CONHECIMENTO ECLLARATIVO E CONHECIMENTO DE PROCEDIMENTO COMO COMPONENTES FUNDAMENTAIS PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS ALGÉBRICOS

Luciane de Castro Quintiliano (Unesp/Bauru) – lucianecq@ig.com.br.
Márcia Regina Ferreira de Brito (Unicamp/Campinas) – mbrito@unicamp.br

Introdução

As diversas dificuldades que permeiam o ensino da álgebra atualmente têm sua origem possivelmente na tendência em enfatizar-se somente as manipulações de diversas técnicas algébricas, o que acontece principalmente no ensino médio. Tal inclinação pode tornar-se muitas vezes sem sentido, visto que futuramente, de acordo com Usiskin (1995), os estudantes não precisarão realizar tantas manipulações algébricas, já que existem programas computacionais para desempenharem tais manipulações. Não que devamos excluir a realização das manipulações, mas o que de fato torna-se mais importante valorizar é o conhecimento declarativo relacionado a este conceito para tornar possível a utilização correta do conhecimento de procedimentos.
Para o desenvolvimento do conhecimento sobre os conceitos e procedimentos matemáticos, não só em relação aos problemas que os estudantes se deparam na Matemática, mas ainda no mundo em geral, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais da Matemática (1998), a solução de problemas é uma importante ferramenta, pois possibilita ao estudante mobilizar conhecimentos e desenvolver a capacidade para gerenciar informações que estão ao seu alcance( PCN,  1998, p. 40).
 Todavia, ainda segundo esse documento, a abordagem de conceitos sob tal perspectiva não deve ser realizada apenas através de seqüências de problemas cuja solução requer dos alunos somente escolhas de técnicas ou fórmulas de solução memorizadas, restringindo-se em mera atividade de aplicação ao final do estudo de um conteúdo matemático, não contribuindo, por conseguinte para uma aprendizagem significativa dos conceitos. 
A solução de problemas é ainda abordada por vários pesquisadores como uma atividade cognitiva, dentre eles Chi e Glaser (1992), que consideraram a solução de problemas uma habilidade cognitiva complexa que caracteriza uma das atividades humanas mais inteligentes,

... desde a infância somos chamados a solucionarmos problemas que o mundo nos apresenta. Adquirimos informações sobre o mundo e as organizamos em estruturas de conhecimento sobre objetos, eventos, pessoas e nós mesmos, que são armazenadas em nossas memórias. Essas estruturas de conhecimento compreendem corpos de entendimento, modelos mentais, convicções e crenças que influenciam o modo como conectamos nossas experiências e o modo como solucionamos os problemas com os quais nos confrontamos na vida cotidiana, na escola, em nosso emprego e nos momentos de lazer (CHI E GLASER, 1992, p.250).

A natureza da tarefa e o tipo de conhecimento trazido para o problema, pelo solucionador são dois fatores que influenciam a solução de problemas, pois tal conhecimento determina a representação e conduz a recordação dos procedimentos adequados para a solução do problema.
	Considerando a importância dos conceitos acima expostos, um dos objetivos deste estudo foi investigar a influência do conhecimento declarativo e do conhecimento de procedimento na solução de problemas algébricos, visando contribuir para a identificação de possíveis fatores que influenciam o desempenho dos estudantes nas atividades algébricas, particularmente, nas equações do 1º grau, nas expressões algébricas e nos problemas que permitam a solução através de procedimentos algébricos.

Conhecimento Declarativo e Conhecimento de Procedimento

As pessoas, de acordo com Sternberg (2000), possuem na mente algum modo de representação mental sobre objetos, pessoas, idéias, etc., ou seja, alguma forma de explicitar algo mais do que conhecem sobre tais aspectos, mas comumente utilizam a representação do conhecimento, isto é, a forma através da qual conhecem em sua própria mente os objetos, idéias, eventos, etc. que se encontram no seu exterior. 
O autor salientou ainda que o conhecimento pode ser representado tanto na forma de proposições quanto através de imagens, enfatizando, além disso, que os métodos empíricos, os quais têm intuito de observar como as pessoas representam o conhecimento, não estão ainda disponíveis e, ainda, é pouco provável que isto aconteça futuramente. Contudo, segundo ele, podemos recorrer a outros métodos alternativos, sendo um deles baseado na metodologia racionalista no qual tenta-se deduzir logicamente através de explicações, que são consideradas mais plausíveis na observação de como os indivíduos representam o conhecimento. 
Os filósofos, na epistemologia clássica, utilizaram este método e distinguiram duas classes de estruturas do conhecimento, da seguinte forma: o conhecimento declarativo, que são fatos que podem ser declarados, como por exemplo, data de nascimento, nome de algum amigo, e outros; e o conhecimento de procedimento, que são fatos que podem ser executados, como por exemplo, somar coluna de números, dirigir um carro, etc. Entretanto, a distinção entre estes conhecimentos está respectivamente entre “saber o quê” e “saber como” os indivíduos representam o conhecimento na mente. Assim, os psicólogos cognitivos, além de buscarem entender o “quê” (a forma ou a estrutura) do conhecimento, buscam entender o “como” ocorrem os processos da representação, bem como da manipulação do conhecimento na mente humana (STERNBERG, 2000, p. 151).
Segundo o autor acima, a necessidade de saber sobre a forma de como o conhecimento é representado na mente influencia amplamente no modo de como o conhecimento pode ser manipulado com facilidade, precisão e eficiência, para desempenharmos qualquer quantidade de tarefas cognitivas (STERNBERG, 2000, p. 185-189). E definiu o conhecimento declarativo como um corpo organizado de informações factuais, ou seja, a informação real que os sujeitos conhecem sobre objetos, idéias e eventos, no ambiente, pois todos contam com a representação mental do conhecimento declarativo. De acordo com Anderson (1983), esse conhecimento é facilmente verbalizável, podendo ser adquirido por exposição verbal e costuma ser consciente.
Os autores Jong e Ferguson-Hessler (1996), ressaltaram, no processo de ensino e aprendizagem, que o conhecimento representa o papel de eixo, e a ele está atribuída uma extensa variedade de propriedades e qualidades que podem ser encontradas entre exemplos com os quais podemos nos deparar, tais como conhecimento concreto e abstrato, formal e informal, declarativo e proceduralizado, conceitual e de procedimento, elaborado e compilado, estruturado e não estruturado, implícito e inativo, estratégico, aquisição de conhecimento, situado, e metaconhecimento. E segundo esses autores, há vários estudos que se destacam nesta explosão de constructos e termos e que têm tentado estruturar o campo, abordando os vários aspectos do conhecimento de uma perspectiva cognitiva geral, mas os exemplos mais conhecidos são os de conhecimento declarativo e de procedimento. 
O conceito, segundo Sternberg (2000), é a unidade fundamental do conhecimento simbólico, ou seja, a idéia sobre algo, sendo que um único conceito pode ser captado por uma única palavra, estando conseqüentemente relacionado com outros conceitos, e por conseguinte, podem ser organizados na forma de esquemas que são estruturas mentais para representar o conhecimento, e que podem ocorrer em redes semânticas e são inter-relacionados em uma estrutura organizada significativamente, abrangendo uma série de conceitos (STERNBERG, 2000, p. 185).
As redes semânticas, como um modelo alternativo para representar o conhecimento declarativo, são um conjunto de elementos interconectados, sendo que tais elementos são denominados de nós. As conexões entre os nós são relações classificadas, que podem envolver a qualidade de membro de uma categoria, os atributos ou alguma outra relação semântica. As relações classificadas formam vínculos na memória, possibilitando ao indivíduo conectar os vários nós de uma forma significativa, como demonstra a figura abaixo (STERNBERG, 2000, p. 187):
O conhecimento de procedimento é o conhecimento sobre como seguir vários passos de procedimento para desempenhar as ações, ou seja, “saber como”, tal como nosso conhecimento de como andar de bicicleta, como assinar o nome, como dirigir o carro, etc. Tudo isso depende da representação mental que temos do conhecimento de procedimento, e que interage com o conhecimento declarativo (STERNBERG 2000, p.184). 
Entretanto, de acordo com Anderson (1983), o conhecimento de procedimento nem sempre é possível ser verbalizado, pois ele é adquirido com mais eficácia através da ação e executa-se, com freqüência, de forma automática sem que tenhamos consciência disso, e de acordo com esse autor, a função dos procedimentos é justamente automatizar conhecimentos, convertendo o conhecimento declarativo em procedimentos automatizados que, de outra forma, seriam difíceis e complexos de colocar em ação (ANGÓN e POZO, 1998, p. 142).
Em investigações desenvolvidas por Rittle-Johnson, Siegler e Alibali (2001), através de um modelo interativo para o desenvolvimento do conhecimento de procedimentos e conceitual, avaliaram as sólidas ligações entre esses dois conhecimentos. E destacaram que há discussões em torno da precedência do desenvolvimento desses dois tipos de conhecimento, e em contraste com as pesquisas do passado propõem que tanto do conhecimento de procedimento como o conhecimento conceitual são influenciados mutuamente e desenvolvem-se interativamente.
Além disso, enfatizaram que o entendimento conceitual e a destreza de procedimentos são dois tipos de conhecimento considerados essenciais aos estudantes, e que a capacidade no campo da matemática se apóia sobre o desenvolvimento dos estudantes e a ligação de seu conhecimento a respeito dos conceitos e dos procedimentos.
Dessa forma, com relação à solução de problemas, fica claro que os alunos às vezes possuem conhecimentos conceituais e verbais, mas não são hábeis para empregá-los em uma atividade concreta. No decorrer da vida acadêmica os estudantes se deparam com diferentes problemas os quais requerem deles o domínio e a ativação de conhecimentos fatuais e conceituais específicos (conhecimento declarativo), bem como técnicas e estratégias (conhecimento de procedimento) que em diversas situações podem distinguir-se (ANGÓN e POZO, 1998). 
 Para solucionar-se um problema corretamente é necessário que os estudantes utilizem procedimentos adequados e ainda saibam quais são os conteúdos que estão envolvidos na solução do problema. E, por conseguinte, é indispensável ainda a execução de uma seqüência de passos que são necessários para obter-se uma solução bem sucedida. 
Nesta perspectiva, Neumann (1995) enfatizou a necessidade dos sujeitos escolherem, para solução de um problema, um conjunto de componentes satisfatórios, ainda que na solução de um mesmo problema seja possível selecionar diferentes conjuntos de componentes. O autor salientou ainda que a escolha inadequada pode resultar em uma resposta errônea ou um procedimento ineficaz. 
Partindo desses pressupostos foi realizada uma pesquisa na qual um dos objetivos foi investigar a influência do conhecimento declarativo e de procedimentos na solução de problemas algébricos, especificamente, em atividades relativas aos conceitos de equação, expressão algébrica, incógnita e variável. 

Participantes, Material e Procedimentos

Os participantes deste estudo foram 96 alunos da última série do 4º ciclo do Ensino Fundamental (oitava série) de 2 escolas da Rede Pública de Ensino de Bauru do período matutino e vespertino. A amostra foi estabelecida por conveniência, pelo fato de que os participantes da série escolhida já terem tomado contato com os conceitos investigados. 
Foram utilizados os seguintes instrumentos:

1.	Questionário (anexo 1), baseado no questionário elaborado por Brito (1996), com o objetivo de delinear algumas características dos participantes e obter informações sobre sua vida acadêmica.
2.	Prova 1 (anexo2) (tipo lápis e papel), com questões envolvendo o conceito de equação e expressão algébrica, variável e incógnita, bem como a diferenciação entre exemplos e não exemplos desses conceitos (Conhecimento Declarativo).
3.	Prova 2 (anexo 3) (tipo lápis e papel), contendo problemas que permitem e requerem a utilização de procedimentos algébricos para sua solução.

O presente estudo foi delineado com o propósito de atender os objetivos estabelecidos para a investigação, dentre eles analisar o desempenho dos estudantes nos problemas propostos, buscando encontrar sua relação com o conhecimento de procedimentos e declarativo ao solucionar os problemas.

Discussão e análise dos resultados

Tabela 1: Estatística relativa à Prova 1 com relação ao conhecimento declarativo e à escola.

Escola	N	Média	Desvio Padrão	Estatística	 
Escola 1	63	3,3269	2,2964	t (94)= - 0,429
p >0,05	 
Escola 2	33	3,5321	2,0888		 

	A estatística relativa ao conhecimento declarativo mostrou que não houve diferença significativa entre as escolas investigadas. Mas os resultados indicaram, conforme a tabela 1, que o desempenho das duas escolas foi baixo, uma vez que em ambas a média foi abaixo de 5,0. Pirola (1995), em seu estudo, observou que os alunos de séries mais adiantadas, no caso a 8ª série, tiveram um desempenho inferior comparado ao dos estudantes de séries menos adiantadas, ou seja, não conseguiram definir os conceitos investigados pelo autor. E ainda, em um outro estudo, Pirola (2000) observou diferenças significativas entre os grupos investigados, verificando também que os alunos tinham dificuldades em lembrar os conceitos básicos por ele investigados.
Através da análise dos protocolos foi possível averiguar que, quando questionados sobre o que entendiam a respeito dos conceitos de equação, expressão algébrica, variável e incógnita, a maioria errou ao defini-los, e os conceitos onde ocorreram os maiores índices de erros foram nos conceitos de variável (85,4%) e expressão algébrica (77,1%), pois os participantes que não conseguiram definir expressão algébrica corretamente, conseqüentemente não conseguiram definir o que é variável e ainda não conseguiram estabelecer os exemplos solicitados relacionados a estes conceitos. 
	E ainda, com relação ao conceito de equação e incógnita, verificou-se que houve uma alta ocorrência de erros, sendo que 61,5% erraram a definição de equação e 58,3% erraram o conceito de incógnita e, dessa forma, não conseguiram também estabelecer exemplos para estes conceitos investigados.
Nota-se através destes resultados o quanto a formação do conhecimento declarativo é necessária para aprendizagem de conceitos, pois sem este conhecimento a aprendizagem fica deficiente, já que os estudantes não conseguem incorporar os conceitos em sua estrutura cognitiva, dificultando a lembrança dos conceitos aprendidos. E foi possível observar também o quanto é importante o professor enfatizar durante o ensino dos conceitos de equação e expressão algébrica os atributos que o definem, e ainda apresentar exemplos e não-exemplos dos mesmos para que o estudante consiga, além de diferenciá-los de outros conceitos, recordá-los quando se depararem novamente com eles, pois isso possibilitará ao aluno a formação dos princípios. 

Tabela 2: Estatísticas relativas à Prova 2 com relação ao conhecimento de procedimento e a escola.

Escola	N	Média	Desvio Padrão	Estatística	
Escola 1	63	3,2985	2,2127	t (94)= 0,838
p >0,05	
Escola 2	33	2,9124	2,0035		

	Conforme podemos observar na tabela 2, não houve também diferença significativa relacionada à escola, o mesmo resultado encontrado por Alves (1999) para a Prova 2; ou seja, para essas escolas, o conhecimento de procedimento dos seus alunos pode ser considerado idêntico. É válido salientar que as médias dos participantes com relação às provas estão abaixo de 5,0 e, portanto, o desempenho desses estudantes foi considerado insatisfatório, uma vez que os objetivos esperados não foram atingidos. 
	Destaca-se que, para a correção desta prova, foi utilizado o critério pelo qual, aos alunos que entregaram a prova em branco, foi atribuída nota zero.
Com relação à estatística relativa ao desempenho nos problemas propostos na prova matemática que buscou investigar o conhecimento de procedimento e o tipo de procedimento utilizado para a solução dos problemas, verificou-se que houve um predomínio da utilização do procedimento aritmético, e observou-se a existência de diferença significativa (p < 0,001) entre o desempenho nas questões e o tipo de procedimento utilizado pelo aluno.

Tabela 3: Distribuição dos participantes de acordo com os procedimentos utilizados nas questões 3, 5, 8a1, 8b e 10.

Procedimentos	Questão 3	Questão 5	Questão 8a1	Questão 8b	Questão 10	
	nº de participantes	nº de participantes	Nº de participantes	nº de participantes	nº de participantes	
Em branco	28	20	17	49	30	
Aritmético	54	39	70	32	51	
Algébrico	13	32	6	8	6	
Não identificado	1	5	3	7	9	
Total	96	96	96	96	96	

	De acordo com a tabela 3, observou-se que houve um predomínio da utilização do procedimento aritmético pelos alunos, e somente na questão 5 houve um número considerável de participantes (32) que utilizaram o procedimento algébrico para solucionar esta questão.	 
	Observou-se ainda que, através da análise das questões referentes ao conhecimento de procedimento, onde se solicitava ao aluno reconhecer qual era a equação ou a expressão que representava o problema, a maioria dos alunos não conseguiu identificá-las, o mesmo resultado encontrado por Stacey e Macgregor (1997), e talvez por este motivo a maioria dos participantes solucionaram os problemas através de procedimentos aritméticos, resultados encontrados também por Utsumi (2000) e Lima (2001). 
Ressalta-se que alguns problemas propostos permitiam a solução aritmética. Porém, outros não, como por exemplo o problema 8, pois os alunos que não conseguiram identificar qual era a expressão que representava o problema neste caso não conseguiram solucionar os demais itens da questão. Sendo assim, pode-se dizer que existe relação entre o desempenho e o tipo de procedimento utilizado na solução de problemas algébricos.

Tabela 4: Distribuição dos participantes de acordo com a resposta à questão 8

Item	Respostas	
	Errou	Acertou	Acertou os procedimentos, as operações e os algoritmos-errou a resposta	
8a1	39
40,6%	57
59,4%	_____	
8a2	80
83,3%	16
16,7%	_____
	
8a3	81
84,4%	15
15,6%	_____	
8b	79
82,3%	16
16,7%	1
1%	

A questão 8, subdividida em 4 itens, solicitava ao aluno solucionar o problema  apresentado e verificava se o participante identificaria a expressão ou a equação que representa o problema, aplicando o conhecimento escolarizado em situações cotidianas, e ainda se o aluno calcularia o valor da expressão ou da equação corretamente. Observou-se que, de acordo com a tabela 26, 59,4% dos participantes acertaram o item 8a1, sendo que este foi o único item que ocorreu um número considerável de acertos. Contudo, nos itens 8a2, 8a3 e 8b, o índice de participantes que erraram variou entre 82% a 84%, indicando que houve para esta questão um baixo índice de acertos, e que a maioria dos participantes não atingiram os objetivos da questão. Vale destacar que 72,9% dos estudantes utilizaram o procedimento aritmético para solucionar o item 8a1, o que se tornou um fator interveniente no resultado obtido nos demais itens, pois o participante que não conseguiu encontrar a expressão que representava o problema, conseqüentemente, não conseguiu solucionar os itens 8a2 e 8a3.
	Conforme Mayer (1992), para que o estudante consiga solucionar um problema é necessário primeiramente que consiga representá-lo, isto é, traduzir cada proposição do problema em uma representação interna (p. 147).  Isto explica o fato da maioria dos participantes encontrar dificuldades para traduzir uma sentença da linguagem corrente para a linguagem simbólica da matemática.
Pode-se observa ainda que, ao comparar a nota do conhecimento declarativo com a nota do conhecimento de procedimento, foi encontrada uma correlação positiva e moderada [r (96) = 0,598, p < 0,001], e utilizando a análise de regressão para modelar essa relação obtivemos a equação: Y = 1,208 + 0,575 * X, sendo X a nota atribuída ao conhecimento declarativo e Y a nota atribuída ao conhecimento de procedimento, com um coeficiente de determinação r2 = 35,7%. Isso significa que para cada ponto a mais na nota atribuída ao conhecimento declarativo, o participante aumentava em pouco mais de meio ponto o valor da nota atribuída ao conhecimento de procedimento (conforme apresentado na Figura 1). Além disso, o coeficiente de determinação nos permite considerar que 35,7% da variação das pontuações das notas atribuídas ao conhecimento de procedimento pode ser explicada pela variação da nota atribuída ao conhecimento declarativo. Isto mostrou que havia uma tendência de quanto melhor era a nota atribuída ao conhecimento declarativo, melhor era a nota atribuída ao conhecimento de procedimentos.

Figura 1: Comparação entre a nota do conhecimento de procedimento e a nota do conhecimento declarativo

Conclusão

Através da análise das notas nas duas provas verificou-se que havia uma tendência de quanto melhor era a nota atribuída ao conhecimento declarativo, melhor era anota atribuída ao conhecimento de procedimentos. Observou-se também que não houve diferença significativa (p > 0,05) em relação ao desempenho das duas escolas investigadas. 
Constatou-se ainda que, conforme distribuição dos participantes de acordo com os procedimentos utilizados para a solução das questões apresentadas no estudo, o procedimento mais utilizado para a solução dos problemas foi o procedimento aritmético e isto ocorreu possivelmente pelo fato dos estudantes terem dificuldades relacionadas aos conceitos algébricos envolvidos nas atividades propostas, ou seja, por não saber utilizar os procedimentos algébricos para solucioná-los, lançavam mão dos procedimentos aritméticos, pois não conseguiam sequer encontrar a equação ou a expressão a qual representava o problema proposto, isto é, não conseguiam traduzir as sentenças da linguagem corrente para a linguagem matemática.
Sendo assim, enfatizamos que para o aluno selecionar e utilizar os procedimentos adequadamente na solução de um problema é preciso que ele tenha o conhecimento sobre o conceito envolvido no problema, para que tenha condições de selecionar os procedimentos que são realmente adequados e ainda manipular precisamente os algoritmos envolvidos na solução do problema. 
Por fim, conclui-se que o conhecimento declarativo está inter-relacionado com o conhecimento de procedimentos, pilares fundamentais e inter-dependentes para um bom desempenho na solução de problemas, pois a ativação do conhecimento conceitual, bem como o domínio das técnicas e estratégias, são importantes fatores para o desenvolvimento da sua capacidade para solucionar problemas matemáticos. 

Referências Bibliográficas

ALVES, E. V. (1999). Um estudo exploratório dos componentes da habilidade matemática requeridos na solução de problemas aritméticos por estudantes do ensino médio. Dissertação de Mestrado. Campinas, FE. UNICAMP, 1999.

ANDERSON, J. R . Cognitive Psychology and Its Implications. 3 ª edição. Carnegie-Mellon University. W. H. Freeman and Company, New York, 1990.

ANGÓN, Y. P. & POZO, J. I.. A solução de problemas como conteúdo procedimental da educação básica. In A solução de problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Juan Ignácio Pozo. Porto Alegre: Artmed. p. 140-165, 1998.

BRITO, M. R. F..  Solução de problemas matemáticos. Conferência apresentada à Banca examinadora para o concurso de Professor Titular da FE-UNICAMP. Dezembro de 2001. p.05, 2001.

CHI, M. T. H. & GLASER, R. A .Capacidade para a Solução de Problemas. In Sternberg, R.J. As Capacidades Intelectuais Humanas: Uma Abordagem em Processamento de Informações. Porto Alegre: Artes Médicas. p. 250-275, 1992.

JONG, T. & FERGUSON-HESSLER, M. G. M.. Types and qualities of knowledge. Educational Psychologist. Editor. Paul R. Pintrich.  Lawrence Erlabaum Associates, Publishers. Mahwah, New Jersey.. Vol. 31, nº 2. p. 105-112, 1996.

LIMA, V. S.. Solução de problemas: Habilidadades matemáticas, flexibilidade de pensamento e criatividade. Tese de Doutorado. Campinas, Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, 2001.

MAYER, R. E.. A capacidade para a matemática. As capacidades intelectuais humanas: uma abordagem em processamento de informações. Tradução de Dayse Batista. Porto Alegre: Artes Médicas. p.144-167, 1992.

NEUMANN, V. J. G.. Um estudo exploratório sobre as relações entre o conceito de automatismo da teoria do processamento de informação de Sternberg e o conceito de pensamento resumido na teoria das habilidades de Krutetskii. Dissertação de Mestrado. Campinas, Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, 1995.

PIROLA, N. A. Um estudo sobra a formação dos conceitos de triângulos e paralelogramos em alunos de primeiro grau - Dissertação de Mestrado - UNICAMP, 1995.

PIROLA, N. A.. Soluções de problemas geométricos: Dificuldades e perspectivas– Tese de Doutorado – UNICAMP, 2000.

RITTLE-JOHNSON B., SIEGLER, R. S. & ALIBALI, M. W. . Developing conceptual understanding and procedural skill in mathematics: A interative process. Journal of Educational Psychology. Vol. 93, nº 2, p.346-362, 2001.

SECRETARIA DE EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL (SEF/MEC). Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília, 1998.

STERNBERG, R.. As capacidades intelectuais humanas: uma abordagem em processamento de informações. Tradução de Dayse Batista. Porto Alegre: Artes Médicas. p. 17-41, 1992.

STERNBERG, R. J.. Psicologia Cognitiva. Porto Alegre. Artes Médicas, 2000.

URSINI, S. & TRIGUEROS, M.. Understanding of different uses of variable a study with starting college students). Edited by Pehkonen. Proceedings of the 21 st Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (PME). Lahti: Finlândia. vol. 1, p.254-261, 1997..

USISKIN, Z.. Concepções sobre a álgebra da escola média e utilização das variáveis. In As idéias da álgebra. The National Council of teachers of mathematics. Organizadores Arthur F. Cosford, Alberto P. Shulte. Tradução Hygino H. Domingues. São Paulo: Editora Atual. p. 9-22, 2001.

UTSUMI, M. C.. Atitudes e habilidades envolvidas na solução de problemas algébricos: Um estudo sobre o gênero, a estabilidade das atitudes e alguns componentes da habilidade matemática. Tese de Doutorado. Campinas, Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, 2000.