O COMPORTAMENTO DE UM PROFESSOR DO ENSINO BÁSICO FRENTE A UMA SITUAÇÃO DE DEMONSTRAÇÃO EM MATEMÁTICA

Cristiana Abud da Silva Fusco – PUC/SP – cfusco@pucsp.br
Maria José Ferreira da Silva – PUC/SP – zezé@pucsp.br
Saddo Ag Almouloud – PUC/SP – saddoag@pucsp.br

I Introdução: motivação, justificativa, objetivo do trabalho.
Atualmente, verificamos, sem grande dificuldade, que no ensino fundamental e médio, não se dá ênfase ao ensino de demonstrações em matemática. Um dos motivos pode ser a elaboração, pelo próprio professor, do planejamento de sua disciplina de acordo com as necessidades da clientela, sugerida pela Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB, 1996). Levantamos a hipótese de que os professores, em geral, não consideram as exigências para o ensino e a aprendizagem da matemática que prevê, a partir da sétima série, que o aluno inicie a justificar, a provar e a demonstrar alguns resultados a fim de torná-los indiscutíveis.
Além disso, existem problemas específicos da demonstração na formação inicial. Para Garnica (1995 apud Cury e Hack, 2000) os professores universitários reconhecem a importância da demonstração, mas fazem duas leituras diferentes. Uma delas considera o ponto de vista técnico e se apóia no fazer matemático profissional; a outra considera o ponto de vista crítico. Para Cury e Hack (2000, p. 1-2) a formação inicial do professor de Matemática “apresenta” essas duas visões, mas 
especialmente a visão técnica, nas disciplinas de conteúdo específico, tem dificuldade de entender a razão pela qual deve ser feita a demonstração, especialmente se esta lhe é “jogada” para que seja reproduzida fielmente em avaliações da aprendizagem.
No intuito de discutir esses e outros problemas a respeito de demonstração, grupos de pesquisadores preocupam-se em resgatar atividades matemáticas que proporcionem o desenvolvimento do raciocínio dedutivo presente, com certeza, na demonstração de resultados matemáticos. Entre eles, Almouloud e Fusco (2006) discutem as noções que alguns professores da rede pública do Estado de São Paulo possuem a respeito de teoremas e demonstrações que aparecem nos textos didáticos voltados para os ensinos fundamental e médio. Tanto nesse trabalho, quanto no que passaremos a desenvolver, os dados foram coletados a partir de um projeto realizado com professores da rede pública do Estado de São Paulo.
Tais professores participam como voluntários de um projeto de pesquisa que trata do raciocínio dedutivo nos processos de ensino e de aprendizagem da matemática nas séries finais do ensino fundamental. Os encontros são semanais, com duração de três horas e, neles, uma pesquisadora orienta os trabalhos que, ora são realizados individualmente, ora em duplas ou trios. Geralmente, os professores recebem material fotocopiado com problemas para serem resolvidos nos grupos e, depois, discutidos, com as soluções colocadas na lousa. Vale destacar que a maioria dos professores participantes dessa pesquisa, mesmo efetivados na rede estadual de ensino, não possuem licenciatura em matemática e sim uma complementação que os habilita a lecionar essa disciplina.
No decorrer do projeto, os professores realizam atividades que favorecem a compreensão do significado de demonstração e de seu papel no ensino, com o propósito de incentivá-los a integrar provas e demonstrações ao processo de formação de seus alunos “ajudando-os a restituir a historicidade de prova, de demonstração e de rigor matemático” (Gouvêa, 1998, p. 1). Tal preocupação está presente também nos PCN, tanto do Ensino Fundamental, quanto do Médio, indicando a demonstração como parte integrante do currículo, como podemos ver no seguinte trecho:
[...] é desejável que no terceiro ciclo se trabalhe para desenvolver a argumentação, de modo que os alunos não se satisfaçam apenas com a produção de respostas a afirmações, mas assumam a atitude de sempre tentar justificá-las. Tendo por base esse trabalho, pode-se avançar no quarto ciclo para que o aluno reconheça a importância das demonstrações em Matemática, compreendendo provas de alguns teoremas. (PCN, 1998, p. 71).
Neste sentido, temos como um de nossos objetivos encaminhar os professores a entenderem os caminhos da demonstração, bem como de provas e justificativas, para que possam desenvolver a autonomia necessária para trabalhar situações que envolvam esses procedimentos com seus alunos em sala de aula.
Os professores, já no primeiro encontro, manifestaram o interesse de estudar Análise Combinatória. Vimos, neste conteúdo, a possibilidade de discutir o papel das demonstrações a partir da generalização de alguns processos de resolução de problemas. Dessa forma, vários problemas foram resolvidos e discutidos, tendo seus processos generalizados e, posteriormente, demonstrados. 
A seguir, algumas atividades foram desenvolvidas para buscar o sentido do contra-exemplo, outras para tratar de demonstrações por passos, de acordo com Houdebine et al (1998). Este autor acredita que, para o aluno demonstrar corretamente, é necessário que domine as estruturas desse tipo de texto, mesmo que implicitamente, visto que são complexas para serem apresentadas explicitamente. Ele sugere que os professores capacitem os alunos a escrever demonstrações sem explicitar suas estruturas, sugerindo, então, um estudo dessas estruturas. Neste sentido, a mais simples das estruturas é o passo de demonstração encadeado para obter a conclusão procurada a partir dos dados do problema. Apresenta quatro elementos para o passo de demonstração: o primeiro, chamado contexto do passo indica a escolha do elemento ao qual vai se aplicar a proposição ou teorema. O segundo, denominado proposições de entrada ou hipótese do passo, corresponde às proposições que servem de dados para esse passo. O terceiro elemento é a indicação do teorema ou definição em jogo e, finalmente, o quarto é a conclusão do teorema para o objeto ao qual é aplicado.
Nosso projeto de pesquisa, intitulado O raciocínio dedutivo no processo de ensino e aprendizagem da Matemática nas séries finais do Ensino Fundamental, tem como um de seus principais objetivos contribuir com o processo de ensino e aprendizagem tanto na aquisição de conteúdos (construção de conceitos) quanto no aprimoramento de conhecimentos que auxiliem os professores na elaboração de estratégias adequadas para resolução de problemas que envolvam raciocínio dedutivo em sala de aula. Eis uma de nossas questões: quais ações desenvolver com os professores para lhes proporcionar uma apreensão significativa dos problemas que envolvem provas e demonstrações?
Neste projeto, adotamos os princípios da pesquisa-ação, pois ele foi concebido e está sendo realizado em estreita associação com uma ação ou com a resolução de problema coletivo no qual tanto os pesquisadores quanto os professores participantes estão envolvidos de modo cooperativo ou participativo (Thiolent, 1998).
II Prova e demonstração: uma reflexão teórica
Buscando reflexões teóricas a respeito das demonstrações em Matemática percebemos que alguns autores se debruçam para nos explicar a demonstração do ponto de vista cognitivo, enquanto outros procuram diferenciar explicação, argumentação, prova e demonstração de um ponto de vista de estrutura de construção ou de discurso.
No primeiro caso, temos Duval (1995), que, ao analisar as causas do fracasso no ensino e na aprendizagem da demonstração em Matemática, entende a demonstração como uma atividade cognitiva específica, cuja aprendizagem não está ligada a uma situação de interação social, nem subordinada à pressões internas de um objeto. Pelo contrário, é um modo de processamento cognitivo autônomo, com características específicas, quando comparada com outras formas de funcionamento de raciocínio como a indução, a argumentação ou a interpretação. Para o autor, a aprendizagem da demonstração consiste, primeiramente, na conscientização de que se trata de um discurso diferente do que é praticado pelo pensamento natural. No entanto, tal conscientização só ocorre pela articulação de dois registros, sendo um deles o da linguagem natural, que acredita deva ser utilizado pelo aluno. 
Analisando as condições cognitivas para a compreensão do que é demonstrar, Duval (2000) afirma que a demonstração funciona de acordo com um mecanismo normal de expansão discursiva, por substituição de enunciados e não por um mecanismo normal de expansão discursiva, como ocorre em uma descrição ou narrativa, pois a demonstração exige que o sujeito realize uma seqüência de operações discursivas passo a passo. Nesta organização dedutiva, a seqüência dos enunciados é produzida pela substituição de um enunciado (como hipótese ou resultado de substituição já efetuada) por um novo, que é efetuada explicitamente por causa de um enunciado normativo (definição, axioma, teorema) que funciona como regra. Para o autor: “demonstrar consiste [...] de um ponto de vista cognitivo, em transformar um enunciado dado de partida (ou vários) por um enunciado – resultado de uma ou várias substituições.” (DUVAL e EGRET, 1989, p. 29). 
Já Balacheff (1987, apud Arsac, 1987, p. 273) distingue explicação, prova e demonstração, para ele:
Chama-se explicação um discurso que visa tornar inteligível o caráter verdade, adquirido para o locutor, de uma proposição ou de um resultado. As razões empregadas podem ser discutidas, refutadas ou aceitas.
Chama-se prova uma explicação aceita por uma certa comunidade em um dado momento. Esta decisão pode ser o objeto de um debate cuja significação é a exigência de determinar um sistema de validação comum aos interlocutores.
No seio da comunidade matemática só podem ser aceitas como provas explicações que adotam uma forma particular. Elas são uma seqüência de enunciados organizados segundo regras determinadas: um enunciado é conhecido como sendo verdadeiro, ou é deduzido a partir daqueles que o precedem com a ajuda de uma regra de dedução tomada em um conjunto de regras bem definidas. Chamamos demonstração essas provas.
Reservamos a palavra raciocínio para designar a atividade intelectual, não explícita na maioria das vezes, de manipulação de informações para, a partir de dados, produzirem novas informações. 
Essas distinções de vocabulário evidenciam as dimensões sociais da demonstração como resultado de um processo particular de prova.
Duval (1990) diferencia demonstração de argumentação, afirmando que esta emerge de qualquer situação de interação social em que seja necessário persuadir um interlocutor ou contestar uma tese e, portanto, apresenta um desenvolvimento em que aspectos muito diferentes estão associados. Entende a argumentação como um raciocínio ordenado para fins de comunicação, que pode se opor aos desenvolvimentos de demonstração e o raciocínio dedutivo, pois a lógica de uma argumentação pode ser não formal. No entanto, vê a possibilidade, em uma perspectiva didática, da prática da argumentação poder facilitar o acesso ao raciocínio dedutivo, na medida em que se evita analisar negativamente a oposição da argumentação ao raciocínio formal.
Para Pedemonte (2002), também existem diferenças entre as estruturas de argumentação e demonstração, pois a primeira está ligada à construção de uma conjectura, enquanto a demonstração é produzida em seguida. Entende conjectura de acordo com Balacheff (1994), para quem se trata de um conjunto de um enunciado, de uma argumentação e de um conjunto de concepções, sendo que o enunciado da conjectura é potencialmente verdadeiro quando as concepções do aluno permitirem a construção de uma argumentação que a “justifique”. 
No entanto, Balacheff (1999) acredita que a argumentação e a demonstração podem ser confundidas de acordo com o gênero dos textos que são elaborados, pois considera que, na argumentação, há um duplo movimento de persuasão e de prova. Acrescenta que a argumentação, nas práticas ordinárias, é espontânea e pode se desenvolver nos intercâmbios familiares, o que permitiria ao aluno desenvolver sua competência argumentativa. Por outro lado, vê esta prática como inadequada para as aulas de Matemática e considera um erro de caráter epistemológico conduzir os alunos a acreditarem que são capazes de produzir uma prova, quando não fazem outra coisa senão argumentar. Para o autor: “a argumentação está para a conjectura assim como a demonstração está para o teorema.” (p. 5).
No mesmo sentido de Balacheff, para Douek e Pichat (2003, p. 53) a palavra “argumentação” é utilizada para designar:
o processo de produção de um discurso logicamente conectado (mas não necessariamente dedutivo) sobre um tema, e seu produto (cf Boero, Douek e Ferrari, 2002, p. 250). A argumentação Matemática pode ser caracterizada como um tipo peculiar de argumentação, que lida com objetos matemáticos e habilidades (incluindo habilidades lógicas gerais que são relevantes no discurso matemático, como a orientação do raciocínio hipotético).
Sob outro ponto de vista, Duval (2000) estuda a diferença entre a linguagem natural oral e escrita, observando que a passagem de uma para outra conduz um discurso-comentário em linguagem natural para um discurso operatório em um discurso simbólico que remete à diferenças cognitivas entre a expressão oral e a expressão escrita. Ele afirma que: 
para a aprendizagem da Matemática, é crucial passar à uma produção escrita que utiliza todas as possibilidades cognitivas específicas de organização e de controle que oferece a representação visual do discurso (p. 1).
Neste sentido, o autor diferencia dois tipos de escrita: o transcrever e o escrever. A primeira, como uma prática que fica inteiramente no campo do funcionamento cognitivo da expressão oral, quando “se tomam notas”, se redige “para si próprio” ou para “guardar uma impressão”. Para escrever, acredita que utilizam as duas maiores possibilidade de representação visual do discurso: a apreensão total do discurso (sua organização) e a comunicação de uma proposição ou a respeito de objetos do mundo real.
Mais particularmente, dá ao sujeito a percepção do que ele expressa como se estivesse na posição de um outro, escrever estimula um processo de auto-interação inteiramente controlável na produção do discurso. Somente no nível da prática escrita que as possibilidades discursivas de uma língua, e particularmente, as formas de raciocínios válidas, podem ser realmente mobilizadas e percebidas pelos sujeitos. A escrita é a verdadeira prova de compreensão e de interpretação de desenvolvimentos teóricos. (DUVAL, 2000, p. 146).
Assim, entendemos que seja importante diferenciar, na formação continuada do professor, a prova da demonstração, de acordo com Balacheff (1987) e ainda os aspectos do transcrever e escrever, de acordo com Duval (2000), visto que acreditamos que a prática da escrita em Matemática privilegia o transcrever em detrimento do escrever que efetivamente auxiliaria na aprendizagem da demonstração.
No que segue, apresentamos um estudo de caso que analisa o comportamento de uma professora em formação continuada perante uma atividade de demonstração.
III Estudo de caso
Para este trabalho, investigamos o comportamento de uma professora que já participa do projeto a respeito do raciocínio dedutivo, mencionado anteriormente. O fato de a referida professora já estar habituada com a dinâmica das atividades além de estar envolvida com questões relativas a demonstração foi decisivo para sua escolha, uma vez que ela vinha avançando na reconstrução de seus conceitos a respeito de demonstração. Apesar desses avanços, tivemos a intenção de investigar, por meio de um estudo de caso, quais seriam os possíveis entraves que essa professora encontraria ao ser exposta a uma nova situação relativa à demonstração, na qual deveria realizar um trabalho de escrita e outro de transcrição.
Durante a sessão em que ocorreu a atividade a ser descrita posteriormente, em detalhes, contamos com a presença de uma professora observadora. Nessa pesquisa, o estudo de caso propiciou-nos obter os dados para a nossa questão, considerando-se que essa modalidade “[...] é recomendável para a construção de hipóteses, para confirmação ou reformulação do problema e, sobretudo, quando se quer estudar algo singular, que tenha um valor em si mesmo” (Fiorentin e Lorenzato, 2—6, p. 109-110). Vale mencionar que o estudo de caso segue uma abordagem qualitativa e busca retratar a realidade de forma profunda e completa. No presente trabalho, nosso estudo de caso pretende observar: quais seriam, caso existam, as diferenças de comportamento de um professor do ensino básico ao enfrentar situações de escrita e transcrição da demonstração de uma proposição? Tal estudo, evidentemente, contribuirá na busca de respostas para a questão de pesquisa apresentada acima.
Esta professora é casada, tem 47 anos e leciona Matemática há seis anos tendo já trabalhado em todas as séries do Ensino Fundamental e Médio. No início da formação, ministrava 33 aulas semanais em uma escola estadual. Cursou licenciatura curta em Matemática e fez complementação para a licenciatura plena na mesma área. Faz parte de nosso projeto desde 2000, participou do I CabriWord e foi monitora no projeto Construindo Sempre Matemática, ambos pela PUC/SP.
Possui computador pessoal e o utiliza, por aproximadamente 15 horas semanais, para pesquisas na internet, enviar email, participar de fóruns, estudar o Cabri e digitar provas e trabalhos. Em sala de aula utiliza-o para ensinar Geometria com o Cabri.
Conhece e utiliza os PCN porque "é muito importante para nos orientar sobre os assuntos mais necessários", os Experiências Matemáticas porque "é um material didático muito bom, faz o aluno caminhar passo a passo para a aprendizagem" e a Revista de Educação Matemática da SBEM para preparar suas aulas. Justifica a utilização de Experiências Matemáticas e do material de Correção de Fluxo por não serem técnicos e possuírem linguagem clara.
Descreveremos a seguir uma atividade realizada com professores da rede pública participantes do projeto anteriormente mencionado, destacando a participação de uma professora que passaremos a denominar de P1, sujeito de nosso estudo de caso.
Cada professor do grupo recebeu um material fotocopiado intitulado “Iniciação à demonstração em geometria”, contendo dez atividades, das quais analisaremos uma neste trabalho, cujo enunciado é:
Atividade 07: a lei do ponto médio 
Sejam quatro pontos A, B, C e D alinhados nesta ordem e tal que AB = CD.

a) Demonstre que o ponto médio do segmento de BC é também o ponto médio do segmento AD.
b) Coloque em ordem as sete frases abaixo, a fim de obter uma demonstração dessa propriedade:
(I) Donde AM = MD
(II) Ora, por hipótese: AB = CD
(III) M é, então, o ponto médio de AD
(IV) Por definição de ponto médio, tem-se: BM = MC
(V) Seja M o ponto médio de BC
(VI) Então, AB + BM = CD + MC
(VII) A, M e D alinhados.
Nosso objetivo com essa atividade era observar o comportamento dos professores quando enfrentam situações de escrita e transcrição, visto que, no item (a) a tarefa solicitava a escrita de uma demonstração, enquanto no item (b) a tarefa solicitava a reorganização de frases apresentadas, a fim de que a demonstração da mesma propriedade fosse alcançada. Observe que, ao terminar a tarefa (a), os professores poderiam se apoiar na parte (b) para verificar o que foi feito, no entanto, como veremos a seguir, a professora observada, tratada aqui por P1, não utilizou esse recurso.
Os professores haviam recebido esse material na semana anterior e o deveriam ter trazido para o encontro essa atividade resolvida. A formadora solicita que um dos professores vá à lousa para registrar como realizou essa parte da atividade. “A professora P1 se oferece para ir à lousa, mas somente para colocar seus “rabiscos”, pois afirma que: “ Não demonstrei, rabisquei”. Na lousa, ela reproduz o desenho apresentado no enunciado e escreve:
Hip: A, B, C, D alinhados nesta ordem
        AB = CD
Tese: BC e AD mesmo ponto médio
A seguir, a formadora indaga aos participantes do grupo se concordam ou não com o que a colega escreveu na lousa. Nada respondem, demonstrando dúvidas através de suas fisionomias. A formadora, percebendo o que ocorre, avança, indagando: “Não tem mais nenhuma hipótese?” Dois professores respondem que o ponto M também é hipótese. A formadora lê vagarosamente o enunciado e pergunta: “Ele (ponto M) ser ponto médio de BC não é hipótese?”
A professora P1, que está na lousa, completa a hipótese escrevendo que M é ponto médio de BC e a formadora, a seguir, questiona a respeito da tese. A professora P1 então escreve: Tese: M é ponto médio de AD. E acrescenta a seguir, na tese, que BM = MC comentando: Eu não soube escrever, eu só escrevi isto aqui. Escrevi não, simbolizei só.”
A formadora intervém dizendo que nesta escrita ela está utilizando uma das hipóteses, porque: “Como M é ponto médio de  então BM = MC.” A seguir, questiona a respeito da tese e todos percebem que a demonstração deve concluir que M é ponto médio de . A professora P1 comenta: “eu não tinha achado isso como tese.” A partir daí, professora P1 continua na lousa registrando sua demonstração que é conduzida pela formadora que faz perguntas ao grupo do tipo: e agora, o que a gente vai escrever? No momento de utilizar a hipótese que AB = CD a professora não conseguiu relacioná-la ao que já tinha feito e a formadora interviu: “sabe o que está acontecendo? Esta medida é igual a esta (BM = MC) e esta medida é igual a esta (AB = CD) o que acontece se eu tomar estas duas medidas (AB e BM) e estas (MC e CD)? A partir daí, a professora avançou com sua demonstração. Mas, a formadora interferiu novamente, perguntando: “Por que podemos falar que BM + CD = AM?” E a seguir, “qual hipótese ainda não foi usada?” Como não obteve resposta, alertou para a questão de os pontos estarem alinhados nessa ordem e mostrou, com um desenho que, se isto não ocorresse, não seria possível tirar essa conclusão.
A partir daí, com as respostas do grupo, a demonstração fica assim:
Como AB = CD por hipótese vem que BM + AB = MC + CD.
Se BM + AB = AM e MC + CD = MD, pois A, B, C e D estão alinhados, logo, AM = MD e M é o ponto médio de AD.
A formadora, no final, comenta com o grupo sobre a diferença entre falar e escrever, mostrando no quadro o quanto o professor de Matemática utiliza gestos enquanto fala e a impossibilidade de simplesmente transcrever os procedimentos de fala e gestos, no quadro negro para o papel. Discutem, ainda, a diferença entre a escrita natural e a escrita matemática.
Podemos observar, a partir da descrição apresentada, que o item (a) solicitava uma redação total da demonstração de que M é o ponto médio de um segmento a partir de uma figura contendo quatro pontos alinhados. Analisando a resolução apresentada pela professora, pudemos observar, em primeiro lugar, que ela inicia sua demonstração apresentando hipóteses e tese, embora não tenha clareza a respeito do que significam em sua organização, pois além de confundi-las não foi, para essa professora, uma ação tranqüila retirar do enunciado todos os elementos que fazem parte da hipótese.
Além disso, observamos, também, que citam o ponto M como hipótese e não que M é ponto médio do segmento BC, percebe-se que mesmo na comunicação oral eles não se expressam com clareza. A formadora teve que ler o enunciado da proposição para que o grupo e a professora P1, que se encontrava na lousa, percebessem que “M é ponto médio de BC”, também era hipótese. Acreditávamos que essa demonstração, que não tem enunciado complexo e ainda se apóia em uma figura, ocorresse sem grandes dificuldades, até como conseqüência do trabalho anteriormente feito. No entanto, a articulação desse enunciado com a demonstração requer uma série de transformações ou substituições, que conduzam à validação da afirmação contida no enunciado, o que não foi percebida pelos professores.
Outra questão observada trata de registrar o que realmente se deseja comprovar, isto é, conseguir expressar por meio da língua natural ou por meio de expressões matemáticas ou, ainda, da linguagem simbólica, o que se pretende demonstrar – obter o resultado pretendido a partir da proposição feita.
Notamos, nitidamente, a força da expressão oral e a dificuldade da passagem de um discurso em linguagem natural e gestos para um discurso escrito, ou seja um discurso operatório e um discurso simbólico, confirmando o observado por Duval (2000), embora mesmo no quadro negro e podendo se expressar oralmente a professora não conseguiu construir um argumento que convencesse de que o encadeamento estivesse correto. Em outras situações, a argumentação oral geralmente funciona se consegue mostrar a validade de algumas proposições, o que não acontece, na maioria das vezes, quando o solicitado é a escrita.
Quanto ao item (b), a formadora vai ao quadro e, interagindo com os professores, vai escrevendo as frases na ordem em que eles vão falando destacando as expressões do tipo “donde” e “ora”, visto que tais termos poderiam ajudar na organização pretendida: “donde” introduz um passo de conclusão enquanto “ora” introduz um argumento, que no caso seria a hipótese, mas que poderia ser também um teorema ou uma definição.
Os professores concluem que a frase (III) deve ser a última porque representa a conclusão da demonstração e, portanto, a tese. A seqüência fica assim:
(II)	Ora, por hipótese AB = CD e
(VII)	A, M e D alinhados.
(V)	Seja M o ponto médio de BC
(IV)	Por definição de ponto médio, tem-se: BM = MC
(VI)	Então, AB + BM = CD + MC
(I)	Donde AM = MD
(III)	M é, então, o ponto médio de AD
A formadora solicita, então, que a professora P1 dite as frases da seqüência que havia organizado para que fossem escritas na lousa e comentadas e ela apresentou:
(V)	Seja M o ponto médio de BC
(IV)	Por definição de ponto médio, tem-se: BM = MC
(II)	Ora, por hipótese AB = CD	
(VII)	A, M e D alinhados.
(III)	M é, então, o ponto médio de AD
(VI)	Então, AB + BM = CD + MC	
(I)	Donde AM = MD
Embora, o grupo tivesse concluído que o item (III) era o último a ser apresentado, a professora solicitava a confirmação da validade de sua organização visto que apresentou a conclusão da demonstração em outra ordem. A formadora, antes de discutir essa organização, apresenta outra opção sugerida para as quatro primeiras frases:
(VII)	A, M e D alinhados.
(V)	Seja M o ponto médio de BC
(IV)	Por definição de ponto médio, tem-se: BM = MC
(II)	Ora, por hipótese AB = CD	
Os professores concordam que seria outra a maneira de encadear e a formadora questiona, então, a respeito da ordem das três frases restantes. A professora P1 e o resto do grupo concluem que a ordem deveria ser (VI), (I), (III) e, portanto, a organização apresentada por P1, não estaria correta visto que não podemos concluir a frase (III) da (VII). Conclui-se então que só temos uma opção para o final da organização, mas que, nas quatro primeiras frases, estamos argumentando com as hipóteses, o que depende de quem as está organizando e por isso podem aparecer em ordem diferente. Já a conclusão, em casos desse tipo, há como ter outra ordem.
O que identificamos em nosso estudo é que a professora não percebe ainda o que significa validar uma afirmação feita, o que seria um passo inicial para a demonstração, para Gálvez (1996, p. 30) nas situações de validação:
tenta-se convencer a um ou vários interlocutores da validade das afirmações que são feitas. Neste caso, os alunos devem elaborar provas para demonstrá-las. Não basta a comprovação empírica de que o que dizem é certo; é preciso explicar porque, necessariamente, deve ser assim.
A proposta do item (b) consistia em ordenar frases prontas, elencadas de forma aleatória, a fim de se obter a demonstração de uma propriedade. Apesar das frases já estarem redigidas, a organização das mesmas numa seqüência que leve o leitor a concluir de forma comprovada a proposição não consistiu em uma tarefa fácil para o grupo. Houve divergências não só na parte de argumentação, mas também e, principalmente, na finalização que apresentava a conclusão da tese. A parte inicial de argumentação realmente oferecia mais de uma opção de organização das frases, isto é, as frases (II), (IV), (V), e (VII) poderiam ser colocadas em diferentes ordens que a compreensão não ficaria prejudicada. Já com relação às três últimas afirmações que levariam a conclusão da tese não havia opção; a única ordem possível seria (VI), ( I) e (III). 
Ficou evidente que a professora P1 ao colocar essas três últimas afirmações na seguinte ordem: (III), (VI) e ( I) não conseguiu nem através de um registro já escrito reconhecer o objetivo final da demonstração que era concluir que M é o ponto médio de AD. Tal fato comprova que num estágio anterior à redação de uma demonstração existe a dificuldade de encadeamento lógico de resultados que leve a uma conclusão irrefutável do que se pretende comprovar. Nessa direção, Duval e Egret (1989, p. 30) esclarece que: 
A organização dedutiva e a argumentação constituem, por conseguinte, dois tipos de funcionamento opostos do discurso. A passagem da argumentação, que é a forma mais natural de raciocínio, à demonstração exige, por conseguinte, uma mudança de atitude intelectual completa.
As discussões realizadas durante essa atividade relativa ao ponto médio, nos permitem observar que a professora P1 compreendeu as afirmações relativas a M ser o ponto médio de alguns segmentos. Sem dúvida, a compreensão ficou facilitada pela visualização da situação, isto é, o segmento contendo os pontos A, B, M, C e D alinhados. No entanto, tanto na redação da demonstração solicitada no item a, quanto na ordenação das frases do item b, observamos dificuldades de registrar o que se pretende comprovar e a realização de um encadeamento lógico que reflita o que se pretende comprovar.
IV Considerações finais
Este estudo de caso nos revela a necessidade de mais reflexões a respeito das concepções dos professores, não apenas sobre o que é demonstração, mas também sobre o que é explicar, argumentar e provar, pois, no caso de nossa professora, a palavra demonstrar está estreitamente ligada às palavras hipótese e tese, embora não as identifique claramente nos enunciados apresentados. Fica evidente, também, a fragilidade com que esta professora do Ensino Básico trata a redação tanto da argumentação quanto da demonstrações, nos levando a acreditar que não tenha vivido experiências deste tipo em sua formação básica e mesmo em sua formação para a docência. 
Nesse sentido, Cury e Hack (2000, p. 2) de acordo com as definições de Balacheff, propõem, para disciplinas específicas de cursos de Licenciatura em Matemática, níveis diversos de demonstrações de uma determinada proposição, quando afirma que:
Poderíamos começar por uma explicação, originada por um questionamento ou por um erro surgido em atividades de ensino. A seguir, procuraríamos fazer com que os alunos provassem a proposição, a partir do debate sobre as diversas idéias surgidas.
Finalmente, tentaríamos apresentar a demonstração, que pode, ainda, ser focalizada sob diversos ângulos, mostrando ao aluno que as diversas áreas da Matemática não são estanques e que um determinado resultado pode ser validado pela Álgebra, pela Análise, pela Geometria etc.
Percebemos que mesmo a ação de transcrição foi difícil para a professora, provavelmente por não perceber o encadeamento necessário para validar a proposição apresentada a partir de frases já redigidas, mesmo já tendo discutido a respeito dos diferentes tipos de passos de uma demonstração como sugerido por Houdebine et al (1998). Pensávamos que pudessem perceber esta busca de validação na parte (b) da atividade que, literalmente, consistia em organizar frases prontas e palavras como “donde”, “ora”, “então” pudesse auxiliar nessa tarefa. O sucesso desta parte poderia contribuir para a revisão da parte (a), mas isto não ocorreu.
Na realidade, temos que buscar caminhos que promovam mudanças nas concepções dos professores a respeito de prova e demonstração, bem como nas linguagens utilizadas, algumas sem significado, a fim de prepará-los para ensinar seus alunos a raciocinar, argumentar, provar e demonstrar. Este estudo nos levou a desenvolver atividades em que os professores percebam a necessidade destes processos para o ensino, com base em conteúdos presentes no Ensino Fundamental. 

Referências
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