SIGNIFICAÇÃO DE CONCEITOS MATEMÁTICOS – UMA ABORDAGEM HISTÓRICO-CULTURAL –

Isabel Koltermann Battisti. Unijuí. isabelkbattisti@yahoo.com.br
Cátia Maria Nehring. Unijuí. catia@unijui.tche.br

A busca e a investigação de possibilidades para o processo de ensino e aprendizagem de matemática no contexto escolar, conduziram ao desenvolvimento de uma pesquisa cuja centralidade está relacionada à significação de conceitos matemáticos. Entre os objetivos desta pesquisa encontra-se a busca de um entendimento de como ocorre o processo de apropriação das significações dos conceitos matemáticos e a compreensão do papel da interação/relações neste processo. Os referidos entendimentos e compreensões constituiram-se, mediante a análise microgenética de aulas de matemática que foram por mim ministradas, em uma turma de 5ª série de uma escola pública estadual, com foco para o estudo de medida de superfície.
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998), um dos objetivos do componente curricular de matemática nas séries finais do Ensino Fundamental, é a compreensão da noção de medida de superfície e de equivalência de figuras planas por meio da composição e decomposição de figuras. Outro objetivo é o cálculo da área de figuras planas pela decomposição e/ou composição em figuras de áreas conhecidas, ou por meio de estimativas. 
Para haver possibilidades de atingir tais objetivos parte-se do pressuposto que para poder medir uma superfície, determinar unidades, é necessário primeiramente que o aluno se aproprie deste termo, internalizando-o, desencadeando um processo de elaboração conceitual. Para Fontana (1995), a elaboração conceitual é resultante de um processo de análise (abstração) e de síntese (generalização) dos dados sensoriais, o qual é mediado pela palavra e nela materializado. Desta forma considera-se essencial verificar os sentidos produzidos pelos alunos sobre a palavra superfície e conduzi-los, então, à significação científica de tal conceito.
Um conceito a ser significado: superfície 
Como esta(e) palavra/conceito superfície, assim como tantas(os) outras(os), já está significada(o) cientificamente por nós professores, supomos, por muitas vezes, que o mesmo aconteça com nossos alunos - este pode ser uma das grandes “ilusões” dos professores de matemática. Muitos conceitos matemáticos já estão tão naturalizados e os usamos tão tranqüilamente que não nos preocupamos ou damos a devida e necessária atenção às significações já apropriadas e aos sentidos produzidos por nossos alunos, o que pode, consideravelmente, influir ou contribuir nas deficiências do processo de ensinar e aprender matemática.
Com o intuito de desencadear discussões e reflexões acerca da apropriação de significação de conceitos matemáticos, apresento um episódio marcado pelo diálogo entre professora e alunos. Este diálogo se estabelece a partir de uma problematização sobre alterações ocorridas no espaço físico da escola. Entre as colocações feitas pelos alunos a professora evidencia a construção de uma quadra de esportes e no decorrer do diálogo, há a constatação pelos alunos de que esta quadra de esportes não está concluída, que ainda não está adequada para o uso. Entre outras exposições, foi apontado pelos alunos que a quadra deveria ser pintada.
Episódio 1
(1)Profª: Vocês acabaram de anotar uma constatação. Neste segundo semestre foi construída uma quadra, só que a gente viu que esta quadra não está concluída. (A professora anota no quadro.) Essa quadra não está pronta, não está concluída, está faltando...
Algumas falas...
(2)Profª: Estou esperando a atenção de todos. O que é que está faltando para termina a quadra?  Para a quadra ficar de uma forma adequada para o uso?
(3)M1: Tinta.
(4)S1: Linha.
(5)F1: Linha.
(6)Profª: Uma coisa de cada vez. Levantar a mão que daí eu consigo ir anotando. Vou esperar... Alexandre.
(7)A1: As linhas.
(Vários alunos com a mão levantada.)
(8)A2: Linhas.
(9)Profª: Antes das linhas serem pintadas... Pensem junto comigo.
(10)M1: Eu sei. Falta tinta.
(11)F2: Pintar.
(12)E1: Um fundo.
(13)Profª: Ah? Eu acho que vocês estão dizendo a mesma coisa. O Mateus falou tinta, a colega ali falou que falta um fundo, esse fundo que você ta dizendo é uma pintura Elisa? 
(14)E1: É.
(15)Profª: Pintar. Pintar o quê? 
(16)M1: A quadra.
(17)F1: A quadra, o fundo da quadra.
(18)Profª: Agora quero atenção de todos. O Felipe falou que falta uma pintura. ... É levantar a mão e aguardar a sua vez pra gente poder se organizar. Nós já estudamos a medida do contorno, a gente já viu a largura, alturas, comprimentos... Mas agora é passar a tinta, é pintar onde? O contorno da quadra?
(19)M1: O fundo da quadra.
(20)S1: As linhas.
(21)Profª: As linhas já foi falado, a gente já comentou.
(22)F2: Completa.
(23)A1: As laterais.
(24)A2: A linha de fundo.
(25)Profª:Sobre as linhas que vocês estão repetindo foi comentado a dois minutinho atrás quando a gente perguntou assim: Se antes de colocar as linhas, a pintura dessas linhas teria mais alguma coisa a ser feita? Aí os colegas disseram que teria que passar uma tinta. Aí a gente viu onde, um colega falou um fundo. Então fiquem atentos para poder continuar nosso assunto. Tá ok? Então vamos escutar. Gustavo repete.
(26)G1: Completa.
(27)Profª: O Gustavo disse uma coisa que quero atenção de todos. Gustavo, o que você quer dizer com quadra completa.
(28)G1: Toda ela.
(29)Profª:É isso que você disse Luis? O que você falou antes?
(30)L1:Pinta toda ela.
(31)Profª: Quando a gente fala ... Quando a gente fala pintar toda ela, está falando o quê?
Professora espera um pouco. E continua...
(32)Profª: A última fala dos colegas foi relacionada a pintar a quadra toda, será que tem uma palavra, uma forma de dizer a quadra toda. Não é o contorno, não é um lado, é a quadra toda. Certo? Fala Elisa.
(33)E1: É pintar a quadra total.
(34)Profª:  Pintar a quadra total... Então tenta explicar.
(35)E1: Primeiro tu pinta o fundo de qualquer cor e depois passa só as linhas por cima, daí como vai ver assim, como são as linhas...
(36)Profª: Desenhar a quadra?
(37)E1: As cores das linhas são diferentes, só o fundo é da mesma cor.
(38)A1: A de vôlei é diferente da de futsal.
(39)Profª: O fundo que quero conversar um pouquinho melhor. O que você quer dizer Gustavo?
(40)G1: Nada não.
(41)V1: (Dirige-se à frente da sala) Profe eles estão falando dessa parte aqui (Passa as mãos sobre o tampo de uma classe). Se essa mesa fosse a quadra deve pintar essa parte aqui, toda a quadra. (Mostra novamente com as mãos.)
(42)Profª: É esse fundo que vocês estão dizendo. Olhem pra cá. Aqui nessa mesa que o Vinícius nos mostrou. (Uma classe) Digamos que aqui é a quadra. Ta Mateus? Até agora a gente trabalhou com medidas de comprimentos, medimos larguras, aprendemos a medir contornos, espessuras, etc. (A professora mostra com gestos a indicação destas medidas na classe). Agora a gente está falando de uma coisa diferente que o Vinícius veio aqui e nos mostrou. Hoje, olhem aqui pra mim, a gente está falando desse espaço aqui. (A professora passa as mãos na superfície da mesa.)... Oh Gustavo. Vocês acabaram de dizer que tem que pintar a quadra toda. Então é todo o espaço que forma a quadra. Esse espaço aqui, isto Vinícius? Tá Rosiele. É esse espaço aqui (mostra novamente com as mãos). Esta quadra representa um plano. Tem um limite. (Mostra com as mãos) E tem duas dimensões. É diferente do que já estudamos até então quando a gente considerava apenas uma dimensão. Tem uma dimensão para cá e outra pra lá (mostrando com as mãos) é assim bi-dimensional, tem duas dimensões. Cuidem bem estas características deste espaço que estamos vendo. 
(43)L1: É plano.
(44)V1: É limitado porque ele termina? 
(45)Profª:  É Vinícius, é limitado, porque tem um limite, termina.
(46)R1: Como é isto de duas dimensões? 
(47)E1: Não vê que tem comprimento e também largura.
(48)M1: Quando a gente media o comprimento era só comprimento, não interessava a largura.
(49)Profª:Um espaço assim, plano, limitado e bi-dimensional podemos chamar de superfície.
(50)A1: Superfície?
(51)Profª: Superfície. Estamos vendo então isso aqui  óó (Mostrando com as mãos), a superfície da quadra. Ok? 
(52)Vários alunos: Ok.
(53)Profª: Isso é uma das coisas que está faltando pintar, é uma das coisas que está faltando nessa quadra. (Um menino faz sinal que quer falar.) Luis o que você quer dizer?
(54)L1: Bota uma camada fina de cimento na... superfície da quadra.
(55)Profª: Luis acho que não vamos mais botar uma camada fina de cimento pelo que conversei com o diretor, agora seria somente colocada a tinta.
(56)Profª:  Agora vamos anotar essas coisas. O que é que está faltando? Pintar...
(57)F2: A superfície.
Este episódio se estabelece marcado pelo diálogo. Mas não é um diálogo que transcorre naturalmente, que simplesmente flui, é marcado especialmente pela intencionalidade (da professora) o qual envolve professora, alunos e um objeto de saber. Das 57 locuções transcritas neste episódio 34 são da professora, intervenções estas marcadas por questionamentos e instigações às quais orientaram os alunos a pensar sobre um espaço que delimita a quadra. Nesta orientação a professora vai “inibindo” algumas falas e salientando outras nas quais alguns elementos são considerados essenciais na significação de superfície. Percebe-se também que em vários momentos a professora faz solicitações, chama os alunos à participação, ao envolvimento com o assunto que naquele momento estava sendo tratado, à uma efetiva interação. Nessa perspectiva, o trabalho educativo supõe um processo de interação profunda o que acarreta uma mudança de postura tanto do professor como dos alunos. Os eternos monólogos são suprimidos e os diálogos instaurados nas salas de aula, o que evidencia uma relação pedagógica dialógica.
Entendimentos produzidos a partir da vivência pedagógica 
Como a superfície é o foco central desta aula, a professora conduz esse diálogo para a “parte” da quadra que necessita de pintura. Os alunos citam as linhas que definem as quadras de futsal, vôlei, basquete, handebol, mas a professora insiste... Questionando se antes de definir e pintar estas linhas outra pintura se faz necessária. Diante da insistência, os alunos comentam que na quadra deveria ser passada uma tinta, que deveria ser dado um fundo na quadra, outros dizem que toda a quadra deveria ser pintada; a professora continua instigando, perguntando onde deve ser passada esta tinta, o que significa toda a quadra, se é do contorno que estão falando.
Neste contexto um aluno usa como exemplo o tampo de uma classe onde mostra com as mãos o espaço que deveria ser pintado. O professor usa o exemplo considerado pelo aluno e complementa solicitando que observem as dimensões deste tampo/plano, levando-os a perceber que este espaço, o qual neste momento estava representando a quadra de esportes, é plano, limitado e bi-dimensional. Um espaço plano com estas características foi definido então, de acordo com as transcrições, como sendo uma superfície. 
A apresentação da palavra superfície desencadeou, no decorrer da aula apresentada no episódio, outra série de colocações pelos alunos, pois estes relacionaram seus entendimentos a sentidos já produzidos sobre a palavra superfície. Os sentidos expostos sobre a palavra superfície relacionando-a à outras palavras, assim como as demais colocações dos alunos podem estar vinculadas por associações diferentes daquelas que Vigotski (2001) coloca como constitutivas dos verdadeiros conceitos. 
Duas raízes diferentes na formação do conceito são apontadas por este autor. Uma delas é o desenvolvimento da generalização, o qual, de acordo com o pensamento Vigotskiano, desde muito cedo faz com que o indivíduo selecione e agrupe objetos de acordo com suas características concretamente presentes. No processo de generalização Vigotski indica dois grandes estágios na formação dos conceitos, o sincrético e o estágio de formação de complexos. 
No primeiro estágio, o sincrético, o indivíduo agrupa objetos formando amontoados sincréticos, os objetos são colocados juntos ao acaso e de modo assistemático. A criança escolhe os objetos que deverão ficar juntos baseando-se em várias impressões subjetivas. Geralmente, este estágio se faz presente no pensamento de crianças de pouca idade. Já o segundo estágio do desenvolvimento dos conceitos denominado como pensamento por complexos, corresponde, segundo Vigotski (2001, p. 371) a fase pré-escolar. Este estágio se caracteriza por um tipo de pensamento coerente e objetivo. Porém, os objetos são agrupados embasados em relações que se estabelecem a partir de fatos. A diversidade destes vínculos os quais servem de base ao complexo constitui o aspecto mais importante em sua diferenciação com os conceitos, esse estágio abrange uma variedade do mesmo modo do pensamento em termos funcionais, estruturais e genéticos. No conceito todos os elementos estão vinculados a uma totalidade expressa, os quais estão ligados entre si; esses vínculos são basicamente uma relação do geral para o particular e do particular para o geral. No complexo cada elemento pode estar vinculado ao todo expresso no complexo, a elementos particulares integrantes da sua composição, às relações mais diversas; no pensamento por complexo esses vínculos são tão diversificados quanto às relações factuais estabelecidas. 
Vigotski (2001) observa cinco fases básicas as quais fundamentam as generalizações que surgem no pensamento por complexo e destaca que não há uma hierarquia entre elas, nem uma determinada faixa etária para esse tipo de pensamento, pois mesmo pessoas adultas, que já têm um desenvolvimento mental que possibilita a formação de conceitos, recorrem ao pensamento por complexos. Dentre estas fases destaco aquela que predomina no pensamento por complexos nas crianças, o pseudoconceito. 
O pseudoconceito é uma fase do pensamento por complexos a qual, de acordo com Vigotski (2001),  pode ser considerada como a ponte entre a formação de complexos e o estágio final e mais elevado do desenvolvimento da formação de conceitos. A generalização que se forma neste estágio é fenotipicamente igual à de um conceito, a diferença consiste na essência e na natureza psicológica. Assim, encontrar o limite que separa o pseudoconceito do verdadeiro conceito não é uma tarefa fácil. Pensar por complexos, mais especificamente, por pseudoconceitos, é uma prática que abrange o mesmo círculo de objetos concretos que abrange o conceito, está no seu entorno, é uma sombra do conceito, a qual se configura como pressuposto para a subseqüente conceituação, porém, como nos mostra Vigotski (2001), os processos de obtenção são diferentes. Enquanto que no pensamento por complexos excedem vínculos ou a reprodução destes e há uma fraca abstração, na construção de um verdadeiro conceito a decomposição e a vinculação são momentos igualmente necessários.
A outra raiz na formação do pensamento conceitual na criança é apontada por Vigotski (2001) como sendo o terceiro estágio da evolução do pensamento, sendo considerado por este autor como os conceitos propriamente ditos, os verdadeiros conceitos. Este estágio atua na mente do indivíduo fazendo com que ele distinga, nos objetos, características e relações cada vez mais abstratas. Assim, sua função genética na formação dos conceitos é desenvolver a decomposição, a análise e a abstração. Enquanto a formação de complexos tem a função de unificar as impressões do indivíduo em generalizações, a abstração tem a função de isolar os elementos para examiná-los separadamente. Este estágio da evolução do pensamento vem complementar o que faltava aos complexos para formação dos verdadeiros conceitos.
Sob estas argumentações volto ao episódio e agora com possibilidades de vê-lo em mais aspectos. Do turno 32 ao 37 do episódio se faz um diálogo entre professora e uma aluna (E1). Neste diálogo a aluna nos deixa entender que em suas explanações os vínculos estabelecidos no seu pensamento não são simples associações entre fatos ou associações sonoras entre palavras. A aluna E1 se referiu à superfície da quadra como a quadra total e em sua explicação falou em pintar o fundo da quadra. A expressão fundo já tinha sido usada por esta mesma aluna no turno 12 no qual foi questionada (turno 13) pela professora se este fundo seria uma pintura na quadra e ela afirmou (turno 14) que sim. Podemos afirmar que, o questionamento e a resposta, não fornecem dados suficientes para poder acontecer uma inferência, qualquer análise ficaria no nível de suposições. No decorrer do episódio, fundo da quadra também foi falado no turno 17 pelo aluno F1 e no turno 19 por M1, porém foram falas soltas sem maiores ou melhores explicações e/ou justificativas, o que impede qualquer conclusão. Novamente faltam dados para que se possa perceber se estas colocações foram meras reproduções, se estão embasadas em um raciocínio entre fatos ou se são raciocínios mais elaborados que envolvem um grau maior de abstração. Já, com relação à aluna E1, esta foi instigada (turno 34) pela professora e, no diálogo estabelecido entre o turno 32 e 37, ela relaciona o fundo à quadra total e afirma, em suas palavras, que este fundo é uma pintura na superfície da quadra. Nas colocações de E1 percebe-se que seu pensamento se estabeleceu para além dos fatos, ela elaborou um pensamento que nos leva, a entender como sendo um pensamento conceitual. 
Outro momento deste episódio que se fez sobressair sobre os demais está no turno 41. Neste, o aluno V1 mostra, utilizando uma classe, o espaço que deveria ser pintado. Os vínculos aí existentes vão para além de um pensamento por complexos, pois se estabelece certo nível de abstração. O aluno abstraiu a quadra de esportes, representando-a na classe,  nesta representação especificou o que pretendia tratar, houve no pensamento desenvolvido por este aluno, um processo de decomposição, análise e abstração. 
Considerações Finais 
Estas considerações, estabelecidas a partir de pressupostos Vigotskianos, possibilitam o entendimento da importância da atuação do professor no propósito de perceber os vínculos estabelecidos nos sentidos produzidos pelos alunos. Estes sentidos podem se estabelecer a partir de amontoados sincréticos ou mesmo de reproduções, que se não percebidos pelo professor podem se manter nesse nível e não evoluir para e no processo de elaboração conceitual. 
Estas questões conduzem a uma série de outras considerações e questionamentos, reportando à diversas situações de aulas de matemática. Explicito algumas. Quando os alunos, considerando um determinado exemplo, desenvolvem exercícios sem ter idéia do processo que ali se estabelece ou mesmo quando, ao fazerem uso de um algoritmo, de um determinado procedimento ou fórmula matemática, o/a desenvolvem ou aplicam sem ter compreensão do processo de desenvolvimento que ali se estabelece, poderão estar trabalhando com pensamento por complexos e não com uma elaboração conceitual. Nestas situações, muitas vezes instituídas nas aulas de matemática, no entendimento do professor pode haver um pensamento com uma elaboração conceitual, mas isso não garante que este mesmo processo esteja acontecendo na mente do aluno. Assim, é extremamente importante que as ações docentes estejam também voltadas, sistematicamente, à percepção da natureza dos vínculos presentes nos sentidos produzidos pelos alunos, para a partir de então proporcionar uma evolução no pensamento conceitual dos alunos.
Na intersubjetividade, nas múltiplas vozes, através de inúmeras colocações e questionamentos, instigados pelo professor, foram abordadas no episódio apresentado noções essenciais para a significação conceitual de superfície, a bidimensionalidade e a limitação de um espaço planificado. Conceitos estes, cujas significações estão relacionadas à significação de superfície. Neste episódio percebe-se também que crianças e adultos utilizam as palavras com graus de generalidade diferentes, o que, de acordo com Fontana (1996), é essa diferença de elaboração mental que possibilita o desenvolvimento das significações conceituais na criança. 
Para tanto, se faz necessário que o professor perceba estes diferentes níveis e atue no sentido de elevar os níveis de generalização/sistematização dos conceitos em seus alunos. Porém, chamo atenção, que a elaboração conceitual não se desenvolve naturalmente, conforme Fontana (1995), ela é objetivada nas condições reais de interação nas diferentes instituições humanas, tendo nas interações do contexto escolar uma orientação deliberada e explícita no sentido da aquisição, pela criança, de saberes sistematizados. Esse processo deliberado está explícito neste episódio na medida em que a professora instiga seus alunos à percepção das características que podem levar a uma definição de superfície, buscando subsídios para que alcancem assim um maior nível de generalização conceitual.
No episódio apresentado os alunos entraram em contato com uma palavra a qual é fundamental no decorrer do trabalho a ser desenvolvido, superfície. Porém, a professora não iniciou a aula com uma definição deste conceito, propôs aos alunos uma dinâmica a qual, possibilitou aos alunos um pensar e um caminhar na busca de significações com um maior nível de generalização. De acordo com o referencial vigotskiano, no processo de elaboração conceitual a significação não acontece de imediato, numa forma pronta e acabada, há, neste processo, sempre um devir. 
Para Vigotski (2001, p. 394), um conceito expresso por uma palavra representa uma generalização, mas como evidencia em seus trabalhos, os significados das palavras evoluem. Assim, quando uma palavra nova, ligada a um determinado significado é aprendida pela criança, seu desenvolvimento está apenas começando. No início é uma generalização do tipo mais elementar, a qual, na medida em que a criança se desenvolve é substituída por generalizações de um tipo cada vez mais elevado, culminando o processo de formação dos verdadeiros conceitos. Desta forma, não é na aula, parcialmente apresentada neste episódio, que os alunos alcançaram/alcançam a significação final/formal deste conceito, este foi apenas o início do processo de sua significação. 
Estes aspectos da abordagem histórico-cultural apontam para uma importante questão no processo de aprendizagem: o tempo. É necessário um tempo para que a aprendizagem se efetive, caso o aluno não encontrar oportunidades ou tempo para o seu desenvolvimento, a simples memorização pode aparecer como uma saída rápida e porque não dizer, a mais fácil. E com relação ao professor, ao dar voz ao seu aluno, precisa aceitar um outro ritmo para suas aulas, muito diferente daquele no qual são apresentadas definições, alguns modelos de desenvolvimento e uma série de exercícios. 
A partir de uma problematização, aparentemente simples relacionada a um dos espaços (quadra de esportes) que supostamente vem ao encontro do interesse dos alunos, a professora os envolveu numa discussão, instigando-os a expor percepções e sentidos no plano da subjetividade para então conduzi-los ao plano da objetividade do saber científico. Houve, no contexto apresentado, na intersubjetividade dos atores envolvidos, um caminhar em busca da significação conceitual de superfície, caminho este marcado pela produção de sentidos através do pensamento por complexos e pelo pensamento dos conceitos propriamente ditos, e neste o embate entre duas categorias de conceitos, os conceitos espontâneos (cotidianos) e os conceitos científicos. 
No entendimento apresentado por Vigotski (2001), os conceitos cotidianos estão relacionados à categorias ontológicas, intuitivas, próprias de cada indivíduo. Focalizam a atenção no objeto, dizem respeito às relações das palavras com os objetos a que se referem. Os conceitos cotidianos surgem nas reflexões sobre experiências imediatas e comuns da vida diária, são impregnados do concreto. Este tipo de conceito se materializa nas diferentes relações e interações sócio-culturais, sem necessidade da escolarização formal, e permite o desenvolvimento de estruturas importantes de generalização, porém, falta-lhe a abstração necessária para o desenvolvimento do discernimento e controle voluntário do ato de pensar. São, de acordo com Damázio (2000, p. 54), conceitos assistemáticos, envoltos de situações contextualizadas, cujas relações são orientadas pela semelhança concreta e por generalizações isoladas, refletindo numa sistematização simples daquilo que é perceptível, o que não implica em maiores definições verbais e generalizações abstratas.
Já os conceitos científicos são formulações históricas produzidas pela cultura e não pelo indivíduo em si. De acordo com Damázio (2000, p. 54), estes conceitos criam condições para que se realizem atividades mentais independentes do contexto concreto, derivam de relações já deslocadas da realidade para o plano mental. Os conceitos científicos dizem respeito às relações das palavras com outras palavras e focalizam a atenção no próprio ato de pensar, na medida em que as conexões entre conceitos são relações de generalidade, caracterizando-se pelo alto nível de sistematização, hierarquização e logicidade. Sua estrutura e sua natureza semiótica permitem atingir níveis superiores de organização de consciência: o discernimento e o controle consciente do ato de pensar. São apropriações que acontecem intencionalmente.
O desenvolvimento dos conceitos científicos segue, conforme afirma Vigotski (2001, p. 344-346), por uma via oposta àquela pela qual transcorre o desenvolvimento dos conceitos espontâneos. Nos conceitos espontâneos tem-se um conceito do objeto e a consciência do próprio objeto representado neste conceito, mas não se tem consciência do próprio conceito, do ato propriamente dito de pensamento através do qual se concebe esse objeto. Já, os conceitos científicos começam pelo nível que o conceito espontâneo não atingiu em seu desenvolvimento. Em função desta diferença de nível entre os conceitos científicos e espontâneos, Vigotski mostra que o que é forte nos conceitos espontâneos é o ponto fraco dos conceitos científicos e vice-versa. A debilidade dos conceitos espontâneos apresenta-se na incapacidade para abstração e no modo arbitrário de operar com eles. Já os conceitos científicos revelam sua fraqueza no campo do emprego espontâneo do conceito, da sua aplicação a uma infinidade de operações concretas, da riqueza do seu conteúdo empírico e da sua vinculação com a experiência pessoal. 
Para Vigotski (2001), os conceitos cotidianos e os conceitos científicos diferem entre si, no processo de desenvolvimento seguem caminhos dirigidos em sentido contrário, porém estão internamente e da maneira mais profunda inter-relacionados. Não existe, entre ambos, uma relação direta de dependência, mas uma relação de movimento. Movem-se, não no paralelo, mas na relação, os dois processos influem-se mutuamente de tal forma que os conceitos científicos descem em direção às propriedades mais elementares, ao concreto que representam e os cotidianos movem-se para cima, em direção às propriedades mais complexas, à abstração. 
Os conceitos espontâneos, os quais ascendem, criam uma série de estruturas indispensáveis ao surgimento de propriedades inferiores e elementares do conceito, abrindo caminhos para que os conceitos científicos desenvolvam-se de cima para baixo. Da mesma forma, os conceitos científicos, os quais descendem, criam uma série de formações estruturais indispensáveis à apreensão das propriedades superiores do conceito, abrindo caminhos para o desenvolvimento dos conceitos espontâneos. 
Estes pressupostos vigotskianos têm importantes implicações no processo de ensino-aprendizagem do contexto escolar. Nas estratégias de ensino, de acordo com Damázio (2000, p. 56), o professor deve propor atividades capazes de proporcionar aos alunos a percepção das significações já apropriadas dos conceitos cotidianos correlatos aos conceitos científicos em processo de significação. Pois, o desenvolvimento de processos de significação dos conceitos científicos deve iniciar por procedimentos analíticos, pela sua definição verbal, por evidências de tributos e idéias essenciais subjacentes a eles e pelas suas aplicações à diversidade de objetos e situações da realidade. 
No episódio apresentado percebe-se que o professor iniciou sua aula com a problematização de uma situação concreta da vivência dos alunos, levando-os, através de inúmeros questionamentos, a detectar, a perceber significações já apropriadas de complexos e/ou de conceitos cotidianos relacionados aos conceitos científicos que estavam em processo de significação, possibilitando, assim, a tomada de consciência deste. No seu decorrer inúmeras falas dos alunos, algumas obtidas a partir da insistência do professor,  referiam-se à superfície da quadra, porém embasados em entendimentos oriundos de significações de pensamento por complexos ou por conceitos espontâneos, cujo processo de desenvolvimento começou no campo do empirismo e da “concretude”. Estas significações, apropriadas em interações sócio-culturais, sem a necessidade do contexto escolar, na medida em que são detectadas, criam estruturas capazes de abrir caminhos para o desenvolvimento do processo de significação de um conceito científico, neste caso, de superfície. Já, na falas da professora (42 e 49), percebe-se que esta expõe palavras (plano, limite, plano limitado, dimensão, bi-dimensional, superfície) cujas significações exigem um grau mais elevado de generalização e abstração e evidencia características peculiares dos conceitos científicos. 
Neste sentido, as estratégias do processo de ensino-aprendizagem apresentadas neste episódio, relacionados à quadra de esportes, mais especificamente à sua superfície, possibilitaram a ascendência dos conceitos cotidianos em direção às propriedades mais complexas como a abstração e a arbitrariedade; como também, o estabelecimento de outro processo de desenvolvimento no qual conceitos científicos descendem em direção às propriedades mais elementares. Assim, no movimento de inter-relações, no embate entre o desenvolvimento do processo de conceitos cotidianos e conceitos científicos acontece o início do processo de significação de superfície.
Percebe-se, no episódio apresentado, que dois alunos (L1 e F2) usaram a palavra superfície em suas falas, porém cabe ressaltar que o aluno terá alcançado níveis superiores do pensamento conceitual na medida em que conseguir operar com ele, quando for capaz de generalizá-lo para situações as quais não se limitam ao emprego supostamente correto das palavras ou definições. De acordo com os pressupostos vigotskianos, pressupõe-se que, no decorrer do processo de ensino-aprendizagem, a significação deste conceito possa subsidiar o desenvolvimento do processo de outros conceitos, além do que à este processo de generalização, de apropriação de significação, outras significações estão atreladas. Pois, de acordo com Vigotski (2001, p. 292-293), a generalidade de um conceito leva à localização de dado conceito em um determinado sistema de relações de generalidade, o conceito científico pressupõe seu lugar definido no sistema de conceitos, lugar este que determina a sua relação com outros conceitos. Os conceitos científicos organizam-se em um sistema hierárquico de inter-relações conceitual, cujas generalizações implicam em uma estrutura mental superior do indivíduo. Sem nenhuma relação estabelecida com outros conceitos, seria impossível significar cientificamente superfície. Este conceito está inserido em uma rede de significações, nas palavras de Vigotski, num sistema conceitual.
A partir desta abordagem o saber matemático, para os educandos, deixa de ser estático, auto-suficiente, fechado em si mesmo, passando a ter, efetivamente, um novo enfoque e uma nova dimensão. Esta nova dimensão oportuniza a adoção de métodos de aprendizado interativos que poderão possibilitar que a matemática trabalhada na sala de aula saia do enclausuramento que se encontra e, acerque-se do raciocínio que descobre, que reúne, que relaciona, que faz articulações e que assim, oportuniza aos alunos a evolução dos níveis de significação dos conceitos matemáticos.
	A pesquisa se põe, no contexto apresentado, como uma possibilidade para a professora/pesquisadora pensar desafios que passam pela escola, pela sala de aula, especialmente aos relacionados ao ato de ensinar e aprender matemática. Ato este entendido como um complexo processo, o qual, na medida em que se faz atento à evolução das significações conceituais, que se estabelece através da interação mediada pela ação do professor, oportuniza ao educando a atribuição consciente e responsável de significados aos saberes matemáticos. Possibilita a compreensão da razão de ser do “conteúdo”, a fundamentação de sua abstração, como também, oportuniza ao educando a percepção como integrante e responsável pela apropriação do saber, co-autor do seu conhecimento. 
Essa postura requer, por parte do professor, um atento olhar sobre a significação dos conceitos matemáticos na sala de aula, no acontecer das aulas, pois é necessário que o professor compreenda como o aluno adquire e se apropria das significações dos conceitos matemáticos, como ele estrutura seu conhecimento e como interage com estas significações. E, a partir e com estas reflexões, acredito que possa haver possibilidades de ações que sejam mais significativas na sala de aula e que efetivamente oportunizem a apropriação de saberes matemáticos.
Olhar os dados empíricos da pesquisa, fundamentando-os em princípios da abordagem histórico-cultural desenvolvido por Vigotski e seus seguidores, é estar imerso em inúmeras possibilidades de (re)significação de experiências, como também, dos sentidos construídos sobre a escola, a sala de aula, a docência e do próprio processo de ensinar e aprender matemática.
Referências bibliográficas

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FONTANA, Roseli Ap. Cação. A elaboração conceitual: a dinâmica das interlocuções na sala de aula. In GÓES, Maria Cecília R. de (Org.). A linguagem e o outro no espaço escolar: Vygotsky e a construção do conhecimento. 4. Campinas, SP: Papirus. 1995 (Coleção Magistério: Formação e trabalho pedagógico).
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