar disso, deve-se destacar a preocupação dos autores em posicionar paralelogramos de tal maneira que o lado horizontal seja aquele de menor comprimento. Observe:

Tabela 03: Resultados relativos à orientação do lado de maior comprimento na coleção analisada
Série	Total de figuras que apresentam um dos lados na posição horizontal	Lado na posição horizontal de maior comprimento	Lado na posição horizontal de menor comprimento	
5ª	15	14	01	
6ª	07	06	01	
7ª	29	25	04	
8ª	11	08	03	

Com esses fatos, nos questionamos se o significado atribuído à palavra base na língua portuguesa (apoio, alicerce) não está sendo reforçado pela maneira como o livro didático trata a figura, o que poderá provocar dificuldades dos alunos na resolução de problemas envolvendo a área do paralelogramo. 
	Quanto à inclinação da figura, apresentamos os resultados obtidos na tabela a seguir:
Tabela 04: Resultados relativos à inclinação da figura do paralelogramo na coleção analisada
Série	Total de figuras	Inclinação para a esquerda	Inclinação para a direita	Percentual de freqüência para a direita	
5ª	15	0	15	100%	
6ª	07	0	07	100%	
7ª	29	3	26	89%	
8ª	11	0	11	100%	

Como podemos perceber na tabela acima, a inclinação do paralelogramo para a direita é o que prevalece nos livros desta coleção. Um fato que nos chamou a atenção foi o de na 5ª, 6ª e 8ª série, todas as figuras se apresentarem com essa inclinação. Nos questionamos aqui, se diante de uma atividade em que essa condição seja desrespeitada, o aluno sentirá dificuldade ou até mesmo bloqueio para resolver o problema.
Percebemos que, mesmo os autores definindo o conceito de área como medida de superfície, prevalecendo o aspecto numérico, existem algumas características elogiáveis na abordagem do conceito de área na coleção. Primeiro, a situação inicial parte de um problema contextualizado, referente a um aspecto da vida cotidiana. Segundo, por que essa situação é de comparação, embora seja numérica e por fim, a situação não parte de usos de fórmulas, nem utiliza unidades convencionais, o que a nosso ver é importante para o processo de ensino-aprendizagem.
	Por outro lado, discordamos de algumas escolhas. O fato de partir de uma situação de comparação, a qual exige a necessidade de medir, fortalece o aspecto numérico. Da mesma forma que, quando se coloca que a “área de cada pátio é o número de lajotas que a contêm”, reforça também a idéia de que é preciso efetivamente ladrilhar para poder comparar a área. Para Douady e Perrin-Glorian (1989), uma associação precoce da superfície a um número favorece o amálgama entre diferentes grandezas.
Observamos que, por um lado, alguns aspectos da abordagem do livro reforçam as concepções numéricas de área, tais como iniciar por ladrilhamento, abordar o ladrilhamento com figuras utilizando as peças do tangram em números inteiros de vezes, o próprio significado da palavra área no dicionário ilustrado ou a pouca ênfase na possibilidade de comparar sem medir.
	Por outro lado, os fatos de explorar e destacar a idéia da invariância da área por composição e decomposição de figuras e utilizar o tangram para mostrar que figuras de mesma área podem ter perímetros diferentes contribuem para invalidar as concepções geométricas e para construir a noção de área como grandeza. Outro aspecto que contribui para a construção da noção de área como grandeza é a exploração de uma leitura da fórmula, relacionada com os invariantes geométricos da figura. 
	Quanto à fórmula para o cálculo de área do paralelogramo, é deduzida através dos recursos de decomposição e recomposição, partindo da fórmula da área do retângulo, já vista em séries anteriores, chamando a atenção, também, para o conceito de altura. 
Com o objetivo de explicitar que paralelogramos de mesma base e altura têm a mesma área, os autores exploram a comparação de áreas sem medida. Podemos observar que os autores trabalham a noção de grandeza através da interpretação da fórmula, mesmo que não tenha sido o ponto de partida, como é preconizado na pesquisa de Douady e Perrin-Glorian (1989).
Na parte dos Exercícios para casa, só encontramos uma atividade referente ao cálculo de área do paralelogramo, a qual apresenta a figura numa posição não convencional. Também são oferecidas as medidas dos comprimentos dos lados e uma das alturas do paralelogramo, de forma que os alunos precisam decidir que dados escolher para determinar a área.  Esse tipo de abordagem é muito importante para o ensino, pois contribui para que haja uma reflexão sobre o processo de escolha dos dados sobre a figura.
Constatamos que em todos os problemas que envolvem cálculo de área do paralelogramo, existe a presença de figuras. Sabemos que problemas com ausência de figuras, dependendo da maneira como são propostos e formulados, podem ressaltar uma aplicação mecânica da fórmula, o que prejudica a aprendizagem. Por outro lado, nos indagamos se o fato de termos a inexistência de problemas nos quais não haja figura poderá gerar alguma lacuna por parte dos alunos, no sentido de que, ao se defrontarem com um problema em que não seja respeitada esta condição, sintam dificuldade em resolvê-lo.
Constatamos também que, embora a abordagem do livro explore diversos procedimentos, em relação à natureza das soluções, a ênfase maior é em problemas que requerem uma solução numérica. Sabemos que esse tipo de abordagem pode contribuir na passagem de concepções geométricas à construção de área enquanto grandeza, na medida em que figuras diferentes podem ter áreas iguais.
	Se pensarmos em divisão de responsabilidade entre professor e aluno (ambos hipotéticos) usuários do livro, podemos nos perguntar: o que se espera de um aluno, diante de um problema envolvendo área do paralelogramo? Que ele calcule ou não? Nos questionamos se esse tipo de abordagem não cria uma expectativa no sentido de que, diante de um problema, por exemplo, de comparação de área sem medida, o aluno sinta a necessidade de calcular.
	Em relação aos dados fornecidos para se resolver um problema envolvendo área do paralelogramo, percebemos que das 07 questões encontradas no livro da 7ª série, duas são atividades na malha quadriculada. Outra questão com três paralelogramos permite verificar que paralelogramos de mesma base e altura têm mesma área. Duas questões apresentam exclusivamente as medidas de comprimento de um dos lados e da altura relativa a esse lado. 
Esse grupo de questões não contribui para a explicitação do erro que consiste em calcular a área multiplicando as medidas dos lados da figura e assim o conhecimento seja invalidado. Por outro lado, constatamos uma preocupação nítida dos autores em desestabilizar esse erro. E, finalmente, duas questões apresentam dados desnecessários para o cálculo de área: as medidas de comprimento dos lados e uma altura correspondente, de forma que o aluno precisa decidir que dados são necessários para resolver a questão.
Fato que merece também atenção especial é que, na imensa maioria dos problemas que envolvem o cálculo de área do paralelogramo (82% na 7ª série e 100% na 8ª série), o lado tomado por base é o que se encontra na posição horizontal. 
	Nos questionamos se esse tipo de abordagem, está contribuindo suficientemente para o fortalecimento do conceito de invariância da área, em relação à escolha do lado tomado por base, uma vez que poderá levar o aluno a uma construção conceitual restrita.
	Por outro lado, verificamos que, na 7ª série, 70% dos problemas que envolvem cálculos da área do paralelogramo, o lado tomado por base é o de maior comprimento, enquanto na 8ª série esse percentual cai para 33%, o que acreditamos ser importante. Fato que nos chamou a atenção é que, durante a análise dos livros da 7ª e 8ª séries, só encontramos uma figura de paralelogramo na qual é tomado como base o lado de menor comprimento e a altura estava no interior do paralelogramo.
	Realizando uma análise mais transversal, chegamos à seguinte conclusão: dentre todos os problemas envolvendo área do paralelogramo na 7ª série (16), cerca de 80% (13) apresentam o lado tomado por base na posição horizontal. Além disso, em 12 desses paralelogramos (92%), o lado tomado por base na horizontal é o de maior comprimento. 
	Na 8ª série, todos os problemas envolvendo área do paralelogramo (03), apresentam o lado tomado por base na posição horizontal, no entanto apenas um deles o lado tomado por base na horizontal é o de maior comprimento. 

Conclusões

Com esta análise, verificamos algumas regularidades no livro didático que correspondem a privilegiar certos valores das variáveis didáticas focadas em nossa pesquisa:
1-	A posição do paralelogramo é de tal forma, que um dos lados encontra-se na horizontal;
2-	No paralelogramo, o lado horizontal é o de maior comprimento;
3-	A inclinação da figura do paralelogramo é para a direita;
4-	Sempre existe a presença de figuras nos problemas sobre área do paralelogramo.

Uma das regras de contrato didático, freqüentes na resolução de problemas de Matemática, é aquela segundo a qual todos os dados necessários à resolução de um problema encontram-se no enunciado e raramente são apresentados dados inúteis. Ou seja, é da responsabilidade do professor oferecer os dados do problema e não do aluno pesquisá-los. Então, de maneira geral, com relação ao cálculo de área do paralelogramo, essa regra é confirmada quando são dadas exclusivamente as medidas de comprimento de um lado e da altura correspondente.
Constatamos que nos livros didáticos analisados existe nitidamente uma preocupação em não fortalecer essa regra nos problemas que envolvem área do paralelogramo. Pois, embora sejam dadas exclusivamente as medidas de comprimento de um lado e da altura correspondente, há momentos em que essa regra é rompida, ora fornecendo-se dados desnecessários, ora não se apresentando todos os dados numéricos necessários.
Majoritariamente temos, nos problemas que envolvem área do paralelogramo, as figuras sendo traçadas de forma que o lado de maior comprimento está posicionado na horizontal. Quando tais condições não são respeitadas simultaneamente surgem duas regras de contrato didático possíveis:
•	Nos problemas que envolvem cálculo de área do paralelogramo, o lado tomado por base é o que se encontra na posição horizontal;
•	Nos problemas que envolvem cálculo da área do paralelogramo, o lado tomado por base é o de maior comprimento.
No caso acima, o contrato está funcionando no sentido de que, na maioria das situações, o professor hipotético tem a atribuição de designar qual é o lado tomado como base e do aluno é exigida a realização do produto dos comprimentos dessa base pela altura relativa a ela. Inclusive nas atividades com malha quadriculada, embora não sejam dadas medidas, existe implicitamente a escolha de um dos lados como base, que é aquele que está traçado sobre o papel quadriculado, seja ele na vertical ou horizontal, e não o que está inclinado.

Quando essa regra é rompida, ou seja, quando o problema não fornece explicitamente o comprimento de um dos lados, ou fornece os comprimentos de ambos os lados e das alturas relativas aos mesmos, o aluno vai mobilizar uma idéia de base e altura. Acreditamos que, para o aluno, a área do paralelogramo é o produto do comprimento de apenas um de seus lados pela altura relativa a ele, ou seja, fazemos a hipótese de que para o aluno não há invariância da área relativamente à escolha do lado tomado como base.
Além das regras citadas acima, também detectamos, na análise da coleção, que um problema envolvendo área de paralelogramo requer uma solução numérica e que nos cálculos de área do paralelogramo, a altura tomada é interna.
Apesar das observações feitas acima, nada impede que professor e aluno, ambos reais, estabeleçam entre si outras regras de contrato didático, uma vez que, a postura do professor, os exemplos de atividades, a interação entre eles, etc. podem alterar significativamente o que o livro didático propõe.

Referências 

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BESSOT, A ; LE THI HOAI, A. Une étude du contrat didactique: a propos de la racine carrée. Petit x, n 36, p. 39-60, 1993-1994

CÂMARA DOS SANTOS, M.; CÂMARA, P. R. Pequeno perfil de participantes dos programas de extensão da UFPE para professores de matemática. Cadernos de Extensão da UFPE, n. 2 Recife: Editora Universitária, 1999.

DOUADY R.; PERRIN-GLORIAN M.J. Un processus  d’apprentissage du concept d’aire de surface plane. Edcational Studies in Mathematics. vol.20, n. 4, p. 387-424, 1989

GRENIER, D. Construction et etude du fonctionnement d’un processus d’enseignement sur la symétrie orthognale en sixième. 1988. Tese de Doutorado- I’Université Joseph Fourier, Greboble I, 1988

LORENZATO, S. Porque não ensinar geometria? In: Educação Matemática em Revista - SBEM, ano III, n.4 p. 3-13, 1º semestre. 1995

PAVANELLO, R. M. O abandono do Ensino da Geometria no Brasil: causas e conseqüências. In Zetetiké, n.1, p.07-17, Unicamp, mar. 1993

PEREZ, G. A realidade sobre o Ensino de Geometria no 1º e 2º graus, no Estado de São Paulo. In: Educação Matemática em Revista – SBEM, ano III, n.4, p. 54-62, 1995.

SANTOS, M.R Resolução de problemas envolvendo área de paralelogramo: um estudo sob a ótica do contrato didático e das variáveis didáticas. 2005. Dissertação de Mestrado- Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, 2005.