Jogo dos Retângulos para a construção dos conceitos de número primo e composto

Gabriela dos Santos Barbosa gabrielasb80@hotmail.com UERJ - FEUC 
 Tânia Campos taniamcampos@hotmail.com UNIBAN

Introdução

O estudo da teoria dos números (a saber: números primos, fatoração, m.d.c. e m.m.c. etc.) não tem sido enfatizado no Ensino Fundamental. Embora ocorra, observamos nos livros didáticos, um tratamento mecanizado, a partir de exercícios repetitivos e problemas idealizados. Em outras palavras, todas as possibilidades de abordagem dos conceitos ligados à teoria dos números são reduzidas ao ensino de algoritmos.  
A obtenção e a utilização da fatoração de um número podem contribuir para que os alunos desenvolvam habilidades de cálculo mental e de resolução de problemas que envolvem multiplicação e divisão. Entretanto, ocorrendo da maneira descrita acima, não permite que o aluno desenvolva sua criatividade e, muito menos, aplique e reflita sobre seus conhecimentos ligados à teoria dos números.
Diante deste quadro, intrigou-nos as seguintes questões: Que atividades favorecem uma aprendizagem significativa dos números primos e da fatoração de um número – uma vez que estes são conceitos centrais na teoria dos números? Que estratégias os alunos usam para enfrentar situações ligadas a estes conceitos? Quais são os erros mais comuns cometidos por eles? 
Na busca das respostas, elaboramos uma seqüência de atividades. Elas foram aplicadas no 1o semestre de 2006 numa turma de 5a série de uma escola particular e verificou-se uma mudança na conduta dos alunos não só no que diz respeito ao cálculo mental, como também à resolução de problemas. 
Tais atividades foram elaboradas e analisadas à luz da Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1990). Segundo esta teoria um conceito pode ser compreendido da seguinte maneira:
 “C = (S, I, R) onde: S é um conjunto de situações que dão sentido ao conceito; I é um conjunto de invariantes (objetos, propriedades e relações) sobre os quais repousa a operacionalidade do conceito, ou o conjunto de invariantes operatórios associados ao conceito, ou o conjunto de invariantes que podem ser reconhecidos e usados pelos sujeitos para analisar e dominar as situações do primeiro conjunto; R é um conjunto de representações simbólicas (linguagem natural, gráficos e diagramas, sentenças formais, etc.) que podem ser usadas para indicar e representar esses invariantes e, conseqüentemente, representar as situações e os procedimentos para lidar com elas. (...) O primeiro conjunto – de situações – é o referente do conceito, o segundo – de invariantes operatórios – é o significado do conceito, enquanto o terceiro – de representações simbólicas – é o significante.” (p.140)
Assim a idéia central, presente em cada atividade é de que ensinar uma operação é, na verdade, ensinar o campo conceitual relativo àquela operação e campo conceitual, por sua vez, é um conjunto informal e heterogêneo de problemas, situações, conceitos, relações, estruturas, conteúdos e operações de pensamento, conectados uns aos outros e, provavelmente, entrelaçados durante o processo de aquisição. Vamos aqui apresentar apenas os dados obtidos na realização da primeira atividade desta seqüência: o jogo de restos.
II- Atividades de reconhecimento dos divisores de um número 

	Como já dissemos, nossa pesquisa consiste numa ampla seqüência de atividades que visa à construção de novos significados acerca da decomposição de um número em fatores primos por parte dos alunos. Iniciamos a seqüência com o jogo dos restos cujos dados foram descritos na VIII Reunião de Didática da Matemática do Cone Sul em 2006. Por meio do jogo dos restos, os alunos conceituaram múltiplo e fator de um número a partir das distribuições de resto zero, reconheceram, na análise da situação, que, se um número é múltiplo de outro, então este último é divisor do primeiro e utilizaram o simbolismo associado aos conceitos de múltiplo e divisor de um número. Dando continuidade, neste segundo grupo de atividades, a discussão acerca da obtenção dos divisores de um número se intensificou e os aluno puderam confrontar os conceitos de números primos e números compostos. Foram duas atividades: a construção de retângulos e a tábua de Pitágoras. Vamos descrever os dados obtidos na primeira.

1) Descrição da atividade

	Trata-se de construir retângulos utilizando números diferentes de unidades quadradas. As dimensões dos retângulos correspondem aos divisores da quantidade ou (número) de unidades quadradas de que o aluno dispõe.
	Esta atividade é composta por duas etapas. Na primeira solicitamos aos alunos que obtenham os retângulos a partir da medida de área que mencionamos. Por exemplo, propomos aos alunos que construam todos os retângulos possíveis com 18 quadrados, ou seja, com 18 unidades de área.
	Já na segunda etapa, pedimos aos alunos que identifiquem a menor quantidade de unidades quadradas que devem tomar para obter um número de retângulos de mesma área e diferentes dimensões que estipulamos. Por exemplo, perguntamos aos alunos qual a menor quantidade de unidades quadradas que lhe permitiria construir três retângulos de mesma área e diferentes dimensões.

2) Objetivos

	Por meio desta atividade pretende-se criar condições que favoreçam ao aluno:

- Construir o repertório dos produtos (dois fatores) possíveis para o mesmo número e registrar o número desses produtos.
- Diferenciar números primos de números compostos pela identificação do número de retângulos formados.

3) Material didático

Para cada dupla de alunos:

- Uma centena de quadrados de papel idênticos.
- Folhas para cálculos.
- Papel quadriculado.
- Fichas de registro como a que segue abaixo:

Número de unidades quadradas	Desenho dos retângulos construídos 	Número de produtos	

	

		

			

3) Análise prévia

	Supomos que as dificuldades dos alunos relacionadas aos conceitos de área poderiam prejudicar o andamento desta atividade. Reconhecemos a necessidade de falar em linha e coluna para que os alunos compreendessem a relação entre as dimensões do retângulo e o número de unidades quadradas utilizadas na sua construção. Pretendíamos priorizar a análise de duas situações: o número de unidades em cada linha e número de linhas; o número de unidades em cada coluna e o número de colunas. Além disso, tínhamos expectativa da ocorrência de alguns equívocos, caso a proposta não fosse explicada claramente para os alunos. São eles: 

-	Considerar que, mudando a posição de um mesmo retângulo, obtém-se um novo retângulo. 
-	Construir retângulos usando a quantidade de unidades quadradas que solicitávamos, mas construindo apenas contornos. Como, por exemplo, com 12 unidades quadradas, construir o retângulo abaixo:

-	Construir retângulos usando a quantidade de quadrados que solicitávamos sobrepondo peças. 
-	Considerar que quadrados não são retângulos.

5) Análise da atividade

	Iniciamos a atividade explicando aos alunos que se tratava de um quebra-cabeça um pouco diferente daqueles que estão acostumados a montar. Pedimos que, discutissem sobre todos os possíveis retângulos, construíssem-nos usando as unidades quadradas e, em seguida, desenhassem no papel quadriculado tais construções. 
	Já nos primeiros momentos, a atividade se desenvolvia de uma maneira que não havíamos previsto. Percebemos a ocorrência do que vamos chamar de divisão intelectual do trabalho. Em vez de realizarem juntos cada etapa solicitada, os alunos combinaram uma divisão das tarefas. Havia, em cada dupla, um indivíduo responsável por refletir sobre os retângulos, fazendo um esboço deles na folha de rascunho e, outro indivíduo responsável apenas por passar os desenhos a limpo no papel quadriculado. Em outras palavras, as ações dos alunos eram coordenadas, porém, eles não interagiam. A nosso ver, muitas possibilidades de troca de informações e de reflexão estavam sendo desperdiçadas. 
	Para tentar reverter este quadro, redistribuímos os materiais de modo que cada aluno recebeu 50 unidades quadradas, folhas de rascunho e papel quadriculado. Pedimos que tentassem fazer individualmente e, depois, comparassem suas produções. Conseguimos, assim, que a interação entre eles se expandisse gradativamente.

	Passando a uma análise da atividade propriamente dita, destacamos ao longo de sua realização, os seguintes aspectos:

1)	A dificuldade inicial para apreender suas regras;
2)	O esquecimento de certos retângulos;
3)	O abandono do material concreto.

1) A dificuldade inicial para apreender as regras da atividade;

	Como havíamos previsto na análise prévia da atividade, alguns alunos não conseguiram perceber imediatamente que tipos de retângulos poderiam construir. Então, surgiram retângulos com peças sobrepostas; retângulos vazados ou mesmo polígonos que nem quadriláteros eram. Um equívoco que nos chamou atenção foi cometido pela dupla que construiu vários retângulos com áreas diferentes cuja soma era igual ao total de unidades de que dispunha. Por exemplo, quando solicitamos que construíssem retângulos usando 12 unidades quadradas, a dupla construiu:

	Indagado sobre as causas de tais construções, Ben Hur, integrante da dupla, respondeu: 

Ben Hur: Você pediu para fazer retângulos com os 12 quadradinhos e nós fizemos. 
Gabriela: Mas você deve usar todos os quadradinhos no mesmo retângulo.
Ben Hur: Mas aí só vai dar para construir um sempre.
Gabriela: Não. Você monta um usando todos os quadradinhos, desenha para não esquecer como ficou. Depois você tenta montar um tipo diferente e assim vai.
Ben Hur: Ah! Você quer os tipos, né? Você não quer todos ao mesmo tempo?

	Lutando ainda para não invalidar o seu procedimento, o aluno apontou para os desenhos de uma dupla que havia compreendido a proposta e montado os retângulos 3 x 4, 2 x 6 e 1 x 12 e argumentou:

Ben Hur: Olha só. Eles acharam o mesmo número de retângulos que nós.
João: É, mas se fosse assim, eu acharia mais que você. Eu ia fazer 6 retângulos com dois quadradinhos cada. É claro que isso não vale.

	A compreensão que Ben Hur e sua dupla tiveram da proposta sugere que alguns ajustes na atividade podem torná-la significativa para o ensino de seqüências e séries. Mas o episódio foi bastante relevante principalmente porque serviu como parâmetro para que adotássemos uma postura mais cuidadosa na elaboração dos enunciados e na proposição das atividades. Além disso, assim como no jogo do resto, verificamos uma postura reflexiva em alguns alunos. Percebemos raciocínios sofisticados em que o aluno levanta e testa hipóteses visando à generalização de procedimentos.  Como argumentar com um aluno que levanta uma hipótese falsa? Qual o momento mais adequado para intervirmos? Estas são questões chave para o ensino de conceitos matemáticos que se tornaram uma preocupação constante em nossa pesquisa. No caso acima, Ben Hur só se convenceu realmente quando propusemos que pegasse outras quantidades de quadradinhos e os seus resultados não coincidiam com os dos demais colegas. 

2) Os retângulos mais esquecidos

	Compreendida a proposta, os alunos não tiveram dificuldades para realizar a atividade. Inicialmente estávamos preocupadas com a sua dinâmica. Temíamos que não houvesse motivação suficiente para que ficassem construindo retângulos ininterruptamente. Entretanto, a cada número que solicitávamos, estabeleciam entre eles uma competição: Que dupla conseguiria fazer o maior número de retângulos no menor tempo? 
	Passaram a construir os retângulos cada vez mais rapidamente, reclamavam quando demorávamos a propor o número de unidades quadradas de que deveriam dispor e, conseqüentemente, produziam mais erros. 

	Com isso outras preocupações nos ocorreram: Este tipo de competição pode trazer benefícios para o espaço escolar? Os erros que cometiam eram decorrentes apenas da pressa ou havia outras causas?Conseguiríamos contemplar os objetivos que traçamos?
	Para tentar responder estas questões, precisávamos conter um pouco a ação dos alunos. Na verdade, precisávamos criar condições para que agissem de forma mais reflexiva. Resolvemos, então, interferir na competição e propusemos duas novas regras:

Regra 1: Para cada número de unidades quadradas que mencionávamos, os alunos teriam dois minutos para montar os retângulos. Todas as duplas que conseguissem construir todos os retângulos dentro deste intervalo seriam vitoriosas.

Regra 2: Ao final dos dois minutos faríamos uma correção coletiva em que alguma dupla iria ao quadro desenhar os retângulos que construiu.

	A princípio muitos alunos não gostaram das novas regras:

Gabriel Sousa: Assim vai ficar sem graça. Todo mundo vai ganhar.
Gabriela: Mas será que do outro modo alguma dupla ganhava alguma coisa? Vamos corrigir o que foi feito até aqui para ver?

Neste momento, a turma toda ri e nós continuamos:

Gabriela: Vamos ver o caso do 30, que vocês fizeram com toda pressa do mundo. Quem pode vir ao quadro desenhar os retângulos que construiu com 30 quadradinhos?
Gabriel Sousa: Eu boto.

	No quadro, o aluno desenhou os retângulos 3 x 10, 6 x 5 e 1 x 30 e nós perguntamos à turma:

Gabriela: Estes são todos os retângulos que ele poderia construir?

	Para nossa surpresa, quase todos os alunos responderam que sim, isto é, esqueceram do retângulo 2 x 15. Continuando a correção e verificamos que, quase sempre a maioria das duplas se esquecia dos mesmos retângulos. O quadro abaixo fornece alguns exemplos:

Número de unidades	Retângulos possíveis	Retângulo (s) esquecido (s)	
18	1 x 18, 2 x 9, 3 x 6	Nenhum	
24	1 x 24, 3 x 8, 4 x 6 e 2 x 12	2 x 12	
28	1 x 28, 4 x 7 e 2 x 14	2 x 14	
36	4 x 9, 6 x 6, 1 x 36, 2 x 18 e 3 x 12	2 x 18 e 3 x 12	

	Iniciamos, então, uma investigação mais detalhada sobre os procedimentos adotados pelas duplas para obterem os retângulos. 

3) A passagem da manipulação das unidades quadradas para o cálculo mental

	Quando os alunos começaram a construir os retângulos, utilizavam muito as unidades quadradas. Construíam uma fileira com algumas delas e, em seguida, tentavam completar outras fileiras idênticas. Ao perceber que alguma ficaria incompleta, concluíam que deveriam começar novamente, alterando a quantidade de unidades quadradas da primeira fileira. Por exemplo, para construir um retângulo com 36 unidades quadradas, uma dupla fez uma fileira com 5 delas e, em seguida, fez mais 6 fileiras do mesmo tipo. Porém, ao observar que sobrou uma unidade, desistiu e reiniciou o procedimento, alterando o número de unidades quadradas da primeira fileira. O desenho abaixo dá uma idéia que foi este procedimento:

	
	Entretanto, no desenrolar da atividade, percebemos que esta estratégia inicial estava sendo deixada de lado por todas as duplas. Quase não manipulavam mais as unidades quadradas. Desenhavam imediatamente os retângulos no papel quadriculado. Aqueles que, por vezes, ainda manipulavam já partiam para a construção correta. Não levantavam hipóteses sobre ela. Curiosas sobre isso, aproveitamos um momento de correção para perguntar:

Gabriela: - Desenha lá o quadrado. Vocês ficaram o tempo todo pegando no quadradinho? Quem não pegou no quadradinho levanta o dedo. Então vamos começar lá. Gabriel Leal! O que você pensava pra fazer a conta sem pegar no quadradinho?
Gabriel Leal: - Pensei na conta de vezes.
Gabriela: - Que conta de vezes você fazia?
Gabriel Leal: - Assim, 36 eu fiz 6 x 6.
Gabriel Souza: - Multiplicava pra chegar no resultado.
Gabriela: E você Ben Hur, como fazia?
Ben Hur: Eu dividia. Não é a mesma coisa?
Gabriela: Mas dividia o quê?
Bem Hur: Eu pensava: 36 dividido por 9 dá 4. Aí posso fazer o retângulo 4 por 9.

	Uma análise mais detalhada do conteúdo da transcrição acima nos levou a distribuir as ações dos alunos em duas categorias.

	Primeira categoria: Os alunos estimavam mentalmente pares de números cujo produto era o número de unidades quadradas de que dispunham. Por exemplo, dispondo de 36 unidades, os alunos estimavam pares de números cujo produto é 36. E, então, encontravam 4 e 9, 6 e 6 etc. 
Este tipo de ação nos permitiu inferir sobre uma possível causa para os retângulos mais esquecidos. Na busca pelos pares de números, os alunos utilizavam seus conhecimentos sobre as tabuadas que estudam desde as séries iniciais do Ensino Fundamental – tabuadas de 2 a 9. Voltando ao caso do 36, como não costumavam escrever a tabuada de 3 até 3 x 12 e a tabuada de 2 até 2 x 18, não se lembravam de que o produto destes pares também é 36.

	Segunda categoria: Os alunos dividiam mentalmente ou no rascunho o número de unidades quadradas pela seqüência de números naturais diferentes de zero. Apenas as ações de cerca de 20 % das duplas se enquadraram nesta categoria e, fortalecendo o que inferimos acima sobre os retângulos mais esquecidos, tal minoria praticamente não esquecia de nenhum retângulo. Afinal, seguindo estas ações, os mais esquecidos eram os primeiros a surgir. Nossa curiosidade se voltou, então, para as seguintes questões: A partir de que momento paravam de efetuar as divisões? Que critérios usavam para interromper as ações? A conversa transcrita abaixo foi reveladora para nosso estudo:

Gabriela: Mas vocês ficam dividindo a vida toda? Como fazem?
Ben Hur: Não. Tem uma hora que a gente para, né? Se não, a gente estaria até agora fazendo contas para o primeiro, concorda?
Gabriela: Mas, então, quando vocês resolvem parar?
Michele: Quando o número vai ficando muito grande. Quando passa da quantidade de quadradinhos que você fala.
Gabriela: Mas precisa ir realmente testando até chegar ao número que eu falei?
Ben Hur: Ah, eu não faço assim não. Quando vai chegando lá pela metade, eu já sei que posso pular para o próprio número.
Gabriela: Por quê?
Ben Hur: Porque, quando passa da metade, só dá 1, só dá 1, só dá 1... E tem resto.
Gabriela: O que só dá 1?
Ben Hur: As divisões.

	Nesta conversa percebemos que as ações dos alunos são coordenadas por algumas propriedades das relações de divisibilidade. Embora não tenham usados termos como múltiplo, fator ou divisor e talvez nem sejam capazes de expressar formalmente tais propriedades, elas estão subjacentes às suas ações.

6) Análise da reflexão sobre a atividade

	Ao final, iniciamos uma discussão com os alunos sobre a atividade. Desejávamos saber mais detalhadamente as estratégias que adotaram e as regularidades que observaram. Foram questões que propomos para a turma:

-	De que maneira obtiveram os retângulos?
-	Com que números foi possível construir quadrados? Por quê?
-	Com que números foi possível construir mais retângulos? Por quê?
-	Com que números só foi possível construir um retângulo? Por quê?

	Dando sinais de cansaço, os alunos não demonstraram interesse por responder tais questões. Quando o faziam, davam respostas curtas. Apenas com o propósito de cumprir a “obrigação” de responder. Não nos forneciam elementos pra aprofundar as discussões como desejávamos. Então adotamos um outro caminho. Propomos um desafio que se caracterizou por criar condições para que usassem raciocínios inversos aos que vinham adotando. Perguntávamos aos alunos qual a menor quantidade de unidades quadradas que deveriam pegar se quisessem formar um determinado número de retângulos. Este desafio os motivou novamente. A transcrição abaixo expõe como ele foi colocado para os alunos:

Gabriela: Um desafio mágico. Eu não vou dizer o número de quadradinhos que vocês vão pegar pra formar retângulos. Eu vou dizer assim: Eu quero que vocês consigam fazer três retângulos. Qual é o menor número de quadradinhos que vocês têm que pegar para conseguir formar três retângulos? 
Gabriel Souza: 12.
Gabriela: - Por que 12?
Gabriel Souza: 3 x 4, 12 x 1 e 2 x 6.

	Os alunos se interessaram rapidamente pelo desafio. Respondiam sem sequer pegar nas unidades quadradas. Efetuavam mentalmente seus cálculos que, por sua vez, se fundamentavam nas estratégias de ação que categorizamos anteriormente. Desta forma, aqueles cujas ações se enquadram na primeira categoria, pensavam no menor número que pudesse ser decomposto em três produtos distintos, enquanto aqueles cujas ações se enquadram na segunda categoria, buscavam números que possuíssem 6 divisores distintos.

	Dando prosseguimento à discussão, perguntamos:

Gabriela: - Depois do 12, qual é a quantidade que você vai pegar pra formar três retângulos? Michelle! Matheus! Leonardo!
Renan: 18.
Gabriela: - Quais são os retângulos que você forma com 18?
Renan: 6 x 3, 9 x 2 e 1 x 18.

	Renan é um aluno que pouco se expressava oralmente. Suas respostas tão seguras e corretas nos serviram como indício do envolvimento do grupo. Com isso, demos continuidade à conversa, procurando, na medida do possível, conduzi-la de forma a obtermos respostas às questões que havíamos colocado inicialmente, o que conseguimos com sucesso. Dentre os aspectos abordados, destacamos:

1)	A diferenciação entre primos e compostos;
2)	O desvio da discussão para o conceito de números quadrados;
3)	A tentativa de identificar um padrão para números primos e para números quadrados.

1) A diferenciação entre primos e compostos

	A conversa que permitiu tal diferenciação consistiu, na verdade, num desdobramento do desafio acima. Depois de perguntar sobre as várias quantidades de unidades quadradas que permitiam formar três retângulos, perguntamos sobre as quantidades que permitiam formar 2, 4 e até 5 retângulos. Finalizamos perguntando sobre as quantidades que permitiam formar apenas um retângulo:

Gabriela: - Com que números eu só consigo formar um retângulo?
Renan: 17.
Matheus: 7.
Luiz Antônio: 3.
Ben-hur: 2.
Leonardo: 9
Gabriela: - Nove serve?
Michelle: 23.
Ben-hur: Nove dá pra formar quadrado: 3 x 3.	

	Assim, os alunos reconheciam que havia uma seqüência de números que só permitia formar um retângulo e havia uma outra seqüência que permitia formar mais de um retângulo. Em outras palavras, construíam uma representação geométrica para os conceitos de números primos e compostos. Explorando estas representações, chegamos a abordar também algumas propriedades dos números primos, como, por exemplo, a idéia de que o único número par que é primo é o 2 e aquela de que nem todo número ímpar é primo, equívoco comum no processo de construção deste conceito:

Gabriela: - Agora eu vou falar um tipo de número pra vocês me dizerem se dá um retângulo ou mais... Se o número for par, ele vai formar só um retângulo ou mais?
Todos: - Mais.
Gabriela: - Existe algum número par que só dá um retângulo?
Todos: - Dois!
Gabriela: - Por que depois do dois não tem mais nenhum? 
Ben Hur: Porque sempre vai poder fazer assim: com o 4: 2 x 2, com o 6: 2 x 3, com o 8: 2 x 4 e assim vai.
Gabriela: E se for ímpar?
Ben Hur: Só dá um mesmo.
Gabriela: Tem certeza?
Ben Hur: Ah, não. Com o 25 dá para fazer o 5 x 5.

	Ainda com relação aos números primos e compostos, é importante mencionarmos que não demos ênfase à nomenclatura específica primos e compostos. Falávamos apenas em números que formavam apenas um retângulo e números que formavam mais de um retângulo. Entretanto o uso destes termos surgiu na fala dos alunos, que já haviam sido confrontados com conceitos ligados à divisibilidade em séries anteriores. Conforme a discussão se desenvolvia, iam substituindo o vocabulário espontaneamente. Números que formavam apenas um retângulo foram chamados primos e os demais, compostos.

2)	O desvio da discussão para o conceito de números quadrados

	Desde o início das atividades percebemos certo encantamento nos alunos quando, entre os retângulos que construíam e desenhavam, figuravam quadrados. Chegaram a suspeitar, como previmos, do fato de um quadrado também ser um retângulo, o que foi esclarecido logo para que a atividade ocorresse de forma satisfatória. Julgamos interessante enfocar os números quadrados uma vez que o contra-exemplo dado por Ben Hur para justificar que nem todo número ímpar é primo foi um número quadrado. Na transcrição abaixo expomos como retomamos este assunto:

Gabriela: - Qual é o primeiro número de quadradinhos que eu pego que vai dar pra formar um quadrado?
Ben-hur: 2 x 2 que é 4.
Gabriela: - Depois do 4 qual é o próximo número?
Ben-hur: 3 x 3 que é 9.

	Ainda neste primeiro momento, outro número ímpar quadrado foi mencionado. Isto permitiu que discutíssemos mais um exemplo de número ímpar que não é primo. Entretanto ocorreu um erro conceitual que, embora o objetivo da pesquisa seja a construção dos conceitos de divisibilidade, não podíamos ignorar: o aluno afirmou que o primeiro número quadrado é 4. Voltando-nos para ele, questionamos:

Gabriela: - Estes números que dão pra formar quadrado são chamados de números quadrados. O 4 dá pra formar quadrado, o 9 dá pra formar quadrado. Mas será que o primeiro quadrado é 4?
Ben Hur: 1.
Gabriela: Por quê?
Ben Hur: Porque um quadradinho tem os quatro lados iguais.

	Percebemos que a atividade contribuiu de fato para que construíssem os primeiros conceitos ligados a números primos, compostos e quadrados. Mas as colocações dos alunos nos levantavam questões: Como convencê-los de que o zero também é um número quadrado? Toda esta discussão não os teria levado a admitir que apenas os números ímpares quadrados não são primos? O que pensavam do15, do 21, por exemplo? Quando solicitamos aos alunos que dissessem outros números ímpares que não era primos, prontamente responderam 15, 21, 27 e outros, o que nos tranqüilizou quanto às últimas duas questões. Mas, com relação à primeira, só conseguimos respondê-la quando enfocamos, na discussão, as regularidades que observaram ao longo da atividade.

3)	A tentativa de identificar um padrão para números primos e para números quadrados.

	As discussões atingiram um nível de complexidade, que o foco não era mais apenas reconhecer números primos, compostos ou quadrados. Pretendíamos que os alunos observassem possíveis regularidades associadas a estes conceitos. Por isso, continuamos:

Gabriela: - É com todo número que dá pra montar quadrado?
Todos: Não.
Gabriela: Com que números podemos montar quadrados?
João: 4, 9, 16, 25...
Gabriela: - Por quê? 
João: Porque 2 x 2 dá 4, 3 x 3 dá 9, 4 x 4 dá 16, 5 x 5 dá 25.
Gabriela: Além do 25? Tem mais algum?
Renan: 36. 6 x 6 é 36.

	Como simultaneamente às falas dos alunos, escrevíamos no quadro os números na ordem crescente, perguntamos:

Gabriela: - Pra ter certeza que vai formar quadrado, qual número eu colocaria ali?
Ben Hur: 49.
Gabriela: - Por que 49?
Ben Hur: 7 x 7 dá 49.
Gabriel Souza: Depois 64. 8 x 8.

	A conversa transcrita acima sugere que os alunos começavam a reconhecer certa regularidade ou um procedimento padrão para obter a seqüência dos números quadrados. Buscavam nos cálculos suas respostas. Nem pensavam mais na representação geométrica. Aproveitamos a ênfase que davam aos cálculos para discutir novamente sobre a inclusão do zero e do um na seqüência, o que demonstraram compreender. Além disso, provocamo-los a buscar um procedimento padrão para obtenção da seqüência de números primos. Não encontrando, apenas repetiram verbalmente as ações que utilizavam para verificar se era possível construir apenas um ou mais de um retângulo com determinada quantidade de unidades quadradas.

7) Avaliação da atividade

	Para finalizar, solicitamos aos alunos que escrevessem um pequeno texto relatando o que aprenderam durante a construção de retângulos. Estes textos tiveram uma função fundamental na análise diagnóstica do trabalho realizado até então. As atividades propostas estavam sendo úteis para que os objetivos do projeto fossem alcançados? Eram suficientes? Além disso, os esforços para se fazer entender por escrito, permitiram aos alunos mais uma vez organizar os conhecimentos que construíram. Observando o material que produziram, verificamos que:

- Todos descreveram procedimentos que usaram na construção dos retângulos; 
- A maioria listou as seqüências de números primos e quadrados;
- Todos utilizavam expressões formais como primo, múltiplo, divisor;
- Para os conceitos que mencionavam, todos ofereciam exemplos numéricos;
- Em alguns casos, a explicação verbal apresentou erros, mas a representação geométrica ou os cálculos estavam corretos.

	Como desejávamos que os alunos caminhassem no sentido da generalização dos conceitos associados às relações de divisibilidades, apreendendo propriedades dos números primos e compostos, propusemos a atividade da Tábua de Pitágoras.

Conclusão

	Fazendo uma síntese das ocorrências no momento acima descrito, podemos dizer que as discussões que aconteceram durante o jogo contribuíram para que os alunos participassem ativamente da reflexão sem encontrar grandes dificuldades. O jogo, por sua vez, permitiu que os alunos construíssem uma representação geométrica para números primos e compostos. A conjugação desta representação com a representação aritmética, de acordo com a Teoria dos Campos Conceituais, criou condições para que eles construíssem significativamente tais conceitos. Finalmente, é importante mencionar que, além destes conceitos, os alunos recorriam aos conceitos de fator, múltiplo e à complementaridade entre a multiplicação e a divisão. Assim, números primos e compostos não foram abordados isoladamente. Havia uma gama de conceitos ligados a eles que serviram como suporte e também foram aprimorados, o que também pode ser fundamentado pela teoria de Vergnaud. 

Referências Bibliográficas
Franchi, A. (1995). Compreensão das situações multiplicativas elementares. Tese de doutorado. PUC-SP.
Franchi, A. (1999). Considerações sobre a teoria dos campos conceituais. In Alcântara Machado, S.D. et al. (1999). Educação Matemática: uma introdução. São Paulo. EDUC. pp. 155-195. 
Moreira, M.A. e Sousa, C.M.S.G. (2002). Dificuldades de alunos de Física Geral com o conceito de potencial elétrico. Projeto de pesquisa em andamento. 
Vergnaud. G. (1990). La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique des Mathématiques, 10 (23): 133-170.