A INTERFERÊNCIA DE AMBIGÜIDADES LEXICAIS NA INTERPRETAÇÃO DOS ENUNCIADOS DE PROBLEMAS VERBAIS

Auxiliadora Baraldi Pacheco
Escola Agrotécnica Federal de Satuba
barauxi@hotmail.com

Cleide Farias de Medeiros
Universidade Federal Rural de Pernambuco
fariasmedeiros@uol.com.br

Angela Baraldi Pacheco
Centro Federal de Educação Tecnológica de Alagoas
ang.baraldi@yahoo.com.br

Introdução
	A comunicação através de uma linguagem escrita ou falada envolve a geração de sentido para as palavras bem como para outros signos utilizados nas mensagens e esta atribuição de significados pode conduzir-nos, ou não, a uma assimilação e compreensão satisfatória do que escutamos ou lemos. Procuramos, diariamente, dar sentido às informações que chegam até nós por diversos canais e em contextos específicos; entretanto, mesmo considerando uma certa peça (delimitada) de comunicação, um certo discurso ou texto qualquer, essa nossa busca por significação nem sempre ocorre ali, internamente, de um modo homogêneo e em um único contexto. Isto é, as partes de tal texto podem estar sendo submetidas a tratamentos diferenciados e de uma natureza diferente ou forma desiguais. Nos discursos matemáticos, por exemplo, essa busca de significação pode ser bem complexa, pois, dentre outras coisas, ela “...envolve notoriamente tanto termos especializados como as palavras do dia-a-dia com diferentes significados”  (Pimm, 1987, apud Pacheco, 2001, p.66).
É muito comum, nas práticas escolares, dizer-se que o aluno não costuma resolver, com uma certa facilidade e de forma bem sucedida, problemas verbais em Matemática porque ele costuma enfrentar dificuldades com a própria Língua Portuguesa, principalmente em compreensão textual, o que conduz leva à ausência de uma interpretação produtiva de seus enunciados.  E o enunciado de um problema matemático, expresso de forma escrita ou falada, é composto por expressões que podem ter significados, na esfera do contexto verbal (Medeiros, 1992; Medeiros, 2001) apresentado, bem diferenciados de outros significados que podem ser atribuídos em situações quotidianas. Muitas dessas expressões específicas não são exclusivas da Matemática e também são usadas informalmente em outros contextos com novas cargas semânticas. Isso pode, assim, gerar o que tem sido denominado na literatura tanto da Educação Matemática quanto da Semântica de  ambigüidades lexicais (Durkin e Shire, 1991; Orlandi, 1988).
Durkin e Shire apontam, nesta obra acima mencionada, que há vários aspectos envolvidos nos enunciados dos problemas verbais que podem interferir na comunicação e que ambigüidades lexicais –  ou seja, na esfera das palavras – dentre outras ambigüidades lingüísticas, podem conduzir o leitor ou ouvinte ao não entendimento das mensagens pretendidas. Isto é, “as ambigüidades lexicais não exaurem as variações de ambigüidades lingüísticas que os alunos enfrentam em matemática e deveria ficar claro que o nosso foco é apenas um aspecto do desafio lingüístico da educação matemática” (Durkin e Shire , 1991, p. 71). 
Baseando-se em lingüistas tais como Bennett ,1975; Deane, 1988; Lyons, 1977 e Panman, 1982 (apud Durkin e Shire, 1991), Durkin e Shire explicitam, na obra acima citada, diferentes tipos de ambigüidades lexicais comumente encontradas na educação matemática: homonímia, polissemia, homofonia e mudanças de aplicações.
Sabemos que as palavras usadas em uma comunidade ou agrupamento humano são símbolos e, em assim sendo, são signos arbitrários que surgem em função de um contexto e mediante a intencionalidade de quem a cria, mas que são aceitos por tal agrupamento humano pela prática da convenção. Por exemplo, de um país para outro, com idiomas diferentes, um mesmo objeto é designado de forma distinta: “square” Inglês) = “quadrado” (Português); e mesmo dentro de um certo país, com um único idioma, pode haver diferentes denominações para uma mesma idéia. Assim, tal é o caso da palavra “quadrado” usada para representar o indivíduo “ultrapassado”. Câmara Jr (1986) já afirmava que: “o sentido de uma palavra não é essencialmente uno, nitidamente delimitado e rigorosamente privativo dela, à maneira de um símbolo matemático” (1986, p. 132). Neste sentido, podemos comparar a arbitrariedade do símbolo lingüístico com a precisão do símbolo matemático. Ambos os símbolos são escolhidos arbitrariamente para representar os ‘objetos’ a que se referem. Mas, ao contrário do que observamos na linguagem verbal quotidiana, a Matemática mesmo utilizando-se de uma linguagem simbólica – portanto, arbitrária –, é universal. Assim, em países com idiomas diferentes, a representação de dois ao quadrado (2²) é atualmente sempre a mesma.
A linguagem matemática apresentada como universal e precisa no que se refere à representação simbólica e não-verbal das idéias depara-se com o fator ‘imprecisão’ quando expressa em linguagem verbal, caso que se verifica nitidamente em enunciados de problemas matemáticos e que podem incorporar algumas ambigüidades lexicais enunciadas anteriormente.
À guisa de significados para os diferentes tipos de ambigüidades lexicais mencionadas, acima podemos dizer que a homonímia é uma especificidade de ambigüidade que indica a relação formal de alguns termos que têm sentidos diferentes. Existem três tipos de homônimos: homógrafos, homófonos e perfeitos que variam entre si em função das relações entre a escrita, a pronúncia e o significado da palavra em uso. O primeiro tipo (homônimo-homógrafo) refere-se a termos com escrita igual e pronúncias diferentes por exemplo “forma  ∕ ô ∕ ” e “forma  ∕ ó  ∕”. Ambas as palavras têm sentidos relacionados, isto é, “forma / ô /, recipiente é o que dá a forma /ó /, estrutura”. O segundo tipo (homônimo-homófono) aplica-se a expressões com escritas diferentes e pronúncia igual “secção, sessão, cessão”. Tais termos não têm relação de sentido: seção é igual a repartição; sessão significa reunião e cessão refere-se ao ato de ceder. E, finalmente, o terceiro tipo (homônimo-perfeito) aplica-se às palavras escritas e pronunciadas da mesma forma; porém, com significados distintos. São exemplos de homônimos perfeitos, as palavras: “quadrado = ultrapassado”, “quadrado = forma geométrica”, ou “raiz = base”, “raiz = potência fracionária de um número” e, ainda, “arranjo = combinação”, “arranjo = ordem”. 
Esse último tipo de homônimo – perfeito  é o foco deste presente estudo.
	Por seu turno, a polissemia consiste também em vários sentidos para um termo de escrita equivalente e que representa idéias ou coisas diferentes entre si; porém, este tipo de ambigüidade lexical diferencia-se da homonímia quanto à relação que os termos assumem, isto é, os termos que recebem a classificação de ‘homônimos’ possuem autonomia de sentido e os termos polissêmicos têm um sentido relacionado ao outro, apesar desses sentidos serem diferentes. Por exemplo, a expressão “hipérbole” que, na Matemática, designa uma das secções cônicas e para a literatura significa exagero (figura de linguagem). Ambos os sentidos não possuem relação (homonímia). Já no uso da expressão “quadrado”, há um sentido comum e ele deriva da Matemática: o indivíduo quadrado ‘não sai’ das quatro semi-retas de um quadrado.
Podemos ter, ainda, o mesmo termo – portanto, com uma mesma escrita e uma mesma significação – que se aplica em situações diferentes entre si sem, no entanto, haver perda de seu sentido. Por exemplo, o termo “um” nas frases seguintes: Ele tem um ano ∕ Ele é o número um ∕ Tem um carro lá fora. Classificou-se, na literatura, este tipo de relacionamento entre palavras e o seu uso como uma mudança de aplicação, mas não de sentido.
Estudos em análise do discurso enfatizam que um sujeito não se relaciona com o texto nem de forma direta  nem mecânica; ao contrário, o leitor interage com seu  objeto de análise e para que isso ocorra de maneira eficaz ele deverá passar “por mediações, por determinações de muitas e variadas espécies que são a sua experiência de linguagem” (Orlandi, 1988, apud Pacheco, p. 63).
No que concerne à resolução de problemas verbais inseridos em contextos reais, em Educação Matemática, Medeiros (1992) focaliza os laços epistemológicos entre o sujeito (resolvedor) – e as suas possíveis dificuldades perceptivas –  e as características inerentes ao texto e contexto constitutivos do problema. Assim, esta autora refere-se a dois contextos relativos e inerentes aos problemas verbais inseridos em contextos reais: o contexto verbal e o contexto real e destaca que a compreensão esperada do contexto verbal envolve a apreensão de significados compartilhados oficialmente, tanto na Língua Portuguesa como na Matemática; a compreensão do contexto real envolve a elaboração ou o resgate de representações mentais da situação real subjacente ao ‘contexto verbal’. 
	“O enunciado de um problema de Matemática, inserido em um contexto real, pode ser composto de palavras da linguagem do dia-a-dia, desenhos e símbolos matemáticos, coisas que formam o que pode ser chamado de ‘campo observacional do problema’. A questão é que adentrar no campo observacional de um problema não envolve apenas ‘sensação’, mas também interpretação” (Medeiros, apud Pacheco 2001, p. 64)
Quanto à construção do discurso, segundo Orlandi (1988), o processo de leitura passa, basicamente, por duas instâncias: o contexto de enunciado e o contexto de enunciação. O primeiro é ‘repetível’ (pré-construído) e constitui a exterioridade do texto onde se trama o que vai se dizer. O segundo é a produção de seqüência lingüística, isto é, onde o sujeito intervém. Admite-se, então, que esses contextos não podem ser dissociados e, ainda, pode-se perceber que o contexto do enunciado fornece os objetos do discurso os quais sustentam a enunciação e, ao mesmo tempo, organizam o que constitui as formulações do sujeito. Assim, reafirma-se idéia dessa autora e acrescenta-se que é dessa relação que “se produz a realidade do discurso” (Orlandi, 1988, p.111).
Se compararmos as visões, nesta esfera, de Medeiros e Orlandi, isto é, o contexto verbal e o contexto real da primeira autora e o contexto de enunciado e o contexto de enunciação da segunda autora, vemos convergências importantes. Quanto à construção do discurso, segundo Orlandi (1988), o processo de leitura passa, basicamente, por duas instâncias: o contexto de enunciado e o contexto de enunciação. O primeiro é repetível (pré-construído) e constitui a exterioridade do texto onde se trama o que vai se dizer. O segundo é a produção de seqüência lingüística, isto é, onde o sujeito intervém. Admite-se, então, que esses contextos não podem ser dissociados e, ainda, pode-se perceber que o contexto do enunciado fornece os objetos do discurso os quais sustentam a enunciação e, ao mesmo tempo, organizam o que constitui as formulações do sujeito. Assim, reafirma-se a idéia dessa autora e acrescenta-se que é dessa relação que “se produz a realidade do discurso” (Orlandi, 1988, p. 111). Vemos que há, para ambas as autoras mencionadas, convergências em dois lados que envolvem o sujeito que tenta resolver um problema. A questão não depende apenas do âmbito das palavras; mas, também, das experiências de cada um que lê e tenta resolver tal problema.
Orlandi (1988) coloca ainda que:
“os textos, expressos em linguagens verbais ou não-verbais, envolvem leitura e essa leitura pode ser vista sob um ponto de vista mais amplo como ‘atribuição de sentidos’ um sentido que se supõe ser o do texto (dado pelo autor) ou uma atribuição de múltiplos sentidos ao texto” (...) “ninguém lê num texto o que quer, do jeito que quer e para qualquer um” (apud Pacheco, 2001, p. 63).
Em sala-de-aula, muitos professores já vivenciaram a situação de perguntar aos alunos se eles entenderam o significado de uma palavra particular e, também, já testaram a compreensão do estudante através de suas respostas, seja dentro de uma definição formal ou dentro de uma interpretação expressa em suas próprias palavras. Nesta vivência, há comumente a marca de desencontros de entendimentos acerca dos conteúdos matemáticos. Os problemas verbais são apresentados em textos escritos, comumente em uma linguagem informal. Mas, é requerida – do resolvedor – o estabelecimento de uma associação analógica de tais termos lingüísticos com objetos matemáticos, isto é, pertencentes à Matemática enquanto campo do conhecimento humano (Medeiros, 2001).  Davis e Hersh (1989), em sintonia com o aqui exposto, apontam particularidades deste texto escrito: “o discurso matemático informal, parte de um discurso natural, é composto de nomes, verbos, adjetivos etc. Os nomes designam objetos matemáticos: por exemplo, o número 3,...” (p.171).
Denominaremos esse “discurso matemático informal”, particularmente em nosso estudo, de problemas verbais. Os professores quando propõem problemas verbais aos estudantes, no ensino de Matemática, pretendem que eles os relacionem a objetos e a determinadas estruturas que para Davis e Hersh (1989) são “as estruturas matemáticas, por exemplo, o sistema dos números reais” (...) são objetos algo mais complexo que nomes e consistem em objetos matemáticos unidos por certas relações ou leis de combinação” (p. 171). Dito de uma outra forma, é o trabalho típico do matemático a que Medeiros (2001) referiu-se − o trabalho de produção de metáforas, associando idéias e palavras. Esta autora baseando-se em lingüistas e filósofos (Black, 1979; Low, 1988; Mac Cormac, 1988; Cooper, 1986) aponta que as metáforas são uma forma dos seres humanos se comunicarem (consciente ou inconscientemente) e que “a influência recíproca entre a decodificação e a codificação de mensagens ocorre por meio do relacionamento entre o significado pretendido e o significado interpretado” (2001, p. 219).
No instante em que se apresenta um problema expresso em linguagem verbal ou não-verbal a quem pretende resolvê-lo, existirá uma leitura possível; mas não, necessariamente, a decodificação esperada dos seus significados. Nesses tipos de problemas, é importante levar-se em conta “que há uma complexidade de elementos muito distintos que têm a ver com a significação de qualquer texto, incluindo-se até mesmo a existência de diversos tipos de discursos” (Orlandi, 1988, apud Pacheco, 2001, p. 63). Desta forma, pode-se dizer que “não se lê da mesma forma um texto literário e um texto científico, um conto de fadas e um cálculo matemático etc” (Orlandi, 1988, p. 12).
Observamos que, para serem compreendidos, os problemas expressos em linguagem escrita dependem de determinados contextos reais que poderão, ou não, fazer parte das experiências prévias de quem pretende resolvê-los. Concebe-se, então, a interpretação na perspectiva de uma busca para extrair vários sentidos do texto. É importante considerarmos que na ótica da análise interpretativa, a interpretação da mensagem escrita:
“no sentido restrito, como tomar uma decisão própria a respeito das idéias enunciadas, é superar a estrita mensagem do texto, é ler nas entrelinhas, é forçar um autor a um diálogo, é explorar toda a fecundidade das idéias expostas e, enfim, é dialogar com o autor”. (Severino, 1986, p. 130).
Tal como apontado por Durkin e Shire, na obra acima citada, acreditamos que as ambigüidades lexicais podem interferir na compreensão dos conteúdos dos enunciados verbais dos problemas matemáticos. Estes autores ali abordaram o uso das palavras alto e grande  e fizeram um sumário das interpretações apresentadas por crianças quando tais expressões são aplicadas ao conceito de número. Entretanto, este nosso presente trabalho difere no que se refere à abordagem de tais autores, visto que pretendemos analisar alguns enunciados de problemas verbais e identificar algumas ambigüidades que podem acarretar o não entendimento dos conteúdos pelo leitor. Tais problemas são encontrados em livros-texto, outros foram elaborados pelas autoras da investigação e outros textos foram elaborados por estudantes. Numa primeira etapa, abordaremos duas palavras: quadrado e raiz e faremos uma análise das possíveis dificuldades que tais palavras podem trazer ao resolvedor ao tentar matematizar problemas verbais. Em uma segunda etapa deste estudo, exibiremos produções de textos realizadas por estudantes: um problema verbal e uma poesia. Estes são dois exemplos de elaborações dos próprios estudantes produzindo textos com palavras que têm significados em contextos matemáticos, mas que foram por eles utilizadas com significados do cotidiano.

2. Metodologia  

Como mencionamos, selecionamos algumas palavras que podem trazer ambigüidades lexicais e alguns problemas que podem gerar uma interpretação ambígua.  Dentre outras possíveis, escolhemos três palavras – quadrado, raiz e arranjo – para analisarmos as possíveis ambigüidades nelas envolvidas. Para isto, iniciamos a análise apresentando alguns dos significados ‘matemáticos’ e ‘não matemáticos’ destas palavras obtidos em dicionários de língua portuguesa. O objetivo deste levantamento inicial é a formação de um ‘banco de significados’ para possíveis consultas posteriores durante a análise.
Em um segundo momento, focalizamos separadamente os significados matemáticos coletados inicialmente para cada palavra – quadrado, raiz e arranjo.  Nesta etapa, com referência inicialmente à palavra ‘quadrado’, procuramos por usos desta palavra em contextos matemáticos diversos, a saber: 1. A palavra quadrado remetendo o resolvedor a uma operação de radiciação; 2. A palavra quadrado remetendo o resolvedor a uma operação de potenciação para obter a área; 3. A palavra quadrado remetendo o resolvedor a usar a área do quadrado como unidade de comparação e, finalmente, 4. A palavra quadrado remetendo o resolvedor a usar quadrados perfeitos. Esses contextos de uso matemático dessas palavras foram aqui concretizados na forma de problemas matemáticos retirados da literatura, com exceção da palavra ‘arranjo’ em relação à qual utilizamo-nos de uma tentativa de elaboração de problema feita por um estudante do nível de escolarização médio. 
Finalmente, em um terceiro momento, cada contexto de uso apresentado acima para ‘quadrado’ foi analisado em termos das possíveis dificuldades causadas pelas ambigüidades subjacentes. 
Repetimos, então, todo o procedimento acima descrito para a palavra ‘raiz’.  Assim, após a realização da primeira etapa acima descrita, isto é, a elaboração do ‘banco de significados’ – matemáticos e ‘não matemáticos’ – da palavra ‘raiz’, situamos, a palavra ‘raiz’ em termos de seus contextos matemáticos diversos, a saber: 1.  Raiz como resultado da potenciação e 2. Raiz de um polinômio, de uma equação e de uma função. Em um terceiro momento, tal como fora feito para a palavra ‘quadrado’, cada um dos contextos de uso foi analisado em termos das possíveis dificuldades causadas pelas ambigüidades subjacentes. 
No que se refere à palavra ‘arranjo’, as duas primeiras etapas acima descritas foram repetidas em termos de procedimentos adotados. Assim, após a construção de um ‘banco de significados’ com o estabelecimento de significados matemáticos e ‘não matemáticos’ para a palavra ‘arranjo’, diferentemente do procedimento adotado para as palavras ‘quadrado’ e ‘raiz’, não buscamos na literatura (livros didáticos), em relação a esta palavra, um problema verbal para ser analisado. Utilizamos, alternativamente, um texto produzido por um próprio estudante. Este problema foi selecionado dentre várias outras tentativas de elaboração de problemas  verbais feitas por estudantes (nível de  escolarização média) no qual verificamos nitidamente uma ambigüidade gerada pela força do significado informalmente atribuído à palavra ‘arranjo’. 
	Finalmente, na penúltima seção (Miscelânea de Palavras) deste presente artigo, apresentamos um poema produzido por uma estudante com o objetivo de sugerirmos as diferenças existentes na importância e decorrências de uso das conotações e ambigüidades lexicais em duas esferas do conhecimento humano, a ciência e a poesia.

3. Análise das Palavras

3.1 Quadrado
Alguns dos significados da palavra ‘quadrado’ obtidos em dicionários aparecem abaixo no quadro 1 (banco de significados) que exibe significados de uso matemático e ‘não matemático’. 

Quadro 1: Significado da palavra quadrado (origem etimológica da palavra em latim quadratu)

A) Significado matemático	B) Significado não matemático	
1) Diz –se a raiz de um dos números, a qual, elevada à segunda potência, produz esse número (Silva, 1969, p.502);
2) Quadrilátero (polígono) de lados iguais e ângulos retos. Ex: Face quadrada do cubo (Silva, 1969, p.502);
3)Produto de um número multiplicado por si mesmo;
4) Que tem a forma ou a figura de um quadrilátero de lados iguais e ângulos retos. (Amora, 1999, p.592). Ex. Praça quadrada (Silva, 1969, p. 502);
5) Retângulo que tem todos os seus lados iguais; (Amora, 1999, p. 592);
6) Cúbico ou aproximadamente cúbico: Caixa quadrada (Silva, 1969, p. 502);
7)Diz-se uma unidade de comprimento quando multiplicada por si mesma de modo a formar uma unidade de medida de superfície: metro quadrado (Silva, 1969, p. 502);
8) Quadrado mágico: espaço quadrado dividido em certo número de casas iguais, nas quais se escrevem os termos de uma progressão aritmética, que a soma das colunas seja sempre constante nos três sentidos: horizontal vertical e diagonal (Silva, 1969, p. 502).	9) Diz-se o indivíduo que não aceita inovações; que se prende a padrões tradicionais, careta, ultrapassado; Silva, 1969, p.502)
10) Qualitativo da pessoa baixa e gorda;
11) Ignorante, grosseiro, rude;
12) Jogo infantil;
13) Disposição em jogo de jogo de futebol (quadrado mágico)

3.1.1 Quadrado e alguns Contextos matemáticos

3.1.1. a) A palavra quadrado remetendo o resolvedor a uma
   operação de radiciação 

Para podermos fazer uma análise desta definição citada no quadro 1, coluna A –
 item 1, utilizaremos um problema retirado de um livro paradidático:
“Existem dois números cujos quadrados são iguais a 9. Quais são eles?” (Campos, 2001, v.1, p. 56)
Percebemos que ao formular este problema, a autora propõe que seja feito a operação de extração da raiz do número 9. Assim, o texto remete  a uma operação de radiciação e este conceito pode não ser imediato para o leitor iniciante pois a própria matemática com apenas uma palavra “quadrado” pode remeter o resolvedor a diferentes tipos, procedimentos e níveis de conhecimento. Neste exemplo, o resolvedor é convidado a identificá-la como uma raiz quadrada.

3.1.1. b) A palavra quadrado remetendo o resolvedor a uma operação de potenciação para obtenção da área geométrica
Como exemplo, destacamos o seguinte enunciado:
Qual a área de um quadrado de lado 3 cm?
Este enunciado remete o resolvedor ao significado da palavra quadrado visto no quadro 1, coluna A –  item 2. A operação solicitada é a de potenciação relacionada à área da figura.
Certamente, o conceito de área não é específico da forma geométrica ‘quadrado’; mas, o quadrado é a forma geométrica que é utilizada como unidade padrão. A palavra quadrado remete a diferentes significados sutis e intrínsecos, pois, uma coisa é solicitar ao estudante que calcule a área da figura geométrica ‘quadrado’ e uma outra coisa é solicitar ao estudante que ele use esta figura como unidade de comparação e determine a área de outras figuras.

3.1.1. c) A palavra quadrado remetendo o resolvedor a usar a área do quadrado (um certo quadrado) como uma unidade de comparação
Ilustraremos agora a palavra ‘quadrado’ sendo usada em enunciados que remete o resolvedor a usá-la como unidade padrão – tal como na definição contida no quadro 1, coluna A, item 7 –  com o seguinte problema:
“Quantos centímetros quadrados existem em um retângulo de 4 centímetros de comprimento por 8 centímetros de largura?” (Davis e Hersh , 1989, p. 31).
Como nos referimos anteriormente, desta vez quadrado corresponde à unidade de medida como unidade padrão. Apesar de termos formas geométricas com propriedades específicas e ainda sabendo que as formas quadradas são retângulos, existe uma particularidade que as diferencia entre si que é o fato de que existem retângulos que não são quadrados. No exemplo acima apresentado e ora analisado, o retângulo em questão não é do tipo ‘quadrado’. O procedimento para o cálculo de área de retângulo é obter-se o produto das duas dimensões (4 cm e 8 cm). Mas, por que a unidade é o ‘quadrado’? Certamente, ao multiplicarmos as dimensões: 4 cm x 8 cm obtemos a área 32 cm2. Mas, insistimos na pergunta: por que a unidade é “centímetros quadrados”? O cálculo de área envolve uma comparação de figuras de formas distintas! O quadrado é usado como forma geométrica padrão para comparação. Na realidade, quando calculamos a área do retângulo 32 cm2 estamos dizendo que naquele retângulo podemos cobrir toda a sua superfície com 32 quadrados, cada um formado por um comprimento de 1 cm em cada lado.

3.1.1. d) A palavra quadrado remetendo o resolvedor a usar quadrados perfeitos
	“Os números 1, 4, 9, 16, formam quadrados perfeitos. Dê exemplos de outros”.
Percebemos que a expressão ‘quadrado perfeito’ do enunciado sugere ao resolvedor o conceito da operação potenciação e simultaneamente aqueles quadrados que são lados de figuras geométricas quadradas e sugerem, ainda, que esses números são aqueles que têm raízes exatas. 

3. 2.	Raiz
A segunda palavra selecionada escolhida para análise ‘raiz’ encontra-se apresentada, em função de  alguns significados que lhe são comumente associados, no quadro 2  a seguir.
Quadro 2:  Significado da palavra raiz (origem etimológica da palavra em latim radice)
A) Significado matemático	B) Significado não matemático	
1)Potência fracionária de um número
(Amora, 1999, p.592);
2)Número que é elevado a certa potência (Silva, 1969, p.521);
3)Raiz de uma equação; valor da incógnita que verifica esta equação (Silva, 1969, p.521);
4)Raiz de um número (Silva, 1969, p.521);
5)Número que elevado à potência do mesmo índice, reproduz este número (Silva, 1969, p. 521).	1)Parte inferior do vegetal por onde este se fixa ao solo e se nutre (Amora, 1999, p. 592);
2)Parte inferior (da planta, do dente e do cabelo) ou de qualquer objeto  (Silva, 1969,p.521);
3)Parte oculta de qualquer coisa (Amora, 1999, p. 592);
4)Base, parte inferior, origem (Amora, 1999, p. 592);
5)Prolongamento profundo de certos tumores (Amora, 1999, p. 592);
6)Elemento que encerra o significado de uma palavra como parte básica de sua estrutura.	

3.2.1 Raiz e alguns Contextos matemáticos
3.2.1 a) Raiz como resultado da potenciação 
Escolhemos o seguinte questionamento:	
“Qual a raiz quadrada de  nove?”

3.2.1 b) Raiz de um polinômio, de uma equação e de uma função
Escolhemos o polinômio p(x) = x – 3 e a partir dele faremos três proposições na forma de questionamentos equivalentes: 

i)	Qual é a raiz da equação p(x) = 0?
ii)	Qual é a raiz da função polinomial p(x)?
iii)	Qual é a raiz do polinômio p(x)?
O primeiro questionamento exemplificado acima sugere ao resolvedor encontrar a raiz da equação x – 3 = 0 que requer o entendimento do significado exposto no quadro 2, coluna A, item 3 exibido acima, isto é,  atribuir o valor da incógnita que satisfaça a igualdade envolvida.  Assim, se x = 3 é a raiz da equação, ao substituirmos a incógnita na equação x –  3 = 0 por 3,  teremos a igualdade satisfeita: 3 – 3 = 0

3

No segundo questionamento exemplificado, solicita-se ao resolvedor que encontre a raiz da função polinomial, o que corresponde a encontrar o valor de x para onde a função se anula.
                                             p(x)

                              3
	x= 3 é a raiz porque é o valor que anula a função p(x). Assim, dizemos que três é o zero da função por que a torna nula. Inclusive, quando fazemos esta afirmação os estudantes entendem que o zero de uma função tem que assumir o valor de zero.	

3.3.	Arranjo
A terceira palavra aqui analisada ‘arranjo’ apresenta o seguinte quadro de significados.

Quadro 3: O significado da palavra Arranjo (origem etimológica da palavra francesa arranger)
A) Significado matemático	B) Significado com uso não matemático	
1) Ordem por que podem ser dispostos objetos ou letras em álgebra, relacionando uns com os outros, de modo que cada grupo se distinga dos demais ou por um objeto ou letra, ou pela posição delas ou deles (Silva, 1969, p.427).	1)Ação ou efeito de pôr em ordem (arrumação ou disposição)
2)Economia doméstica
3)Mobiliário de utensílio de casa
4)Comodidade
5)Especulação com fundos públicos;
6)Acordo, entendimento;
7)Combinação fraudulenta (negociata)
8)Conveniência
9)Casamento
10)Orquestração (Silva, 1969, p.427)	

Em relação a esta palavra não buscamos na literatura de livros didáticos um problema verbal para ser analisado. Utilizamos um texto produzido por um estudante oriundo do nível médio de escolarização. Este problema foi selecionado dentre vários outros problemas elaborados por estudantes em que verificamos nitidamente uma ambigüidade lexical gerada pela força do uso informal do significado da palavra. O estudante elaborou, por solicitação nossa, um problema verbal usando a palavra arranjo para ser modelado matematicamente, inclusive por ele próprio, como um agrupamento do tipo arranjo. A seguir encontram-se o problema por ele elaborado e a sua resolução para tal situação problemática:

Percebemos uma certa ambigüidade no problema elaborado pelo estudante, pois não está claro se ele está se referindo à disposição dos arranjos ‘já prontos’ a serem colocados sobre a mesa (onde, como ele colocou, é importante qual será o primeiro buquê a ser colocado no jarro e o primeiro buquê a ser colocado no jarro é o vermelho) ou se ele se refere à composição de arranjos de flores simplesmente a partir das três cores de flores apresentadas. Se ele se referiu à disposição dos arranjos prontos sobre a mesa (com o primeiro arranjo sempre fixo), a matematização por ele apresentada em sua resolução está adequada. No entanto, se ele se referiu à composição livre dos buquês, simplesmente a partir de três cores, a matematização por ele apresentada contém erros estruturais. 
Quotidianamente, a palavra arranjo apresenta múltiplos significados usados de modos distintos como exibido no quadro 3 acima. Ao elaborar o problema, o estudante trouxe a palavra arranjo com um significado contextualizado - arranjo de flores, o que pode conduzir ao mero significado de arrumação ou cacho de flores. Entretanto, a modelagem matemática do agrupamento de flores (arranjo de flores) por ele apresentada como solução não corresponde a agrupamento com estrutura de arranjo em seu sentido matemático/combinatorial; mas, sim, a um agrupamento com estrutura combinatorial de combinação. Isto é, na verdade, se decidirmos agruparmos as flores em um arranjo, em seu sentido combinatorial, a ordem importa. Logo, os agrupamentos surgidos através da alteração de ordem em que os elementos forem dispostos, deverão ser contados, gerando as seguintes seis possibilidades: (vermelho, verde, amarelo), (vermelho, amarelo, verde), (verde, vermelho, amarelo), (verde, amarelo, vermelho), (amarelo, verde, vermelho) e (amarelo, vermelho, verde). Entretanto, a tentativa de modelagem matemática para um agrupamento de flores (arranjo no sentido de uma ‘arrumação’, ‘punhado’ ou cacho de flores) seria mais adequada para agrupamentos combinatoriais do tipo combinação, pois, na verdade, considerando os fins práticos de tal ação, na vida real, observamos que o arranjo (arrumação ou cacho) composto pelas flores com cores (vermelha, verde, amarela) é o mesmo arranjo ou arrumação ao mudarmos a ordem da disposição das flores tal como no caso (vermelha, amarela, verde). As mesmas flores de cores diferentes dispostas em ordem diferente representam o mesmo arranjo. Logo, para modelarmos matematicamente a contagem dos possíveis agrupamentos de flores deste arranjo (arrumação) de flores achamos mais adequado o agrupamento do tipo combinação.  Isto é, com as flores de três cores (vermelha, verde e amarela) deseja-se formar arranjos (cachos) com flores de três cores distintas e buscam-se quantos arranjos (cachos) podem ser feitos. Nesta situação da vida real, referimo-nos ao problema como arranjo; mas, neste contexto, esta palavra precisa ser assumida em seu sentido ‘não-matemático’. A estrutura matemática (combinatorial) adequada dos agrupamentos a serem formados, é na verdade, a combinação. Assim, no sentido matemático, o arranjo de flores referido no problema elaborado pelo estudante, seria uma combinação de flores.
	Essas múltiplas conotações de palavras usadas quotidianamente com significados diferentes podem ser causadoras ou pelo menos estarem contribuindo para a existência de muitas ‘confusões’ ou ‘concepções alternativas’ apresentadas especialmente por iniciantes na interpretação dos problemas contextualizados na vida real. 

4. Miscelânea de palavras e suas Conotações

Ambigüidades lexicais fazem-se presentes com muita pertinência na literatura e em particular na poesia. É interessante destacarmos que a ambigüidade lexical, causada pelas múltiplas significações de um mesmo termo utilizado em contextos distintos, pode interferir positivamente no sentido de um texto com natureza diferente do texto científico.  Isto pode ser observado no seguinte poema produzido por um aluno em atividade interdisciplinar desenvolvida por professores de Matemática e Português intitulado  ‘No Mundo dos Sinais’  apresentado a seguir.

 NO MUNDO DOS SINAIS 	
O todo é a IMAGEM do DOMÍNIO da POTÊNCIA.
Ela quer guerra para acabar com as divergências,
causadas pelas DIFERENÇAS. Sua estratégia? É RADICAL!
Produzir medo, SUBTRAIR a esperança e MULTIPLICAR a sua herança
A parte sendo ÍMPAR, mas que pode vir a ser PAR,
surge em meio ao todo, na simples FUNÇÃO de SIMPLIFICAR.
Sua estratégia?Também é radical! DIVIDIR os PROBLEMAS,
SOMAR as DIFERENÇAS e assim MULTIPLICAR o seu modelo de competência.
(Sávia de Oliveira)	

Assim, para a linguagem conotativa, a ambigüidade lexical sempre será um recurso (poderoso) a mais para o enriquecimento do texto e de seu sentido. Para a linguagem denotativa, própria da ciência, tal ambigüidade continuará sendo motivo para estudos diversos, em função das dificuldades geradas a partir das possíveis interpretações, por vezes adequadas, outras vezes inadequadas. 

5. Conclusão
Pretendemos com este estudo chamar a atenção que a resolução de problemas ainda é encarada por professores como uma passagem ou tradução quase direta da linguagem informal para a linguagem matemática, através do uso de fórmulas. É preciso questionarmos a tentativa de instrução e da aprendizagem de resolução de problemas através de uma única estratégia: a mera tradução da linguagem verbal para a linguagem não verbal ou simbólica. Não se trata, entretanto, de negar-se a importância do estudante adquirir a linguagem formal. Mas, a importância de apontar a ineficácia de sua fecundidade cognitiva quando a mesma é introduzida muito cedo e/ou anteriormente à prática de utilização de outras estratégias variadas e que exijam a análise crítica dos contextos dos problemas a serem resolvidos. A resolução de problemas poderá ser muito mais significativa se o estudante desde cedo for orientado a resolver problemas por mais de uma estratégia até chegar ao uso de fórmulas e, principalmente, se for orientado a de fato entender o problema antes de simplesmente buscar a resposta em soluções, por vezes, não compreendidas. 
O conhecimento escolar e o conhecimento espontâneo não são independentes e a prática de ensino baseada na busca da intersubjetividade faz-se necessária não apenas porque a aprendizagem da Matemática quase sempre se apresenta cheia de dificuldades; mas, também, porque tal busca se constitui em uma prática libertadora do ponto de vista da produção do conhecimento. O conhecimento adquirido em situações do dia-a-dia auxilia a dar significado ao conhecimento escolar e, por sua vez, o conhecimento escolar pode e deve reorganizar este conhecimento alternativo. Este é um dos grandes desafios da resolução de problemas em Matemática, o desafio de explicar situações do dia-a-dia dando significado ao conhecimento escolar.

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