UM OLHAR SOBRE ALGUNS OBSTÁCULOS QUE PERMEIAM
A AULA DE MATEMÁTICA: UM EXEMPLO COM FRAÇÕES

				José Dilson Beserra Cavalcanti
UFPE / UFRPE/ PPGEC / LICEU-UNICAP
dilsoncavalcanti@yahoo.com.br
Marcelo Câmara dos Santos 
UFPE
marcelocamaraufpe@yahoo.com.br
Zélia Maria Soares Jófili
UFRPE/PPGEC / UNICAP
jofili@uol.com.br

INTRODUÇÃO	

A matemática pode ser pensada em diversos aspectos diferentes, muitas vezes parecendo como campos de estudos distintos. Enquanto atividade humana, a matemática pode ser entendida como uma característica de organização dos objetos e eventos que acontecem no tempo e no espaço. Estimar, contar, comparar, medir, somar, dividir e diversas outras ações matemáticas são realizadas nas atividades humanas.
 
Enquanto objeto de estudo da comunidade científica, a matemática é definida como uma ciência formal. Nessa ciência formal, a lógica da matemática é predominantemente a dedutiva (SCHLIEMAN, CARRAHER & CARRAHER, 2001).

Enquanto disciplina escolar, a matemática pode ser entendida como espaço e momento para o desenvolvimento de atividades caracterizadas pela interação dialética entre a matemática organizada pela comunidade científica, pela esfera das pessoas que pensam o ensino de matemática e pela própria matemática advinda do cotidiano, da atividade humana. A sala de aula de matemática constituí-se como um locus caracterizado como um meio dinâmico e complexo, permeado por diversos fenômenos didáticos, psicológicos e sociais. Nesse locus, diversos são os obstáculos que emergem, dificultam e bloqueiam o desenvolvimento e construção dos conceitos escolares. 

Os obstáculos podem surgir, por exemplo, como mostra Bachelard (1996) das primeiras experiências, quando essas são comumente realizadas ainda sem maiores reflexões e sem qualquer crítica. O conhecimento construído das primeiras experiências pode ofuscar a razão na busca de maior clareza das idéias envolvidas. No plano pedagógico, esses primeiros obstáculos estão associados à forma simplificada com que os conteúdos são geralmente apresentados nos livros didáticos onde o formalismo não corresponde com os desafios do fenômeno cognitivo (PAIS, 2001). Diversas situações das atividades humanas levam a elaborar idéias que serão obstáculos à evolução dos conceitos escolares. Outros obstáculos por sua vez, constituem-se na própria escola, pela escolhas metodológicas dos professores, ou mesmo pelas suas próprias concepções sobre determinado conceito. 

Há diferentes tipos de obstáculos. Um tipo de obstáculo muito estudado nas ciências é o epistemológico. A definição de “Obstáculo Epistemológico” foi proposta em pelo filósofo francês Gaston Bachelard em sua obra intitulada A Formação do Espírito Científico, de 1938. 

A noção de obstáculo epistemológico está particularmente ligada ao contexto histórico das ciências. Muitas vezes essa noção é utilizada no contexto pedagógico sem considerar sua especificidade histórico-filosófica e isso tem sido alvo de críticas. por isso, a análise dos obstáculos no contexto da matemática deve ser realizada com atenção.

Segundo Pais (2001), o próprio Bachelard argumentou que a evolução dessa ciência apresentaria uma maravilhosa regularidade em seu desenvolvimento. Há presença de períodos de paradas, mas não etapas de erros e rupturas que destruíssem o saber estabelecido anteriormente. 

Devido a essas características, no presente trabalho, não buscamos uma discussão mais aprofundada sobre a utilização da definição de obstáculo epistemológico e entendemos ser mais adequado utilizarmos apenas alguns aspectos. Assim, consideramos da noção de obstáculo epistemológico que:
- o obstáculo não é a falta de conhecimento, mas pelo contrário, são conhecimentos antigos que resistem à instalação de novas concepções;
- aparece todas as vezes que uma organização do pensamento preexistente encontra-se ameaçada;
- é uma idéia que impede e bloqueia outras idéias.
	
Como utilizaremos esses aspectos no plano pedagógico, concordamos com Pais (2001) quando sugere que seria mais pertinente referir-se a obstáculos didáticos. Obstáculos Didáticos seriam conhecimentos relativamente estabilizados no plano intelectual e que poderiam dificultar a evolução da aprendizagem do saber escolar.

O conceito que vamos utilizar como referência em nosso trabalho é o de frações. O nosso interesse não é abordar todos os significados e propriedades desse conceito que é muito amplo, mas apenas utilizar algumas características do ensino-aprendizagem que sejam suficientes para exemplificar os obstáculos que discutimos. 

Fração é um conteúdo comumente introduzido no segundo ciclo (3ª e 4ª série) do ensino fundamental e o período de construção desse conceito é longo e permeado de muitas dificuldades (CAVALCANTI, 2004). O ensino introdutório sobre frações é tradicionalmente realizado por meio do modelo parte-todo, geralmente ensinado sem muito sentido para o aluno. Essas situações são, na maioria das vezes, apresentadas por figuras de um todo dividido em partes iguais, com algumas dessas partes pintadas ou hachuradas. A partir disso, são apresentados ao aluno os termos da fração; o total de partes em que o todo foi dividido corresponderá ao denominador e a quantidade de partes pintadas será o numerador da fração, trabalhando-se, a partir daí, com a representação a/b.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                        
Campos et al. (1995), em pesquisas realizadas no Brasil, mostram que esse modo de apresentar as frações pode, muitas vezes, criar nas crianças determinadas concepções que poderiam levá-las a erros, em outras situações de trabalho com os números racionais. Esses autores alertam, ainda, que essa estratégia de ensino apenas encoraja os alunos a utilizarem um procedimento de dupla contagem, sem, ao menos atribuir qualquer significado a esse novo tipo de número. Segundo os autores, o procedimento de dupla contagem se baseia na contagem do total das partes do todo e das partes pintadas, sem que as frações apareçam como significando um número em si mesmo.
                                                                                                                                                                                                                     
Pierce, Stengel & Nodding (1992) apud Zarzar, 1998, também analisaram o modo de trabalhar fração em situações envolvendo o modelo conceitual parte-todo, e o consideraram como um obstáculo para a aprendizagem das crianças, pois sugere pensar fração apenas como partes de coisas (bolos, pizzas, chocolates, etc.).
                                                                                                                                                                                         
Os estudos demonstram que os alunos enfrentam diversas dificuldades quando estudam as frações. Apresentaremos apenas algumas sem, no entanto, nos aprofundar. 
                                                                                                                                                                                        
- Dificuldade em fazer comparações entre frações, pois estando acostumados com a relação 3 > 2, terão de compreender uma desigualdade que lhes parece contraditória, ou seja,  < . Nesse caso, o conhecimento das propriedades dos números naturais seria um obstáculo, pois a lógica utilizada nos naturais, não seria condizente com a das frações.

- Dificuldade de aceitar que ao multiplicar 10 por o resultado obtido será menor do que 10, pois estão também acostumados a esperar que quando multiplicado um natural por outro natural (sendo este diferente de 0 ou 1) a expectativa é de encontrar um número maior que ambos (BRASIL, 1998). 

Silva (1997) discute que os alunos têm dificuldades em aceitar as frações como número. Considerando-se que o número fracionário “surge” da partição de algo que representa um inteiro, aqui se denota a não interpretação da criança de fração como um único número, pois, há uma confusão em que a criança a reconhece como um par de números naturais. Baseado em pesquisas com adolescentes, Streefland (1991) afirma que as crianças buscam o conhecimento que dispõem sobre os números naturais e estende-os para as frações. Dessa forma, tendem a tratar a fração como se fossem dois números naturais, um em cima do outro, e não como um número distinto e único.
                                                                                                                                                                                      
A forma de ensino de frações que vimos acima, que é comumente ensinada nas escolas, organiza de uma “certa forma” a idéia do conceito de fração. Tal forma de conceber a idéia de fração ilustra o que queremos tratar como obstáculo. Os sujeitos ao serem confrontados com as diversas situações envolvendo frações terão de lidar com seus conhecimentos antigos (as idéias dos números naturais construídas com números naturais) que serão bloqueios à instalação de novas concepções. 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           
METODOLOGIA
                                                                                                                                                                                                     
Participaram da pesquisa nove alunos da 6ª série e nove da 8ª série do ensino fundamental de uma Escola Pública, e 41 professores do ensino fundamental I, lecionando 3ª e 4ª séries. Todos os professores eram efetivos da Rede Municipal de Educação e representavam 82% dos professores que lecionavam séries do 2º ciclo (3ª e 4ª séries) do ensino fundamental no município.
                                                                                                                                                                                                                                     
O trabalho com os alunos foi uma atividade investigativa em aplicamos um teste com oito itens envolvendo diferentes conceitos de matemática dos quais utilizamos dois para nossa análise. 
                                                                                                                                                                                           
Com os professores foi realizada uma pesquisa monográfica onde buscamos identificar o comportamento dos sujeitos em relação ao conceito de fração e de equivalência de frações. Nessa pesquisa utilizamos como instrumento um teste constituído de 8 quesitos alguns delas com subitens. Na composição do teste levamos em conta diferentes significados assumidos pelas frações, como o modelo parte-todo (em unidades discretas e contínuas) e quociente de dois inteiros, razão e operador. É importante deixar claro que neste artigo vamos utilizar para análise apenas um item do teste que aplicamos aos professores.

RESULTADOS
  												
Vamos agora apresentar os itens do teste, buscando explicitar o objetivo de cada um deles e os resultados encontrados. 

1) Na expressão 1/x, quando x aumenta o que acontece com o valor da expressão? (x pertencendo aos naturais e sendo maior que zero).

Com essa questão buscamos verificar se os alunos reconheciam que quanto maior o denominador menor seria o valor da expressão. 

Série	Aumenta	Diminui	Outras respostas/Branco	
6ª 	11,0%	11,0%	78%	
8ª 	56,0%	22,0%	22%	
Média	33,5%	16,5%	50%	

O índice médio de acertos foi de apenas 16,5% dos sujeitos. Considerando que os sujeitos são alunos de 6ª e 8ª séries, que geralmente já deveriam ter uma boa instrução sobre este conceito, os resultados são no mínimo preocupantes. Por que será que tão pouco dos sujeitos perceberam que o valor da expressão diminuiria? O que dificulta essa compreensão? Seria a falta de conhecimentos sobre fração? Ou a forma de introduzir e estudar esse conceito seria um obstáculo, pois não permite perceber diversas propriedades relevantes das frações? Por esse mesmo motivo poderia o conhecimento da lógica dos números naturais contituir-se em um obstáculo?

Como demonstram os resultados, nessa questão pode-se chamar a atenção para a hipótese de que como vimos anteriormente (STREEFLAND, 1991; CAMPOS et al., 1995; BRASIL, 1998) o ensino de frações pode ser um obstáculo, pois não favorece entender fração com um número distinto nem favorece reconhecer fração como um quociente entre dois inteiros. Dessa forma, tendem a utilizar a lógica dos naturais onde 2 < 3 < 4 < 5...para 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 etc. 
                                                                                                                                                        
2) Existe número que multiplicado por 7 dá 3? Se existe qual é esse número?

	Existe e é 3/7	Não existe	Outras respostas/Branco	
6ª série	0%	100%	0%	
8ª série	33%	56%	11%	
Professores	22%	42%	36%	
Média	18%	66%	16%	

Todos os alunos da 6ª série erraram essa questão respondendo categoricamente que não existe número que multiplicado por 7 dê como resultado 3. Cerca de metade dos alunos da 8ª série e dos professores também responderam que não existe tal número que multiplicado por 7 dá 3. No total, dois em cada 3 sujeitos responderam que não existe. O índice de rendimento foi muito baixo e preocupante, pois os sujeitos dessa vez não eram apenas alunos do ensino fundamental, mas também professores. 

Outro fato preocupante é que o rendimento dos professores foi menor que o dos alunos da 8ª série. Em relação a isso, chamamos a atenção ao pormenor de que 28% das respostas outras e em branco dos professores (ver linha e coluna 4) assinalavam que existia sim tal número, porém esses professores não conseguiram identificar que era 3/7. Entre as respostas eles relacionaram o 3 e o 7 em operações aritméticas, sem reconhecer a relação entre eles que seria o número fracionário 3/7. Para evitar interpretações generalizadas da comparação entre os alunos de 8ª série e os professores, é importante considerar a diferença da amostra. A quantidade de alunos que respondeu ao teste foi de apenas 22% do total de professores. Então, se 3 alunos acertaram, isso corresponderia a 33%, enquanto que 9 professores acertando, isso só corresponderia a 22%. Sugerimos assim atenção para que não haja generalizações, pois são fatos particulares.

PRINCIPAIS CONCLUSÕES

Esse estudo buscou discutir de certa forma, a presença de obstáculos na compreensão dos sujeitos sobre conceitos matemáticos, em particular, aspectos do conceito de fração. O baixo índice de rendimento a nosso ver, permitiu perceber que o obstáculo não é a falta de conhecimento, mas pelo contrário, são conhecimentos antigos que resistem à instalação de novas concepções. No caso da questão 1, o x seria um obstáculo, pois os alunos poderiam estar acostumados a considerar como fração dois números naturais um em cima do outro? Ou poderia ser o conhecimento antigo dos números naturais resistindo à instalação de novas concepções? 

Como vimos na introdução, um obstáculo aparece todas as vezes que uma organização do pensamento preexistente encontra-se ameaçada. Ele seria uma idéia que impede e bloqueia outras idéias. A noção de obstáculo didático pode ser muito bem exemplificado pela análise da questão 2. Tanto no dia-a-dia, como na escola, muitas das situações da aritmética associam à multiplicação a idéia de que o produto de dois números é sempre maior que os fatores. Esse conhecimento pode se cristalizar, pois parece que os alunos estudaram sob essa lógica a maior parte do tempo e os professores, lecionando no ensino fundamental, não têm refletido sobre o fato. 

No enunciado da questão 2 solicita-se reconhecer uma multiplicação onde um dos fatores é sete e o produto é 3. Então, o conhecimento dos sujeitos sobre os números naturais, onde o produto é sempre maior que os fatores, pode ser um obstáculo didático à aprendizagem das propriedades do produto envolvendo números racionais, para os quais tal proposição como a questão demonstra, nem sempre é verdadeira.   

Outra possibilidade para resultados tão inquietantes pode ser a forma de ensino que limita o entendimento sobre frações apenas ao modelo de relação parte-todo. Tal conhecimento pode assim ser um obstáculo ao reconhecimento de novos significados, como nesse caso, a fração é entendida como operador (BRASIL, 1998; CAVALCANTI, 2004; CAVALCANTI e CÂMARA DOS SANTOS, 2006). Também a forma de ver a fração como dois números um em cima do outro e não como um número em si, seria um conhecimento que poderia ser obstáculo a aceitar o significado de operador assumido pela fração 3/7 que atua e transforma, pela multiplicação, o número 7 em 3.

Ainda gostaríamos de sugerir que os obstáculos são resistentes, e que alguns aspectos dos conceitos podem ultrapassar todo o ensino escolar sem ser refletido e em determinada situação podem agir como obstáculo didático. Como vimos, o obstáculo em reconhecer o número que multiplicado por 7 dá 3 foi verificado nos alunos da 6ª e da 8ª séries e nos professores do ensino fundamental I que já tinham ultrapassado todo o ensino escolar básico e alguns até o ensino superior. 

Concordamos com Pais (2001) quando sugere que nas aulas de matemática em geral tem-se como objeto de aprendizagem determinado conceito, é preciso entender como ocorre a reorganização intelectual de modo que o novo conhecimento entre em harmonia com os anteriores. 

Torna-se assim relevante o estudo dos obstáculos pois é nesse momento que eles se manifestam e que a organização do pensamento preexistente se encontra questionado, pois muitas vezes, para que ocorra a aprendizagem, são necessárias rupturas com os saberes cotidianos, e, às vezes com os saberes escolares anteriores.

REFERÊNCIAS

PAIS, Luiz Carlos. Didática da Matemática: uma análise da influência francesa. Coleção Tendências em Educação Matemática, 3. Belo Horizonte: Autêntica., 2001, 128p.

BACHELARD, G. A formação do espírito científico. São Paulo: Contraponto, 1996.

BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Secretaria de Educação Fundamental – Brasília. MEC/SEF, 1998.

CAMPOS, T., JAHN, A. P., LEME da SILVA, M. C., e FERREIRA da SILVA, M. J. Lógica das Equivalências. PUC, São Paulo: Relatório de Pesquisa não publicado, 1995.

CAVALCANTI, J. D. B. Concepções sobre fração de professores da 1ª fase do ensino fundamental do município de Tupanatinga. Monografia de especialização não publicada. Orientador Dr. Marcelo Câmara dos Santos. Pós-Graduação em Educação, Universidade Federal de Pernambuco, Recife- PE, 2004, 101p.

____________. CÂMARA DOS SANTOS, M. A Compreensão de Professores das Séries Iniciais do Ensino Fundamental sobre os Diferentes Significados das Frações: O Caso do Município de Tupanatinga. In: Anais do SIPEMAT. Recife, Programa de Pós-Graduação em Educação -Centro de Educação – Universidade Federal de Pernambuco, 2006, 14p.