APROPRIAÇÃO DE SIGNIFICAÇÕES DO CONCEITO DE NÚMEROS RACIONAIS: UM ENFOQUE HISTÓRICO-CULTURAL

Marlene Pires Amorim – Universidade do Extremo Sul Catarinense–marlepires@yahoo.com.br
Ademir Damazio – Universidade do Extremo Sul Catarinense – add@unesc.net

Introdução	
A aprendizagem escolar sempre foi um tema gerador de discussões nos mais variados espaços acadêmicos e escolares, organizados no Brasil e em todo o mundo, principalmente aqueles que se caracterizam como eventos científicos.
Focando o olhar para o ensino de matemática, mais especificamente sobre a apropriação de significação de conceitos científicos, percebemos que ainda é comum os professores fazerem a abordagem dos conceitos, por vias metodológicas totalmente desprovidas de uma reflexão teórica.  Ou, quando a estuda, o objetivo é buscar uma forma dos alunos aprenderem com rapidez aquela extensa relação de conteúdos que as propostas curriculares oficiais e os livros didáticos propõem. 
Muitas vezes, dependendo da concepção, a corrida é em busca de recursos didáticos alternativos que prendam a atenção do aluno, entendida como condição primordial para a aprendizagem matemática. 
Com isso, não queremos fazer julgamento de certo ou errado dos professores que galgam sua prática pedagógica em concepções que priorizam um aspecto do processo educativo em detrimento de outros. Entendemos que a concepção de educação do professor se constitui ao longo de sua formação profissional ou mesmo antes de adentrar no curso de graduação. Ela surge por influências oriundas da relação homem e sociedade, traduzidas implícita ou explicitamente nos conteúdos escolares e acadêmicos. 
No entanto, vale dizer que não nos sentimos conformados com relação à matemática, o seu ensino e sua aprendizagem, que a literatura tem mostrado como situação pouco alentadora, principalmente, quando a referência é a escola básica pública. 
Também, não comungamos com o referencial teórico de matriz idealista que fundamenta o processo educativo e produz esse estado incômodo do ensino-aprendizagem de matemática. Por isso, no presente estudo, procuramos atender os pressupostos da abordagem Histórico-Cultural, teoria que fomos assumindo, por atender convicções construídas num processo de reflexão sobre a concepção de mundo, homem, sociedade e matemática.
A referida teoria não cria pares dicotômicos entre: conteúdo e forma, conhecimento e consciência, produção e apropriação do conhecimento, abstrato e concreto, conhecimento científico e conhecimento cotidiano, aprendizagem e desenvolvimento, professor e aluno, entre outros elementos conceituais do processo educativo. Em vez disso, trata-os de forma inter-relacionada, compondo um todo indissociável, porém, cada um desses elementos tem sua especificidade e função na formação humana.  
Diante desse contexto do ensino de matemática, dúvidas se apresentam sobre o ensino-aprendizagem e questionamos sobre a forma como os alunos se apropriam das significações dos conceitos científicos de matemática. 
A nossa problemática diz respeito ao estudo dos aspectos essenciais ao entendimento do campo numérico dos Números Racionais que, atualmente, são negligenciados no processo educativo escolar, privando os alunos da plena compreensão conceitual. 
Para tanto, levantamos as seguintes questões: Quais os elementos fundamentais a serem considerados da categoria lógico-histórica para elaboração das atividades de ensino-aprendizagem e levar os alunos à elaboração do conceito de números racionais? Quais as manifestações dos alunos que revelam a aprendizagem ao desenvolverem as atividades, considerando o processo sincrético-analítico-sintético?
A razão da opção pelos números racionais está na exigência de um salto qualitativo de pensamento em relação aos números naturais, normalmente privilegiado pelos currículos escolares.
Nesse novo campo numérico, as operações básicas não mais atuam sobre o princípio do anterior, como por exemplo, a divisão entre dois números inteiros que teria como resultado um número inteiro menor do que o dividendo; no novo campo, a divisão entre números fracionários, por exemplo, poderá resultar num número maior que seus termos. Assim, também, na reta numérica entre um número racional e outro há infinitos pontos que são representados pelos números fracionários, enquanto entre dois inteiros, não existe outro. 
Na quinta série do Ensino Fundamental, as atividades avançam para as operações com números fracionários. Comumente, o professor “ensina” a adição e subtração pela “técnica” de mínimo múltiplo comum, em que o aluno memoriza o procedimento de dividir o m.m.c. (abreviação do mínimo múltiplo comum) pelo denominador e o quociente obtido, multiplica pelo numerador; em seguida, adiciona ou subtrai, conforme a operação indicada, os novos numeradores e conservando o denominador.
A aprendizagem efetiva da matemática não consiste apenas no desenvolvimento de habilidades (como do cálculo ou da resolução de problemas), ou na fixação de alguns conceitos através da memorização ou da realização de uma série de exercícios. De acordo com Fiorentini (1995), numa perspectiva histórico-crítica, aluno apreende significativamente quando consegue atribuir sentido e significado às idéias matemáticas – sobre elas, é capaz de pensar, estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar.
Nesse contexto teórico é que foi estabelecido o objetivo da pesquisa como uma nova leitura do ensino e aprendizagem dos números racionais, analisando as múltiplas relações do processo de formação do conceito, tendo como base a categoria lógico-histórica, o processo sincrético-analítico-sintético e a relação de ascensão do abstrato ao concreto. 
De forma mais específica, propomo-nos: a) Estabelecer critérios concernentes à Teoria Histórico-cultural para elaboração das atividades de ensino-aprendizagem que levem os alunos da 5ª série do Ensino Fundamental à apropriação do conceito dos números racionais; b) Analisar os procedimentos adotados e as características de pensamentos manifestados pelos alunos durante o desenvolvimento das atividades referentes ao conceito de números racionais.

Apropriação de significações de conceitos
A abordagem psicológica Histórico-Cultural e a tendência pedagógica Histórico-Crítica enunciam que a apropriação do conhecimento científico reivindica um método que permita ao aluno compreender-se como sujeito sócio-cultural.
Nesse aspecto, Vigotski (2001) define ensino-aprendizagem como processo que se desenvolve não linearmente e ocorre em estágios interligados do pensamento: sincrético-analítico-sintético.
O estágio sincrético estabelece entre o pensamento e o objeto uma relação de imagem confusa, de forma que, não se identifica claramente as relações e as significações do conteúdo do mesmo. O sujeito necessita do sensório-perceptivo e estabelece relação com o contexto. No analítico, identifica características comuns dos objetos e estabelece vínculos com outros conceitos criando cadeias de elementos comuns. A característica fundamental deste estágio é a possibilidade de análise das múltiplas relações entre os conceitos. O estágio sintético é determinado pela generalização, as significações ou os vínculos relacionais que estabelecem com outros conceitos, fortemente marcados pela abstração. A criança ou pré-adolescente apesar de pensar sinteticamente o conceito, ainda operam analiticamente estabelecendo vínculos com o concreto-material.
Na fase inicial da elaboração do conceito, o adolescente busca alguma referência em situação concreta e, aos poucos, vai dissociando e movimentando-se em um plano mais abstrato. Mesmo o adulto num momento de elaboração do conceito, tende o seu pensamento a transcorrer no nível de pensamento por complexo, chegando às vezes, a descer a formas mais elementares e mais primitivas. Vigotski (2001).
Vigotski (2001) alerta que o ensino direto dos conceitos se mostra impossível e, pedagogicamente, estéril. O professor que tende a abordar os conceitos de forma mecânica conseguirá com os alunos uma assimilação vazia de palavras, um verbalismo puro, sem significação. O aluno não assimila o conceito, mas a palavra, ou seja, “capta mais de memória que de pensamento” configurando uma impotência para a resolução de problema que exige o emprego do conhecimento adquirido. Para Vigotski (2001, p. 247) a ação escolástica do professor acaba substituindo “a apreensão do conhecimento vivo pela apreensão de esquemas mentais mortos e vazios”.
As vinculações conceituais que dizem respeito à especificidade da presente pesquisa foram buscadas no processo histórico de produção das significações do conceito de números racionais.
Segundo Vigotski (2001), um conceito é a palavra com seu significado, produzido historicamente pelo homem. Por isso, primeiro é social e depois individual. O sujeito se apropria das significações do conceito ao resolver um problema, de posse de outros conceitos já abstraídos, que darão suporte para internalizar e introduzir mais um conceito em seu sistema de conhecimento. Mas, sozinho o sujeito não se apropria de forma integral do conceito. Afirma esse autor que é necessário a mediação de outro que possa propor não só a atividade que explicite a lógica do conceito, como também se disponha a auxiliá-lo nos momentos que ele necessita de ajuda.
Anuncia Vigotski, que no processo de apropriação de significação de conceitos são percebidos dois tipos: os cotidianos e científicos. Damazio (2000) diz que o conhecimento cotidiano é assistemático, involuntário, dependente do contexto e são desenvolvidos sem a necessidade de escolarização formal. Os conceitos científicos são sistemas de relações formulados historicamente pela cultura e não pelo indivíduo em si, e constitui-se de leis, princípios e teorias. 
Os conceitos científicos e cotidianos seguem caminhos opostos de desenvolvimento, mas de modo algum se separam, ao contrário, tendem a se inter-relacionarem. Eles se encontram, porém, não se fundem; os conceitos cotidianos são ressignificados pelos conceitos científicos que subsidiam as formas elementares, não porque tem um fim inferior, ao contrário, a sua forma superior de estruturação permite que no seu processo de elaboração mostre toda a sua supremacia e dinâmica na movimentação das funções psicológicas superiores. Estes tendem a trazer para uma forma mais complexa de conhecimento, o que até então, era conhecido de forma dependente do contexto, por não ter uma estrutura superior para representar a existência e função desse conceito. 
A criança ao aprender na escola o conceito científico, de acordo com Vigotski (2004, p. 527), atinge outro nível de desenvolvimento e estabelece relações lógicas entre esses conhecimentos, germinando para “dentro”, vinculando-se à experiência cotidiana. Complementa o pesquisador que, do ponto de vista da dinâmica, esses conceitos apresentam uma história diferente. O ponto fraco dos conceitos cotidianos é não chegar ao nível abstrato; em contrapartida aos conceitos científicos que são compreendidos pela forma puramente verbal. Esse verbalismo não ameaça os conceitos cotidianos, mas mostra a diferença entre eles. 
A inter-relação existente no processo de desenvolvimento desses dois conceitos consiste em que os conceitos cotidianos devem atingir certo nível para poder assimilar de forma geral os conceitos científicos. Esses, por sua vez, tornam possível a assimilação quando atingiu um determinado nível de desenvolvimento dos conceitos cotidianos. 
É no vínculo de desenvolvimento dos dois conceitos que se revela a sua verdadeira natureza e se constitui a zona de desenvolvimento próximo e do nível atual de desenvolvimento. O conceito cotidiano adquire novas relações com outros conceitos e também com o objeto ao colocar-se entre o conceito científico e o seu objeto.  O nível de pensamento mais elaborado é o algébrico. Para Vigotski (2001, p. 267): “A álgebra liberta o pensamento da criança da prisão das dependências numéricas concretas e o eleva a um nível de pensamento mais generalizado”. 
Essa citação conclama ao papel do professor e da escola para o desenvolvimento do pensamento algébrico, por permitir que o aluno elabore os conceitos em outra ordem e chegue ao nível mais elevado do pensamento matemático.  O pensamento algébrico dá liberdade de ação para inter-relacionar com diversos campos numéricos e geométricos da matemática. 
Mas esse nível de pensamento ocorre com apropriações de significações e da lógica conceituais produzidas historicamente. Isso significa dizer que o lógico e o histórico constituem uma categoria imprescindível do processo de apropriação de conceitos.Duarte (1987, p. 29) define: “O lógico é o ponto de partida e de referência para a seleção dos traços essenciais do desenvolvimento histórico, mas essas etapas não se encontram direta e imediatamente expressas no lógico”.
O lógico é entendido como a abstração da realidade objetiva. Mas, para tal, é necessária uma busca histórica da significação conceitual, ou seja, a análise da multiplicidade de determinações. Como ponto de chegada, o lógico é o concreto pensado.
A respeito do estudo histórico do conceito, diz Vigotski (2003, p. 85-86): “Estudar alguma coisa historicamente significa estudá-la no processo de mudança: esse é o requisito básico do método dialético”. Assim sendo, o estudo histórico não é apenas um aspecto auxiliar, mas sua verdadeira base. 
Por sua vez, Giardinetto (1991) afirma que a relação lógico-histórica é um método de investigação indispensável para a pesquisa em Matemática. O estudo do processo de desenvolvimento histórico é que vai fornecer elementos para elaboração de uma seqüência lógica de ensino, de forma tal que reflita a história.
No ensino-aprendizagem de matemática, o lógico como ponto de partida se justifica porque a referência é o conceito científico que vai ressignificar o conceito cotidiano. Dessa forma, as abstrações - próprias do conceito científico - passam a ser indispensáveis no movimento de ascensão e descenso, respectivamente dos conceitos cotidianos e científicos. 
Como afirma Giardinetto (1991, p. 27): 
As abstrações são, portanto, mediações de um concreto caótico, obscuro, para um concreto na compreensão da multiplicidade de suas partes. O concreto, portanto, revela-se como ponto de partida e de chegada do processo de elaboração do conhecimento.

Portanto, partir do concreto e chegar ao concreto, significa estar diante de uma realidade que foi construída historicamente pela humanidade, organizada e fundamentada em conceitos científicos. Se a apropriação de um conceito matemático requer a compreensão dos seus traços essenciais elaborados historicamente, então deve existir um espaço social para que isso ocorra: a escola. 
Nesse espaço, o professor é o sujeito humano com a incumbência social de elaborar a seqüência de ensino-aprendizagem em que entra em cena: o concreto sincrético do pensamento do aluno, ponto de partida, por representarem uma imagem confusa e não terem vínculos com outros conceitos; o concreto síntese, atingido com a apropriação das significações históricas. 
Segundo Giardinetto (1991) nos meios escolares, o abstrato traz o estigma de algo difícil de ser compreendido por não ter vínculo com a realidade do aluno. Da mesma forma, o concreto é entendido como o imediato, apreensão do real, decorrendo duas interpretações: o concreto traduzido na forma de “materiais concretos”, com o objetivo de organizar atividades de forma que o “concreto” seja manipulado, observado ou desenhado; a segunda interpretação associa o “concreto” com o cotidiano, ao não escolar. Afirma o autor que nessa perspectiva espera-se, com o ato de manipular o “concreto”, o aluno supere suas dificuldades de aprendizagem. 
O par categorial abstrato-concreto no processo lógico-histórico não é concebido como mera classificação de apreensão da realidade, como mencionado no parágrafo anterior. O concreto é mediatizado por abstrações, ou seja, “do concreto sincrético ao concreto síntese, o pensamento opera analiticamente”. (GIARDINETTO, 1991, p. 12). 
Vale lembrar que os estágios de evolução dos conceitos, abordados por Vigotski (2001), refletem esse processo lógico-histórico. No estágio sincrético, o sujeito diante da realidade compreende o concreto de forma caótica, obscura, pois não percebe as características, os vínculos do conceito; no estágio analítico, desenvolve vínculos e forma cadeias com outros conceitos na multiplicidade das relações; e no estágio sintético, chega-se ao concreto pensado, às significações lógico-históricas do conceito.    
Giardinetto (1991) faz uma análise da operação realizada durante o processo de elaboração do conceito, dizendo que o pensamento não se encerra em abstrações. Segundo ele, é das determinações abstratas que o pensamento promove, num movimento de síntese, uma articulação de suas partes, fazendo com que a imagem do objeto deixe de ser um todo caótico, transformando-se em todo coeso, compreendido em sua essência, na unidade de suas relações. 
Diante dos pressupostos teóricos, elaboramos uma seqüência de atividades que contemplasse o surgimento, as propriedades de equivalência e denominadores comuns e as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de Números Racionais. O estudo foi desenvolvido com alunos de quinta série do Ensino Fundamental de uma escola pública.

As significações lógico-históricas dos Números Racionais
Durante o desenvolvimento das atividades propostas, várias idéias e relações conceituais foram se estabelecendo, das quais destacaremos algumas delas relacionadas ao conceito de fração, à noção de equivalência e das operações de adição, subtração e multiplicação. Vale dizer que, por questões de limitações do espaço para este artigo,  a operação de divisão não foi possível tratar aqui.  
Primeiramente, enunciaremos os princípios adotados para elaboração das atividades: a) O ponto de partida e de chegada foi a generalização do conceito; b) a medição de segmentos de reta como o elemento geométrico principal das operações de medidas; c) manutenção das propriedades do campo dos números inteiros; d) pensamento algébrico das relações de medidas apropriadas como ponto de chegada.
Caraça (2003), a partir da idéia de medição, diz que a humanidade se viu diante da situação de resolver uma relação aritmética que culminou num salto de pensamento matemático. Isso ocorreu quando o problema que se apresentava era medir, por exemplo, dois segmentos, de 11 unidades e  medindo 3 (figura 1): Quantas vezes o segmento de reta  cabe em  ?  
                                A _._._._._._._._._._._ B
                                C _._._ D
                                            Figura 1

No campo dos números naturais ou inteiros não há uma resposta. A dificuldade surgida tornou-se impulso para um salto de qualidade em relação ao conhecimento matemático, pois, até então, o único sistema numérico conhecido era os números naturais. A comunidade científica buscou uma solução: a criação do novo campo numérico – os números racionais. 
O desenvolvimento dessa atividade com os alunos, suscitou muitas dúvidas e, conseqüentemente, muitas descobertas, pois se apresentam primeiramente, as novas terminologias, representação de um segmento por e o uso da régua para traçar os segmentos. Os procedimentos eram para verificar quantas  vezes os segmentos  caberiam nos segmentos . A dificuldade inicial para alguns alunos, residia em traçar os segmentos e, para outros, como identificar o dividendo e determinar o divisor e o quociente.  Insistimos com a pergunta-guia de verificarem quantas vezes o segmento  que é a  medida  menor   –  representam o divisor - caberiam no segmento , conforme figura 2. 

                                             Figura 2

A finalidade era que os alunos não só representassem, mas atribuíssem significado e sentido ao número racional e sua forma de registro. Como diz Caraça (2003), operar com a idéia inicial desse campo, equivale a partir da divisão de medidas. Quando a divisão é exata se obtém um número inteiro; caso não seja exata, há uma parte inteira colocada antes da fração . 
Outra relação essencial é que “a” (o numerador) é conseqüentemente o resto da operação de divisão, e “b’ (o denominador), o divisor da operação.
Prosseguimos as atividades com a propriedade de equivalência e propomos para os alunos determinar uma fração equivalente a . O simples procedimento de multiplicar ou dividir os dois termos pelo mesmo número, por si, não justifica o que ocorre com a fração em termos de relações conceituais, pois não basta dizer que a fração primitiva se altera e passa ser outra, que se diz equivalente a anterior. Buscávamos que os alunos entendessem a relação implícita nesse momento operacional, ou seja, a lógica que a sustenta. 
Solicitamos, então, traçarem um segmento de 12 cm e representarem  dessa medida. Entretanto, ainda ocorreu de os alunos apresentarem dificuldades em dividir 12 por 3. Transportar esse pensamento para a divisão na régua em três partes, foi um tanto desafiador. Aos poucos, com nossa ajuda e de colegas foram compreendendo a relação.
O outro passo é a função do dois no numerador da fração . Perguntamos a eles: Que relação tinha esse número na representação do segmento? Uma aluna, prontamente, respondeu: - Pegar dois dos três segmentos divididos.
Solicitamos novamente, que traçassem outro segmento de 12 cm para representar a fração  (equivalência de ), como mostra a atividade desenvolvida por um aluno na figura 3.

                                        Figura 3

Perguntamos: - Como procederíamos? A sugestão de uma aluna foi para dividirmos em 6 partes e tomar 4. Porém, os procedimentos aritméticos só teriam significado se os alunos percebessem a relação existente na multiplicação de x . Após várias discussões, um aluno, disse: “Divide em duas partes cada parte dos três”. A expressão dos alunos é enunciada por Bézout, como: “Tomar a metade de terços”. 
Nas atividades com operações de frações, inicialmente a adição, o ponto de partida foi a representação geométrica. O diálogo continuou sobre o significado de cada valor numérico da escrita aritmética do resultado , obtido pela junção dos dois segmentos.
Nesse contexto, apresentamos uma adição cujas parcelas fracionárias tinham os denominadores diferentes (). A pergunta-guia foi: De que forma a operação será realizada, uma vez que “não se pode somar os denominadores” e eles agora não têm o mesmo valor?
 Foram apresentadas várias idéias produzidas pelos alunos. Uma delas: representar os dois segmentos e unir um ao outro, como o exemplo em que os denominadores são iguais. 
Fizemos a representação no quadro de giz, com as frações . Ao unirmos a extremidade final do segmento um meio com a origem segmento um terço, alguns alunos perceberam algo diferente - em relação ao ocorrido quando a operação apresentava denominadores iguais - pois as medidas das partes eram diferentes. 
Outro questionamento foi lançado: Podemos juntar partes de uma fração que está dividida em meios com outra que está dividida em terços? Houve resposta indicando a impossibilidade. Entretanto, fizemos perceber que a junção geométrica das duas frações se concretiza, porém o problema que se apresenta está na leitura geométrica e escrita aritmeticamente, ou seja, qual é a fração soma.
Valendo do nosso papel de mediador na relação professor/aluno/ conhecimento matemático, fizemos lembrar da possibilidade e necessidade de transformação em frações de denominadores iguais. Uma aluna diz: “temos que achar a fração equivalente”.
Acatamos a sugestão da aluna e chegamos aos denominadores comuns, , e para a fração . A soma apresentada foi . 
A figura 4 é uma amostra da atividade desenvolvida pelos alunos. Naquele caso específico, a aluna resolve não só , como também . É possível observar os procedimentos de cálculos que levam a transformação para , cuja a soma fracionária é . 
                                          
                                             Figura 4
Para a operação de subtração com denominadores diferentes, a proposição inicial foi que eles representassem geometricamente . 
Perguntamos aos alunos: “É possível seguir o procedimento adotado com as frações de denominadores iguais?” Um número bem representativo de alunos indica a propriedade de equivalência, adotada na adição, como uma ação necessária para transformar as referidas frações de mesmo denominador. Fizeram a representação geométrica e a escrita aritmética, , precedidas do cálculo aritmético no momento de transformar as duas frações em equivalentes com denominadores iguais. 
A análise em relação a essas atividades indica que a relação geométrica com a aritmética traduz ao aluno a idéia de que, a adição e a subtração de frações têm princípios fundamentados na idéia de medida, e não somente operações aritméticas em si. A representação geométrica traz a medida percebida, isto é, no campo visual, concomitantemente, no desenho estão implícitas as relações e idéias matemáticas que permitem ao aluno compreender a lógica dos procedimentos aritméticos.
A partir das discussões, foram sistematizadas as idéias essenciais que fundamentam os conceitos das operações de adição e subtração de números fracionários:
 a) Os termos fracionários a serem adicionados ou subtraídos devem ter como referência a mesma unidade-todo, tanto em sua representação aritmética quanto geométrica. Assim, quando as frações tiverem denominadores diferentes, a unidade-todo será dividida em partes iguais ao número de um dos denominadores; também subdividida em quantidades de partes iguais ao número do segundo denominador; finalmente a divisão exigirá tantas partes quanto for o produto dos denominadores.  
b) Quando os denominadores forem diferentes, as operações de adição e subtração requerem a transformação em frações equivalentes. 
c) As frações equivalentes, na adição e subtração, necessariamente apresentam os mesmos denominadores.
d) Geometricamente, a adição ocorre quando se faz coincidir a extremidade da primeira fração com a origem da segunda; e, para a subtração, compara-se a segunda fração com a primeira para determinar a diferença. Vale salientar, por ser 5ª série e os alunos ainda não  dominam  o campo dos números inteiros relativos, a fração minuendo deve ser maior que a fração subtraendo.
Com a relação à multiplicação de frações, numa abordagem Histórico-Cultural, não faz sentido o procedimento usual de apresentar aos alunos que o produto de duas frações é obtido ao multiplicar numeradores e denominadores entre si.
Um enfoque estritamente aritmético, com base na definição, faz com que a multiplicação de números fracionários fique restrita a ela mesma, não havendo necessidade de recorrer a outras operações. Portanto, toma uma característica bem distinta da adição e subtração que, antes da operação em si, faz necessário valer-se da multiplicação para a transformação em frações de mesmo denominador. 
Colocamos no quadro de giz a multiplicação .  A alerta de Bézout (1849) que as relações contidas nessa operação são complexas incumbiu-nos de muita atenção no diálogo mediador com os alunos. 
Primeiramente, solicitamos aos alunos que traçassem um segmento de reta de medida 8 cm e representassem ou tomassem a fração  . 
A mediação exigiu dos alunos além de operarem os cálculos aritméticos - de 8 cm dividir em 2 partes iguais - teriam que representar o quociente de medida 4 no segmento. A dificuldade não residia em operar a divisão de 8 cm por 2, mas em compreender toda a função relacional entre os números representativos de cada elemento dessa operação. Dito de outra forma, a dificuldade de alguns alunos estava na ação que envolvia o manuseio e a interpretação dos aspectos conceituais que se apresentavam implicitamente. Isso porque exigia a divisão do segmento-unidade (8 cm) em meios; cada uma dessas partes (4 cm) representava a fração  (multiplicando).
Quando todos, aparentemente, já haviam compreendido o processo até aqui desenvolvido, propomos que tomassem da medida . 
Recorremos naquele momento, à sugestão de Bézout (1849) ao exprimir a relação existente entre as duas frações: “Tomaremos a quarta parte de uma vez ”.
Passamos a orientar os alunos para que tomassem como referência uma das medidas  (4 cm) e tomassem a quarta parte desse segmento. Fizemos observar também que cada uma dessa quarta parte corresponde a um oitavo do segmento-unidade. Isso significa que = .
Outra multiplicação foi . Sugerimos aos alunos para proceder de maneira análoga ao que fizeram na atividade anterior. A questão que se apresentou foi qual o comprimento segmento-unidade que possibilitasse uma divisão com quociente inteiro para representar o segmento . Depois de algumas discussões se estabeleceu 15 cm.
Vale salientar que nessa atividade o aluno precisa realizar várias operações e estabelecer relações entre elas. Vejamos: os 15 cm se referem a medida do segmento unidade-todo. Como a fração que será representada nesse segmento é , terão que dividir a unidade-todo em 5 partes iguais de 3 cm.
Em seguida, se fez necessário marcar a fração . De cada quinta parte da unidade-todo é tomada a terça parte, ou seja, os quintos são transformados em quinze avos em relação ao inteiro. Agora,  de  se transformou em .   Como temos que tomar  de , se faz necessário tomar 2  vezes  a  nova   medida  que significa 2. , que é igual a += . Portanto, .= .

O processo de ensino e de desenvolvimento do conceito de multiplicação de fração, de um modo geral, em que uma das noções essenciais é a idéia geométrica, demanda em série de operações mentais complexas. O pensamento sintético da multiplicação com números naturais passa a ser sincrético, porém base, para atingir o nível sintético da referida operação no campo dos números racionais.
A abordagem adotada criou condições para os alunos conviverem com interpretações da dinamicidade conceitual de multiplicar frações. Tal operação, nesse campo numérico, não se sustenta por si só, pois articula uma série de relações com outros conceitos, como:
a) medida de segmento de reta; divisão aritmética e geométrica (segmento); 
b) divisão da divisão (por exemplo, tomar dois terços de quatro quintos);
c) identificação de uma nova fração (tomar terços de quintos que se transforma em quinze avos);
d) adição de fração (por exemplo, +, cuja soma, , é o produto esperado da operação da multiplicação  . ).
Essas relações subsidiaram cientificamente a elaboração da síntese que explicita a multiplicação propriamente dita, uma vez que nas articulações conceituais ela não aparece. 

Considerações Finais
O trabalho com os alunos exigiu muito esforço, no sentido de dar ênfase às relações conceituais em cada proposição a ser resolvida, de forma que eles desenvolvessem uma lógica de pensamento de cada especificidade ou significações concernentes ao conceito. Isso reivindica que, ao propor uma nova atividade, a atenção se redobre para manter a consistência pré-estabelecida com base na categoria lógico-histórica. 
No caso específico do conceito de número racional, o lógico-histórico tem como referência a idéia de medida, se estende para a propriedade de equivalência e atinge um nível de complexidade cada vez maior em cada operação – adição, subtração, multiplicação e divisão – fazendo com que a literatura (Caraça) abandone a representação geométrica na multiplicação e divisão, recorrendo exclusivamente à síntese algébrica e aritmética. 
A atenção também se volta para dois focos de manifestações: de cada aluno e do grupo como todo. O acompanhamento individual é uma necessidade para aqueles alunos que, desde a primeira atividade, apresentam dificuldades.  Muitas delas vão sendo superadas com o desenvolvimento de novas situações de aprendizagem no decorrer da pesquisa. Para um aluno, elas se alastraram até o final e permaneceram à mercê de um trabalho de continuidade e atenção exclusiva do professor ou dos colegas com nível de compreensão conceitual. Seu pensamento sincrético tem um predomínio em relação ao pensamento analítico e sintético, apontando para as suas possibilidades de elaboração conceitual – zona de desenvolvimento próximo – por isso, ainda de forma dependente de mediações sociais. A ajuda se deu desde o manuseio da régua para traçar os segmentos de reta, resolução de operações simples de multiplicação e divisão e transposição dos resultados para a representação geométrica, até as relações interpretativas que levariam à síntese aritmética e algébrica.
Por sua vez, a atenção para o grupo todo visava trazer evidências das regularidades de procedimentos e pensamentos no momento de apresentação e discussões de cada atividade. Foram dessas observações que percebemos um movimento entre o sincrético ponto de partida da representação geométrica ao sintético ponto de chegada. Isso necessitou de ajuda para a própria construção do segmento, passando pelo processo analítico - estabelecer relações num único segmento e entre dois deles, fazer identificações, traduzir para a representação escrita, resgatar propriedades e conceitos anteriormente aprendidos, atribuir significado e função aos termos – atingindo a síntese algébrica.
O olhar atento, no momento em que o grupo desenvolvia as atividades, indica que o processo de elaboração do conceito de números racionais pelos alunos da quinta série, na perspectiva teórica aqui adotada, é marcado por um movimento de continuidades e rupturas na forma que eles desenvolvem o pensamento. Não há unicidade tanto no plano individual quanto do coletivo. Em determinadas etapas, enquanto alguns alunos operavam sinteticamente, outros se encontravam no estágio sincrético ou analítico. Ou, como dito anteriormente, um aluno numa atividade revelava desenvoltura de domínio de pensamento analítico ou sintético e, na seguinte, sincrético.  
O pensamento sintético se revelava quando, ao propormos uma operação – adição, subtração, multiplicação e divisão - os alunos buscavam seu resultado quer por vias da definição como também por representação geométrica com as devidas interpretações.
Apresentar uma seqüência de ensino em que se confluem as categorias e conceitos da abordagem Histórico-Cultural (lógico-histórica, concreto-abstrato, sincrético-analítico-sintético) para o processo de desenvolvimento do conceito de números racionais não significa que torne mais “fácil” a aprendizagem. Pelo contrário, exige do aluno operações mentais complexas, distintas daquelas realizadas diariamente e no ensino convencional.
Diante do exposto, nessas considerações finais, pensamos que a seqüência de ensino defendida no presente estudo oportunizou o desenvolvimento do pensamento conceitual de Números Racionais pelos alunos, dentro dos limites a que se propôs. 
Referências
BÉZOUT, Etienne M. Elementos de arithmetica. Coimbra: Livraria Portuguesa, 1849.
CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais da matemática. Lisboa: Gradiva, 2003.
DAMAZIO, Ademir. O desenvolvimento dos conceitos matemáticos no contexto do processo extrativo do carvão. Tese de Doutorado – Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2000. 
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