OS SIGNIFICADOS PRODUZIDOS POR ESTUDANTES DURANTE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS EM MATEMÁTICA

Mario Oliveira Thomaz Neto
Universidade do Estado do Pará
mthomazneto@uol.com.br

Introdução
A importância das várias linguagens como veículo de comunicação é inquestionável, inclusive entre os que atuam em educação. O homem ao desenvolver atividades cotidianas utiliza variadas linguagens como forma de comunicação para expressar suas idéias e argumentos mediante um fato. Podemos então dizer que as várias linguagens são fundamentais tanto para a comunicação como para a resolução de problemas.
As idéias veiculadas por meio de uma linguagem exigem do indivíduo a produção de significados para interpretar e entender a mensagem que está sendo expressa. Isto requer, dentre outros aspectos, que o indivíduo possua informações (elementos/conhecimentos) em sua estrutura cognitiva que o possibilite a uma leitura das informações (idéias) comunicadas, além da percepção de aspectos semânticos e sintáticos presentes na mensagem que está sendo veiculada. 
A construção de significados a partir das várias linguagens é um elemento fundamental para uma leitura de mundo e, consequentemente, para o pleno exercício da cidadania. Esta é uma das funções que a educação escolar deve assumir em todas as áreas do conhecimento. O professor neste contexto deve selecionar, levando em conta a realidade dos estudantes, a linguagem mais significativa a ser utilizada como ponto de partida para a produção de significados dos conhecimentos abordados em sua área de atuação.
Neste estudo apresentamos a interação entre linguagem e significados produzidos por estudantes durante a resolução de problemas em matemática.

A interação entre linguagem e significados na resolução de problemas em matemática
A comunicação de conhecimentos matemáticos na escola ocorre por meio da língua materna. Há uma relação de impregnação mútua entre a matemática e a língua materna, pois a língua materna constitui-se num instrumento de intermediação na construção de conceitos matemáticos (MACHADO, 1991). Em consonância com esta visão, Pimm (1987), sugere tal relação em termos de metáfora. Poderíamos dizer que há uma comparação subjacente em termos de uma correspondência analógica existente entre a matemática e outras linguagens que guardam entre si semelhanças, mas também, diferenças (MEDEIROS, 1992, 2001). Tanto a matemática como a língua materna possuem uma função essencial nas relações que estabelecemos cotidianamente, independentemente do grau de instrução que possamos ter, pois estas são formas utilizadas na comunicação humana (LUNGARZO, 1993).
A língua materna e a linguagem matemática são essenciais para veicular informações e possibilitar a aquisição de conhecimentos em qualquer área do saber, pois “tanto a matemática quanto a língua materna constituem sistemas de representação, construídos a partir da realidade e a partir dos quais se constrói o significado dos objetos, das ações, das relações” (MACHADO, 1991, p. 83). Assim, torna-se necessário conhecer aspectos que caracterizam essas duas formas de linguagem para melhor compreendê-las. Aspectos comuns às diversas linguagens incorporam o de que toda linguagem é um sistema de signos. Além disso, estruturalmente, toda linguagem possui um ‘repertório’, ou seja, uma seleção de signos que a compõe. Além deste repertório, possui regras de uso desses signos – sintaxe, e significações – semântica (ARANHA e MARTINS, 1987). Neste sentido, podemos pensar na matemática também enquanto uma linguagem, visto que a mesma apresenta-se como possuindo os elementos acima exibidos.
O uso da linguagem matemática, em particular do simbolismo matemático, dá-se por uma necessidade prática de comunicação entre os indivíduos ao fazerem matemática. Esta necessidade emerge quando da tentativa de resolução de situações-problema no cotidiano (ÁVILA, 1993) que precisam ser modeladas matematicamente. De acordo com o autor, há uma relação de dependência entre a linguagem cotidiana e o simbolismo próprio da Matemática. Essa relação quando não explorada adequadamente no âmbito escolar acaba por tornar inacessível, para alguns, a compreensão desse campo do saber. Isto ocorre, pois é exigido que os indivíduos apresentem cognitivamente conhecimentos mais específicos, sejam lingüísticos sejam matemáticos (GRASSESCHI, 2001).
A dificuldade encontrada por estudantes ao relacionar a língua materna e o simbolismo matemático indica que devemos estar sempre atentos para a boa utilização desses instrumentos, a fim de que o aprendizado da matemática não seja prejudicado, pois a apreensão do sentido e do significado destas linguagens são úteis e indispensáveis à construção e transmissão das idéias matemáticas (ÁVILA, 1993). Portanto, a análise do uso da língua materna na resolução de problemas em Matemática tem há muito se constituído em um foco de pesquisas (BARNETT, SOWDER e VOS, 1997), já que esta linguagem torna possível o pensamento e a comunicação das idéias matemáticas. Neste sentido, o estudante precisa familiarizar-se com o simbolismo matemático, por exemplo, + , = , < , > , % , etc, empregado para que a comunicação possa efetivar-se e perceber o seu significado para empregá-lo corretamente em um determinado contexto. 
A linguagem é uma forma muito complexa através da qual uma enorme quantidade de informações pode ser transmitida entre pessoas (DIENES e GOLDING, 1977, p. 6). No caso específico da linguagem matemática, é necessário que o estudante perceba que, por exemplo, em Álgebra, usamos letras para representar números com o objetivo de não chamar a atenção para qualquer número em particular. Se considerarmos que a e b são dois números inteiros quaisquer, podemos enunciar que tanto a soma como o produto entre estes dois números é exatamente um número inteiro. Esse princípio pode ser escrito através de um simbolismo matemático da seguinte forma: a + b e a.b € Z.
Podemos considerar que uma dificuldade central encontrada pelos estudantes ao tentarem resolver problemas matemáticos verbais, também reside no uso da língua materna e na transição desta para o simbolismo próprio da matemática. Há que se entender e ressaltar que “toda linguagem, incluída a da matemática, expressa-se com sentenças” (LUNGARZO, 1993, p. 48) que nem sempre são compreendidas pelos estudantes. A tradução de uma informação extraída de um contexto verbal de um problema matemático para uma expressão matemática nem sempre parece ser uma tarefa fácil, pois “os símbolos e a gramática da matemática constituem uma linguagem não familiar, os alunos diferem na rapidez e facilidade com que conseguem compreendê-los” (SCHNEIDER e SAUNDERS, 1997, p. 88).
Para obter êxito nas tarefas de resolver problemas verbais apresentados em sala de aula, é requerido do estudante uma competência básica para lidar com a idéia de símbolo, pois a aquisição da função simbólica constitui um instrumental básico de leitura interpretativa das linguagens usuais nas várias áreas do conhecimento, dentre estas, a linguagem matemática.
Compreender as relações que podem ser construídas a partir das informações que estão contidas na mensagem veiculada no contexto verbal de uma situação-problema torna-se uma tarefa fundamental no ensino e na aprendizagem da matemática. Muito mais que armazenar informações é importante aprender a pensar sobre elas. Para isto, é necessário estabelecer um paralelo entre os códigos da língua materna e os códigos da linguagem matemática. Tal fato pressupõe a necessidade de compreensão da semântica que, de acordo com Guiraud (1975), “é o estudo do sentido das palavras” (p. 10), como também dos significados produzidos pelos estudantes para os contextos ‘verbal’ e ‘real’ do problema. Além disso, no caso de situações-problema que envolvam contextos ‘reais’, aspectos de tal contexto também precisam receber significações pertinentes.
A resolução de problemas é uma atividade que requer uma interação entre o sujeito que os aborda e as informações veiculadas no contexto verbal que são apresentadas em língua materna. Estas informações necessitam ser decodificadas em uma outra forma de linguagem, ou seja, a linguagem matemática. Exige, também, todo um arcabouço de conhecimentos já disponíveis na estrutura cognitiva do sujeito cognoscente, a fim de que ele possa lançar mão sempre que for necessário. 
Em qualquer situação-problema matemática, as relações existentes entre as partes (os dados) e o todo (as sentenças matemática) são, em extensões variadas, expressas em língua materna. Logo, a tentativa de resolver tal situação exige uma leitura interpretativa das sentenças propostas nas situações-problema apresentadas, as quais precisam ser modeladas a partir de um referencial lingüístico e matemático adequados. No entanto, isto só torna-se possível se o estudante, a partir da composição das partes, constituir um todo e perceber que esta constituição parte-todo o conduzirá a uma sentença matemática, onde as. operações são efetuadas mediante um conjunto de regras internas; no caso, de acordo com a sintaxe da matemática. Para isto, torna-se necessário, por parte do estudante, a percepção da estrutura do contexto verbal da situação-problema e a passagem desta para a linguagem matemática.
Neste sentido, a resolução de problemas matemáticos verbais caracteriza-se como uma atividade de caráter lógico e complexo, pois requer que o estudante produza significados e sentidos matemáticos para o contexto verbal em que o problema é apresentado. 

Método
Sujeitos
Participaram deste estudo 24 estudantes da 8ª série de uma escola pública do ensino fundamental da cidade de Belém, Pará. O objetivo foi investigar os significados produzidos por estudantes em suas tentativas de resolução para situações-problema em matemática. Neste estudo os estudantes foram representados pela letra ‘E’ seguida de índices numéricos do número 1 ao 24.

Situações-problema propostas aos estudantes
Cada estudante recebeu um teste escrito contendo três situações-problema que apresentavam contexto verbal, sendo que duas delas apresentavam também contexto real. Estas situações foram denominadas respectivamente de P1, P2 e P3, a saber:
(P1). Pensei em um número. Subtraí três unidades e multipliquei o resultado por quatro. Somei uma unidade e o resultado foi vinte e cinco. Em que número pensei?; 
(P2). Certa mulher é casada com um homem sete anos mais velho do que ela. Quando a primeira criança do casal nasceu, a soma das idades do casal era setenta e nove. Qual era a idade da mulher?; 
(P3). Ao final de um dia de trabalho, em um restaurante, os garçons dividem entre si R$ 120,00 de gorjetas recebidas dos clientes. No dia seguinte, dois garçons faltam e o total de gorjetas é de R$ 96,00. Qual o total de garçons e quanto cada um recebeu, sabendo-se que a quantia em gorjetas no primeiro e no segundo dia foi a mesma?; 

Procedimento
O procedimento para coleta de informações ocorreu em duas etapas que se complementaram. Na primeira, foi entregue de uma vez as situações-problema descritas e solicitado a cada estudante que individualmente apresentasse por escrito, através de mais de uma forma de abordagem, suas tentativas de resolução para os problemas. A ordem para resolução das mesmas ficou a cargo do estudante que foi orientado a não apagar toda e qualquer tentativa, mesmo acreditando estar errada. 
Na segunda etapa, foram realizadas entrevistas semi-estruturadas com o objetivo de conhecer as explicações dos sujeitos investigados para as suas abordagens escritas. No caso específico deste estudo, a entrevista assume papel informativo e formativo (RODRIGUEZ, 1991). Para a estruturação das entrevistas realizadas tomamos por base as fases apresentadas por Polya (1995), para o ensino da resolução de problemas em matemática.

Significados produzidos por estudantes durante a resolução de problemas em matemática
Alguns dos significados apresentados pelos estudantes na resolução dos problemas verbais, oram detectados após um minucioso estudo de suas produções escritas e orais. Tais significados serão exibidos e analisados de acordo com os problemas propostos, de modo que possamos evidenciar alguns aspectos semânticos e sintáticos subjacentes a produção escrita e oral dos estudantes para cada problema.

Referentes ao Problema 1
O exemplo a seguir exibe os diversos significados produzidos pelo E1 em sua abordagem.

Fig. 1 – Abordagem Escrita do Estudante E1
O estudante ao modelar o contexto verbal do problema evidencia alguns significados. No primeiro ‘bloco de raciocínio’ apresentado, o estudante não representa na equação os parênteses. O uso de parêntese nesta situação-problema é fundamental, pois este determinará a ordem da operação que deve ser realizada, no caso específico, ‘Pensei em um número. Subtrai três unidades ...’ que deveria ser representado por (x – 3). Outro significado produzido pelo estudante que merece ser ressaltado é admitir como incógnita ‘x’ valores conhecidos (3 e 1) referentes, respectivamente, a ‘três unidades’ e ‘uma unidade’. É um erro conceitual do ponto de vista da matemática, nomear valores conhecidos como se fossem desconhecidos, pois a incógnita em uma situação-problema representa os valores desconhecidos. Não há clareza, por parte do estudante, quanto à compreensão e representação do papel da incógnita em uma situação problema, fato que denota possivelmente a ausência do conceito. Há, também, falta de compreensão na ordem das operações a serem efetuadas na sentença matemática, como pode ser percebido ao operar com ‘x – 3x = 2x’ em vez de ‘- 3x . 4’ que seria a operação adequada. A justificativa apresentada pelo estudante E1, na tentativa de explicar seu primeiro bloco de raciocínio, demonstra a dificuldade encontrada por este ao lidar com problemas verbais que precisam ser modelados matematicamente, como podemos observar nos excertos de sua entrevista:
Ent.: Você considerou errada sua abordagem e não completou. Por quê?
E1: [...] eu montei sem prestar atenção. Subtrai 3 unidades, aí dividi em unidade, dezena e centena. Aí pensei, 3 unidades, ...3 ... só 3. 
Ent.: E esse ‘+ x’ depois do 3 vezes 4? 
	E1: Foi o da unidade. Somei com uma unidade, então é pra ficar 1 não o ‘x’ , como aqui, também, em ‘3x’ é pra ficar só 3.
A desatenção apontada pelo estudante possivelmente pode ter sido causada pela ausência de uma leitura refinada do contexto verbal da situação proposta, o que culminou na identificação do erro e no abandono da estratégia no primeiro bloco de raciocínio. No entanto, no segundo ‘bloco de raciocínio’ adotado, o estudante identifica e representa corretamente a incógnita do problema, assim como opera adequadamente; entretanto, permanece não utilizando os parênteses na sentença matemática, embora o contexto verbal do problema informe explicitamente que o que deve ser multiplicado por quatro é o número pensado menos o três. No caso do modelo apresentado por este estudante, o número pensado é representado por ‘x’, logo, o que deve ser multiplicado é ‘(x – 3) . 4’ Em sua abordagem escrita, o estudante parece não se atentar para tal fato, o que pode ser percebido na equação adotada em seus blocos de raciocínio. Em um terceiro ‘bloco de raciocínio’, o estudante busca validar o resultado encontrado, substituindo na equação o valor encontrado para a incógnita.
O exposto acima evidência uma série de equívocos semânticos e sintáticos produzidos pelo estudante em suas tentativas de resolução para o problema. A dificuldade reside em atribuir significados para informações referentes ao sinal associativo (parênteses) e a incógnita.

Referentes ao Problema 2
A abordagem escrita do estudante E6 demonstra a dificuldade em produzir significados corretos para a expressão ‘homem sete anos mais velho’. que optaram pela adoção da estratégia ‘uso de operações aritméticas’ e o estudante E22 pelo uso da estratégia ‘tentativa e erro’ exibidas no quadro 3. Observamos nas abordagens escritas inadequadas dos estudantes E6 e E13, o erro denominado de “confusão com a expressão homem ‘sete anos mais velho’”. Ressaltamos, ainda, que esse erro foi classificado como de origem semântica O exemplo a seguir, aponta a abordagem escrita inadequada do estudante E6 dentro desta classificação:

Fig. 2 - Abordagem Escrita do Estudante E6

Em sua abordagem o estudante, inicialmente, opera dando indícios de que ao retirar os sete anos a mais que o homem possui em relação à mulher, torna as idades do casal iguais. Entretanto, parece não ter clareza sobre esta condição, pois após tornar as idades do casal iguais e, portanto, encontrar a idade da mulher, continua a retirar os sete anos de excesso que o homem possui em relação à mulher. O significado produzido pelo estudante aponta para a dificuldade que este encontrou ao compreender/decodificar, no contexto verbal do problema, a mensagem expressa em língua materna, mais especificamente no que se refere à condição ‘... sete anos mais velho do que ela’. 
O excerto das informações colhidas em sua entrevista evidencia a abordagem realizada pelo estudante:
E6: Eu fiz setenta e nove que é a soma das idades (do casal), subtraí por sete, porque ele (o homem) é sete anos mais velho que ela (a mulher). Aí eu subtraí, deu setenta e dois. Aí eu dividi por dois, deu trinta e seis. Subtraí pelo sete, que deu 29. Aí quer dizer que a mulher tem vinte e nove anos. 
Ent.: Por que tu tirastes sete de setenta e nove?
E6: Eu pensei assim, se ele (o homem) é sete anos mais velho que ela eu subtraí, setenta e nove menos sete.
Ent.: Quando tirastes sete de setenta e nove encontraste setenta e dois. Quem é este valor?
E6: Não sei ... eu encontrei. Aí dividi por dois [...] eu dividi assim pra ver se eu encontrava um valor ... (pergunto à estudante se poderia ser dividido por outro número. Por exemplo, por três ou por quatro) não, eu pensei no dois porque é um homem e uma mulher [...].
Ent.: Esse trinta e seis seria o quê?
E6: A idade do homem [...] aí eu subtraí por sete, porque ele é sete anos mais velho que ela. Aí eu encontrei o vinte e nove que é a idade dela (a mulher).
As produções escritas e orais do estudante apontam dificuldades no que concerne a produção de significado para a informação veiculada no contexto verbal do problema. Entretanto, sinaliza para uma abordagem coerente do ponto de vista da matemática, pois utiliza as regras válidas para as operações aritméticas, ou seja, acertos (aspectos semânticos) dentro de erros (aspectos sintáticos).

Referentes ao Problema 3
O excerto da resolução do problema abaixo, evidencia alguns dos significados produzidos pelo estudante para a resolução do problema 3.

Fig. 3 - Abordagem Escrita do Estudante E6

Em sua abordagem o estudante utiliza os valores numéricos (120, 2 e 96) extraídos do contexto verbal do problema, combinando-os em operações sem observar a natureza das grandezas envolvidas. Este parece não estar atento para a impossibilidade, dentro do problema proposto, de se efetuar a subtração com grandezas de naturezas distintas, como em: ‘120 (gorjetas) – 2 (garçons) = 118 (número de garçons)’. No entanto, o estudante não percebe o equivoco, pois a justificativa para abandonar o resultado encontrado, deve-se ao fato deste (o resultado) não atender as perguntas do problema. O significado produzido pelo estudante é subtrair grandezas de mesma natureza ‘120 – 96’ (gorjetas recebidas), e admitir como quociente uma grandeza diferente ‘24’ (garçons). Os significados produzidos para o contexto verbal do problema são inadequados, pois é incorreto retirar da quantia em dinheiro ‘120’ recebida de gorjetas no primeiro dia a quantidade de garçons ‘2’ que faltaram no segundo dia e obter como resultado número de garçons ‘118’. Ou ainda, ao subtrair entre si gorjetas ‘120 e 96’ e encontrar número de garçons ‘24’. O excerto abaixo de sua entrevista evidencia o exposto:
E6: Eu peguei o cento e vinte, subtraí por dois (igual a cento e dezoito) que é o número de garçons que faltaram. Só que deu muito alto (está se referindo ao valor cento e dezoito). Só que eu não consegui encontrar o que tá pedindo (quantos garçons eram e a quantia em gorjetas para cada um). Aí peguei cento e vinte subtraí pelo noventa e seis que é o total de gorjetas do outro dia de trabalho. Aí peguei o cento e vinte dividi por vinte e quatro que deu cinco, o dinheiro que eles vão dividir entre eles e, o total de garçons que é vinte e quatro, que eu encontrei aqui (aponta para a abordagem escrita no teste).
Podemos observar pelo exposto acima que há uma série de equívocos cometidos pelo estudante em sua tentativa de resolução para o problema. Os significados produzidos para a realização das operações efetuadas parecem reforçar as idéias apresentadas por Pimm (1987) quando da dificuldade de estudantes em transitar de uma linguagem para outra. Nesse caso específico, não há problemas de ordem sintática, pois as operações são efetuadas coerentemente. A dificuldade reside em atribuir significados para os valores (informações) ‘garçons’ e ‘gorjetas’.

Conclusões
Estudos que focalizam a resolução de problemas em matemática podem proporcionar uma série de evidências a respeito dos saberes dos estudantes. É fato que os estudantes mobilizam cognitivamente várias informações veiculadas no contexto verbal de um problema e essas interagem com os conhecimentos armazenados em sua estrutura cognitiva. Procurar entender esse caminho pode ser uma forma efetiva para a construção do pensamento matemático dos estudantes.
Nesse estudo observamos que a interação entre significados, linguagem e resolução de problemas em matemática nem sempre conduz os estudantes a abordagens com sucesso. Os resultados encontrados apontam que os estudantes apresentam dificuldades em interpretar as informações contidas no contexto verbal do problema, estabelecendo significados inadequados para termos lingüísticos que quase sempre são decodificados sem levar em consideração o contexto verbal e real do problema.
É necessário uma mudança no que tange a abordagem dos professores durante a resolução de problemas em matemática. Há que se evidenciar não apenas aspectos sintáticos, mas, sobretudo, semânticos, presentes em cada informação contida em uma determinada mensagem, expressa em língua materna ou em linguagem matemática que necessitam ser olhadas de maneira integrada de modo que o estudante perceba a composição de parte e do todo, para então estabelecer uma teia cognitiva a partir dessas composições.
A compreensão de processos lingüísticos e matemáticos em circulação nos vários contextos culturais precisam ser incorporados e (re)discutidos em sala de aula, a fim de que a mensagem expressa possa de fato ser compreendida.

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