CONCEITOS BÁSICOS DE TESTES DE HIPÓTESES ATRAVÉS DE AULAS INVESTIGATIVAS.

José Marcos Lopes
UNESP/Ilha Solteira
jmlopes@mat.feis.unesp.br

Introdução
É inegável nos dias de hoje a importância da Estatística na vida do cidadão. Para o exercício pleno da cidadania, o indivíduo deve além de saber ler gráficos e tabelas, saber interpretar e poder avaliar criticamente, as informações estatísticas constantemente divulgadas pela mídia no campo da política, da economia, da medicina, da educação e nos censos. A natureza da Estatística possibilita a pessoas mal intencionadas e não éticas o uso inadequado de seus métodos. “Todo cidadão precisa saber quando um argumento estatístico está ou não a ser utilizado com propriedade” (Ponte et al. 2003, p. 91).
Estamos interessados neste trabalho, na parte da Estatística denominada Inferência Estatística, mais especificamente, nos Testes de Hipóteses. Utilizou-se as concepções de Neyman e Pearson; ou seja; o contraste estatístico é utilizado como uma regra de decisão entre duas hipóteses (Batanero, 2001, p. 40). O objetivo da Inferência Estatística é obter conclusões sobre populações com base em resultados obtidos em amostras extraídas dessas populações, a fundamentação teórica (matemática) para seus métodos é a Teoria de Probabilidades; assim é possível dizer até que ponto podemos estar errando em nossas inferências, e com que probabilidade.
Em conversas com colegas professores que ministram a disciplina Estatística, estes foram unânimes em afirmar que o conteúdo Testes de Hipóteses é o mais difícil de ser ensinado e de ser compreendido pelos alunos. Atualmente (2o semestre de 2006), ministrando a disciplina Probabilidade e Estatística para o segundo ano do curso (noturno) de Licenciatura em Matemática da Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira – UNESP – SP, e da leitura dos livros: Investigações Matemáticas em Sala de Aula, de Ponte et al. (2003) e Histórias e Investigações de/em Aulas de Matemática, de Fiorentini e Cristóvão (2006), resolvemos trabalhar os conceitos básicos (iniciais) deste conteúdo através de aulas investigativas. Utilizamos também o livro: Estatística, de Spiegel (1976), para a preparação das atividades.
Os Testes de Hipóteses possuem um campo de aplicação muito amplo, porém esta parte da Inferência é provavelmente a menos compreendida, mais confundida e a que mais se tem abusado em toda Estatística. Conceitos como: hipóteses nula e alternativa; erros Tipo I e II; probabilidades destes erros; resultados significativos e não significativos; população e amostra; parâmetro e estatística (estimador); distribuição da população e distribuição da amostra, são mal interpretados e confundidos tanto por estudantes quanto por pesquisadores (Batanero, 2001, p. 47 e p. 106).
Existem atualmente controvérsias filosóficas sobre a utilização de Testes de Hipóteses. Entretanto,
os testes de hipóteses e toda a inferência são uma ferramenta muito adequada, a melhor que dispomos no momento. Ainda que não resolvam todos os nossos problemas, usados de maneira inteligente constituem um guia no processo de descobrimento científico (BATANERO, 2001, p. 48).
Para prevenir nos estudantes, futuras faltas de compreensão no uso de Testes de Hipóteses, Batanero (2001, p.114), sugere como metodologia de ensino nos cursos introdutórios de estatística, um modelo construtivista de aprendizagem, onde o papel do professor é guiar seus alunos para a aquisição de competências e conhecimentos estatísticos mais específicos, e o papel do aluno passa de simples ouvinte à uma participação mais ativa em atividades estruturadas.

O Ensino de Estatística e Aulas Investigativas
Vários estudos em educação tem mostrado que “investigar constitui uma poderosa forma de construir conhecimento” (Ponte et al., 2003, p. 10). Neste tipo de atividade os alunos aprendem com base nas suas necessidades e nos seus conhecimentos prévios.
O professor tem papel determinante nas aulas de investigação. Deve garantir a autonomia necessária para não comprometer a autoria da investigação por parte dos alunos mas também garantir que sejam atingidos os objetivos estabelecidos pela atividade. O professor é chamado a: desafiar os alunos, avaliar o seu progresso, raciocinar matematicamente e apoiar o trabalho investigativo dos alunos (Ponte et al., 2003, p. 47).
Sobre as questões do ensino de Estatística, existem atualmente três grandes correntes: (i) com ênfase no processo de Análise de Dados, tal como ela é utilizada no cotidiano da sociedade; (ii) como capítulo da Matemática, freqüentemente designado por Estocástica, destacando seus aspectos conceituais e computacionais; e (iii) como instrumento auxiliar para o estudo dos mais variados assuntos e disciplinas escolares (Ponte et al., 2003, p. 104)
O foco principal deste artigo é apresentar o ensino de Estatística com ênfase no processo de Análise de Dados, utilizando-se aulas investigativas. Para Roiter e Petocz (1996), a Estatística como Análise de Dados,
apresenta conteúdos voltados para a análise exploratória de dados, testes de hipóteses, regressão e correlação e atividades voltadas para a coleta, investigação e análise de dados e confirmação de hipóteses (ROITER e PETOCZ, 1996 apud GRÁCIO e OLIVEIRA, 2004, p.10)
	Dentre as principais dificuldades para o ensino de Estatística, Batanero (2001, p. 6) destaca a escassez de trabalhos de pesquisa voltados para o ensino de Estatística, “ainda não se conhece quais são as principais dificuldades dos alunos em muitos conceitos importantes”; destaca também a especificidade da estatística dentro da didática da matemática, “seria preciso experimentar e avaliar métodos de ensino adaptados a natureza específica da estatística, e que nem sempre se podem transferir os princípios gerais do ensino da matemática”.
Para Ponte et al. (2003, p. 108), o objeto da estatística não são conceitos simples como números e figuras geométricas, mas agregados de objetos como amostras e populações. Destacam ainda que os objetivos do ensino da Estatística enquadram-se nos objetivos do ensino da Matemática, mas revestem-se de uma natureza própria; acreditam que a única forma de desenvolver os conteúdos estatísticos que poderá levar os alunos a compreenderem o papel da Estatística na sociedade é considerar o seu ensino numa perspectiva investigativa,
os alunos trabalham então com problemas reais, participando em todas as fases do processo que tem o seu início na formulação do problema, passa pela escolha dos métodos de coleta de dados, envolve a organização, representação, sistematização, e interpretação dos dados, e culmina com a obtenção das conclusões finais (PONTE et al., 2003, p. 105).
Batanero (2001, p. 115), de certa forma concorda com as posições de Ponte et al. (2003), e considera que a análise estatística de dados não é um processo mecânico, e portanto não deveria ser ensinado ou aplicado desta forma, “uma vez que a estatística não é uma forma de fazer mas sim uma forma de pensar, que pode nos ajudar a resolver problemas nas ciências e na vida cotidiana, o ensino da estatística deveria começar com problemas reais mediante os quais os estudantes pudessem desenvolver suas idéias, trabalhando as diferentes etapas na resolução de um problema real (planejar a solução, coletar e analisar os dados, comprovar as hipóteses iniciais e como conseqüência tomar uma decisão”.
As atividades desenvolvidas em uma aula de investigação matemática e/ou estatística, relacionam-se com a resolução de problemas; o aluno torna-se ativo na construção do seu conhecimento, mobiliza recursos cognitivos e afetivos com vista a atingir um objetivo (Ponte et al. 2003, p. 22-3).
Atualmente, a resolução de problemas é utilizada e interpretada como uma metodologia de ensino; ou seja; o problema é visto como um desencadeador da formação do conceito matemático. Em Lopes (2006 e 2007), duas propostas são apresentadas para o ensino dos conceitos básicos de probabilidade, utilizando-se jogos e a metodologia de resolução de problemas.
A teoria descrita a seguir é devida à Brosseau (1996). Embora esta teoria tenha sido desenvolvida especificamente para a educação matemática, entendemos que a mesma esteja intimamente relacionada com a metodologia de resolução de problemas, e que os papéis que devem ser desempenhados tanto pelo professor como pelos alunos são plenamente pertinentes ao ensino de Probabilidade e Estatística, e a atividade de investigação proposta neste trabalho.
Para Brosseau, uma situação didática se estabelece entre um grupo de alunos e um professor que usa um meio didático, incluindo problemas, materiais e instrumentos, com a finalidade de ajudar seus alunos a reconstruir um certo conhecimento. Para obtenção da aprendizagem, o aluno deve interessar-se pessoalmente pela resolução do problema estabelecido na situação didática. De acordo com este autor,
o trabalho intelectual do aluno deve ser em certos momentos comparável ao dos próprios matemáticos. O aluno deve ter a oportunidade de investigar sobre problemas ao seu alcance, formular, provar, construir modelos, linguagens, conceitos, teorias, intercambiar suas idéias com os outros, reconhecer as que são adequadas com a cultura matemática e adotar as idéias que sejam úteis. Pelo contrário, o trabalho do professor é de certa maneira inverso ao trabalho do matemático profissional. Em lugar de “inventar” métodos matemáticos adequados para resolver problemas, deve “inventar” problemas interessantes que conduzem a um certo conhecimento matemático (BROSSEAU, 1996 apud BATANERO, 2001, p. 124-25). (grifo nosso).

A tarefa proposta
O problema “real” que estamos interessados em resolver é verificar se uma moeda é honesta. Por moeda honesta, entendemos moeda balanceada; ou seja; em um lançamento, a probabilidade de obtermos cara é igual a  ½  e  a probabilidade de obtermos coroa também é igual a ½. Para a resolução deste problema, algum procedimento decisório, matematicamente justificável, deverá ser estabelecido.
O objetivo deste artigo é descrever como as atividades foram desenvolvidas bem como apresentar as conclusões do trabalho efetuado. O material de análise foi composto de diário de campo do professor pesquisador; registros e relatórios dos alunos e também de um questionário respondido pelos alunos após o término das atividades.
A realização desta atividade estava prevista inicialmente para ser desenvolvida em dois blocos de 100 minutos cada. No final foi necessário a utilização de mais um bloco de 100 minutos, para a discussão dos erros que ocorrem quando da realização de um Teste de Hipóteses e das conclusões finais.
No início da primeira aula, cada aluno recebeu por escrito que o objetivo do trabalho investigativo seria verificar se uma dada moeda era honesta. O trabalho foi desenvolvido em pequenos grupos, no máximo quatro alunos por grupo. Todos os alunos receberam por escrito a descrição dos quatro momentos principais de uma investigação matemática e/ou estatística, seguindo as concepções de Ponte et al. (2003, p. 21):
•	reconhecer a situação-problema e formular perguntas;
•	organizar os dados e formular a(s) conjectura(s);
•	realizar testes e refinar a(s) conjectura(s) se necessário;
•	justificar a(s) conjectura(s) e avaliar o resultado do raciocínio.
Cada grupo deveria anotar com detalhes os raciocínios utilizados no desenvolvimento da tarefa e elaborar um relatório parcial, uma vez que os mesmos seriam recolhidos ao final de cada bloco de 100 minutos. Deveriam também anotar diálogos entre os elementos do grupo, justificando suas posições. Esta atividade foi avaliada e sua nota considerada como nota de trabalho no computo da nota final.
Em cada etapa, os alunos receberam sempre por escrito as atividades que deveriam ser desenvolvidas. Após a entrega de cada ficha, fizemos uma leitura e procuramos destacar o que se esperava do grupo, para o cumprimento daquela etapa. Ao final de cada etapa, o que correspondeu praticamente ao final de cada aula de 50 minutos, realizamos uma pequena plenária para socializar os resultados discutidos nos grupos.
Durante a realização dos trabalhos, procuramos sempre que solicitado auxiliar o grupo no desenvolvimento de suas tarefas, sempre respondendo uma pergunta com outras perguntas, de modo a induzir os alunos naquilo que se esperava do grupo. Nunca fornecemos a resposta pronta para as questões levantadas.
As perguntas formuladas em cada etapa, tinham por objetivo direcionar os alunos para o estabelecimento de uma adequada Regra de Decisão, bem como fazer com que refletissem sobre a eficiência da regra proposta; ou seja; perceber os tipos de erros que são inerentes a um processo que envolve testes de hipóteses.
Após a explanação das atividades investigativas, distribuímos para cada grupo uma moeda. Quando da realização das tarefas da primeira etapa, os alunos já começaram a fazer lançamentos da moeda. Assim, cada grupo recebeu um copo plástico com o objetivo de facilitar estes lançamentos. Para não interferir no raciocínio dos alunos sobre a necessidade da realização de testes (lançamentos), tínhamos a princípio imaginado fornecer o copo plástico apenas na segunda etapa. A intersecção entre as etapas de uma investigação matemática e/ou estatística não é vazia. Isto concorda com o estabelecido em Ponte et al. (2003, p. 31),
em muitas tarefas de investigação, os alunos são levados a começar por gerar (mais) dados e a organizá-los, e só depois começam a conseguir formular questões. Por vezes, as conjecturas surgem logo na seqüência da manipulação desses dados. Por sua vez, o surgimento de conjecturas leva à necessidade de fazer testes, o que pode exigir que sejam gerados ainda mais dados.

O desenvolvimento das aulas

No primeiro dia as atividades foram desenvolvidas em duas aulas, com aproximadamente 50 minutos cada uma.

Aula 1: Preparação das questões de investigação. Cada aluno recebeu uma ficha de trabalho conforme indicada no Quadro 1.

QUADRO 1. Procedimento estatístico para verificar se uma dada moeda é honesta.
(1a etapa)
1a. Qual variável (ou variáveis) aleatória deve ser considerada na investigação?
2a. Pode-se decidir se a moeda é honesta (balanceada) apenas por inspeção das suas características fisico-químicas? De outra maneira, apenas olhando para uma moeda você consegue decidir se a moeda é honesta?	

A partir deste momento e até o final do texto, todos os nomes de alunos são fictícios.
Com relação a primeira pergunta, alguns alunos não conseguiram definir a princípio corretamente a variável aleatória que seria utilizada na investigação, conforme pode ser constatado pelo diálogo dos alunos do grupo 3:
Samuel: Acho que o modelo de variável aleatória será a de Bernoulli.
Hélio: Por que?
Samuel: Porque ela assume só dois valores, fracasso ou sucesso.
Hélio: Se ela assumir o modelo de Bernoulli é porque ela já é honesta.
Samuel: Não necessariamente.
Fabiana: Não acho. Se for, será o modelo Binomial, pois são n vezes  o de Bernoulli.
Hélio: Eu acho que a variável aleatória é 0, 1. Zero para fracasso e Um para sucesso.
	Dois grupos definiram adequadamente a variável aleatória. Para o grupo 4: “Seja X uma variável aleatória discreta onde X representa o número de caras” e para o grupo 1: “X: número de sucessos (K:cara) em n lançamentos, X ~ Bin(n , p)”.
	Como resposta à segunda pergunta imaginávamos que os alunos responderiam simplesmente que por inspeção visual não é possível concluir se uma dada moeda é honesta ou não. Entretanto as palavras físico-químicas aguçaram o espírito criativo dos alunos. O grupo 1 apresentou a seguinte proposta:
	“determinar o centro da circunferência e colar um fio de cabelo neste centro. Depois, suspender a moeda através do fio. Se a moeda permanecer num plano perpendicular ao fio então ela é balanceada”.
O aluno Cássio retirou um fio de seu longo cabelo, Gisele apanhou de seu material escolar, um tubo de cola e Fernando logo concluiu: Professor, com “tenaz” não dá. Do episódio, percebe-se que o grupo considerou este procedimento não plausível, pelo menos para ser desenvolvido naquele momento na sala de aula. Isto concorda com o estabelecido em Ponte et al. (2003),
é muito natural que os alunos formulem questões em que o professor não pensou. De fato, é mesmo impossível antever todas as explorações que podem surgir a partir de uma tarefa matemática verdadeiramente aberta e estimulante. [...] A realização de investigações proporciona, muitas vezes, o estabelecimento de conexões com outros conceitos matemáticos e até mesmo extramatemáticos (PONTE et al., 2003, p. 49-51).
	Todos os grupos relataram a necessidade de serem efetuados alguns lançamentos e comparar os resultados de tais lançamentos para poder concluir se a moeda é honesta ou não. Para o final desta etapa, ainda não estava muito claro para os alunos quantos lançamentos seriam necessários. Mencionaram 10, 40 e n lançamentos. Para o grupo 1 a medida que n aumenta pode-se concluir pela honestidade da moeda.
O grupo 6 realizou 3 testes com n = 2, n = 10 e n = 60, anotou os resultados obtidos para caras e coroas e concluiu: 
“Assim, a medida que aumentamos o número de lançamentos, os resultados ficam mais significativos”.
	Como se sabe, a única forma de reduzir simultaneamente os erros do Tipo I e II é aumentar o tamanho da amostra, o que nem sempre é possível.

Aula 2: Formulação das conjecturas. Cada aluno recebeu uma ficha de trabalho conforme indicada no Quadro 2.

QUADRO 2. Procedimento estatístico para verificar se uma dada moeda é honesta.
(2a etapa)
1a. Formular conjecturas para verificar se a moeda é honesta. Mais especificamente, formular uma regra de decisão a qual permite verificar se uma dada moeda é honesta.
2a. Existem apenas duas situações possíveis para a questão aqui investigada. A moeda é ou não é honesta. Existe a possibilidade de você tomar uma decisão errada? Mais especificamente, você pode decidir que a moeda é honesta quando na verdade ela não é? Você pode decidir que a moeda não é honesta quando na verdade ela é honesta?
3a. Qual o procedimento que será adotado para obter as respostas às suas conjecturas? Pretende usar uma amostra? De que tamanho?	
	Inicialmente, os grupos sentiram algumas dificuldades em estabelecer a regra de decisão, não tinham muito claro como deveria ser. Após algumas discussões, esclarecemos que deveriam elaborar uma regra clara e se possível de fácil aplicação. Como motivação propusemos a seguinte regra de decisão:
“Jogar a moeda até o teto. Se ficar grudada no teto consideramos que a moeda é desonesta, se cair no chão concluímos que a moeda é honesta”.
Pela reação dos alunos (silêncio), devem ter considerado esta proposta não muito adequada, mas acreditamos também que entenderam o que seria uma regra de decisão.
Destacamos a seguir as propostas de alguns dos grupos.
	Os alunos do grupo 5 concordavam que deveriam fazer lançamentos da moeda, entretanto não chegavam a um acordo sobre o número de lançamentos, conforme diálogo a seguir.
Sonia: Fazemos 40 lançamentos, cada pessoa do grupo faz 10 e contamos o número de caras e coroas.
Beatriz: Mas isso não é uma regra de decisão. Professor, estamos num impasse.
	O grupo já havia escrito a seguinte conjectura: 
“Uma conjectura para que a moeda seja honesta é fazer experimentos aleatórios com um número grande de vezes (o máximo possível), pois assim as probabilidades de cara e coroa se aproximará da metade”.
	Questionei o grupo sobre o que seria um número grande de vezes (o máximo possível).
Beatriz: Não tem como fazer muitos lançamentos, a gente se cansa.
Professor: Você não poderia fazer uma simulação usando o computador. A máquina não se cansa, não erra e também não reclama.
	Depois de algumas discussões, concordaram que a regra de decisão proposta seria:
“A regra de decisão adotada será de 40 lançamentos e se obtivermos 20 caras e 20 coroas consideraremos que a moeda é honesta”.
	Nada mencionaram sobre a questão de se tomar uma decisão errada; ou seja; dos erros envolvidos neste processo.
	O grupo 1 apresentou a seguinte regra de decisão:
“através de experimentos, após n lançamentos, para n grande, observamos a razão x/n (x denota o número de caras), se ela se aproximar de ½ a medida que n aumenta, podemos concluir que a moeda é honesta”.
	Embora não tendo escrito nada sobre o número de lançamentos em seu relatório, os alunos do grupo 1 tinham imaginado120 lançamentos e já possuíam uma noção bastante clara do que deveriam fazer, conforme pode ser observado no seguinte diálogo, com alunos deste grupo:
Fernando: Professor, posso usar os conceitos já estudados na disciplina.
Professor: Claro, este é o objetivo, usando o que você já aprendeu dar um passo à frente.
Fernando: Posso usar Intervalo de Confiança?
Professor: Sim.
Fernando: Para maior segurança, vou usar  = 1 %.
Cássio: Não precisa, vamos usar  = 5%.
	O diálogo anterior mostra também como em uma atividade de investigação o aluno torna-se ativo na construção do seu próprio conhecimento. O aluno é levado a utilizar o que aprendeu para resolver outros problemas, o que exige transferências, retificações e rupturas. Assim, um conceito se constrói articulado com outros conceitos através de uma série de generalizações. 
Ao final da segunda aula (primeiro bloco de 100 minutos), os relatórios foram entregues e serviram de subsídios para as considerações aqui apresentadas.

Aula 3: Realização dos testes e registro dos dados.
No início da terceira aula, realizamos uma pequena plenária para discutir as regras de decisão apresentadas pelos grupos. Como esta aula foi realizada no dia seguinte, tivemos a oportunidade de ler e estudar todas as propostas apresentadas pelos grupos. Conforme o grupo apresentava a regra, fazíamos uma discussão sobre a sua eficácia. Destacamos duas das propostas apresentadas.
O Grupo 1, embora não tendo redigido a regra, mencionou que decidiria que a moeda seria honesta se em 120 lançamentos o número de caras ficasse compreendido entre 44 e 76 caras. Chegaram a estes números, trabalhando com conceitos de intervalo de confiança para a média.
Discutindo com a classe, os alunos perceberam que a proposta do Grupo 5 não era adequada, pois lançando uma moeda honesta 40 vezes a probabilidade de obtermos 20 caras é muito pequena. Neste caso, ; assim a chance de errarmos na nossa decisão seria muito grande. Finalizando as discussões, concordamos em adotar a regra do Grupo 1. Assim, cada aluno recebeu uma ficha de trabalho conforme indicada no Quadro 3.

QUADRO 3. Realização dos testes e registro dos dados.
(3a etapa)
1a. Realizar os testes formulados na regra de decisão, para responder às suas conjecturas.
2a. Refinar as conjecturas caso necessário.
3a. Registrar os dados obtidos nos testes realizados.	

	Esta etapa foi considerada pelos alunos a mais fácil e rápida, embora alguns grupos insistissem em suas antigas regras de decisão, tentando melhorá-las.
Os resultados obtidos pelos grupos em 120 lançamentos da moeda foram:
Grupo	Número de caras	
1	60	
2	60	
3	62	
4	62	
5	62	
6	56	
	No final desta aula, e do acordado com os alunos, formulamos a seguinte regra de decisão:
Regra de Decisão: Para testar a hipótese de que uma moeda é honesta, adotamos a seguinte regra de decisão:
(a) Aceitar a hipótese, se o número de caras, em uma única amostra de 120 lançamentos, estiver entre 44 e 76.
(b) Rejeitá-la em caso contrário.
	Assim, pela regra adotada acima, todas as moedas utilizadas pelos seis grupos foram consideradas honestas.

Aula 4: Justificativa das conjecturas. Cada aluno recebeu uma ficha de trabalho conforme indicada no Quadro 4.

QUADRO 4. Justificativa da regra proposta e estudo dos erros.
(4a etapa)
1a. Usando conceitos de probabilidade, justificar matematicamente as suas conjecturas.
2a. Interpretar geometricamente a regra de decisão proposta na segunda etapa.
3a. A regra de decisão proposta é 100% segura? Caso contrário, especificar os tipos de erros que podem ocorrer?	

	Como já era esperado esta foi a etapa mais difícil para ser vencida, utilizamos aproximadamente três aulas de 50 minutos cada uma. A principal dificuldade dos alunos foi perceber os tipos de erros envolvidos em um Teste de Hipóteses.
	Os alunos do grupo 4 não consideraram a regra conforme havia sido estabelecido. Para este grupo, a moeda seria honesta se o número de caras estivesse entre 48 e 71 em 120 lançamentos. Calcularam esta probabilidade supondo p = 1/2 e obtiveram a probabilidade de p96,35%. Finalizaram o relatório representando a distribuição normal reduzida, hachuraram a área entre –2,19 e 2,01 e a chamaram de “área de aceitação” a área deixada em branco, denominaram de “área de não aceitação” e concluíram:
“portanto a moeda é realmente honesta com pequena chance de erro (de 3,65% aproximadamente)”.
	Os alunos deste grupo raciocinaram utilizando conceitos de intervalos de confiança, considerando a média 2 desvios-padrão. Entretanto, em vez de considerar 49 caras consideraram 48 e assim perderam a simetria do intervalo. Neste caso devemos considerar um teste bilateral, o que acabou não ocorrendo.
	Quatro grupos consideraram a regra conforme havia sido estabelecido e calcularam supondo p = ½ , a probabilidade do número de caras ocorrer entre 44 e 76, obtiveram a probabilidade p99,64%. Embora já tivesse sido trabalhado com a classe a correção de continuidade quando aproximamos uma variável aleatória discreta por uma variável contínua, nenhum dos grupos usou esta correção. Caso utilizassem a correção obteriam p99,74%; ou seja; uma diferença neste caso de apenas 0,1%.
	O grupo 5 representou graficamente a distribuição normal reduzida , hachurou a área entre –2,92 e 2,92 e a chamou de “parte onde a moeda é honesta”, a área deixada em branco foi denominada de “área de rejeição”; sobre a questão dos erros os alunos deste grupo apenas escreveram que “a regra de decisão não é 100% segura”.
	Os alunos do grupo 3 representaram graficamente a distribuição normal com média 60 e desvio-padrão 5,47; hachuraram a área compreendida entre 44 e 76 e indicaram: “se cair aqui decidiremos que a moeda é honesta”. Concluíram o relatório dizendo:
“temos que a regra de decisão proposta, não é 100% segura, pois, pode acontecer que o número de caras não caia no intervalo, e mesmo assim a moeda ser honesta”.
Para o grupo 6, considerando 60 lançamentos e aceitando que a moeda é honesta se o número de caras estiver entre 25 e 35, concluíram que:
“a aceitação para que essa moeda seja honesta é de 0,803 e negação de 0,197; logo existe uma pequena probabilidade da moeda ser honesta mas por essa regra ser acusada de desonesta”.
Ao final da quarta aula (segundo bloco de 100 minutos), os relatórios elaborados em cada grupo foram recolhidos, não houve tempo para discussão plenária dos resultados obtidos.

Aulas 5 e 6: Justificativa da regra de decisão e estudo dos erros.
	Do exposto anteriormente e considerando os relatórios dos grupos, pode-se concluir que os alunos tinham razoavelmente claro quando deveriam aceitar a hipótese que a moeda seria honesta e qual era esta probabilidade. Ao contrário pouco tinham avançado na questão dos erros envolvidos. Um grupo observou que a regra não era 100% segura, outros mencionaram chances pequenas de erro, sem no entanto caracterizar este erro. Os grupos 3 e 6 foram os que melhor conseguiram caracterizar o Erro Tipo I.
No início desta aula, realizada na semana seguinte, os grupos 3, 4 e 5 apresentaram as suas conclusões, destacando graficamente a região onde a hipótese seria aceita e o que haviam concluído sobre os erros.
Após a exposição destes três grupos, esclarecemos que o trabalho ainda não estava completo, deveriam tentar caracterizar melhor os erros que estavam envolvidos na regra de decisão. Na 4a etapa , deveriam especificar os tipos de erros envolvidos, como está no plural, isto deve ser um indicativo da existência de mais de um tipo erro.
	Destacamos a seguir, com base nos relatórios dos grupos, recolhidos ao final do terceiro bloco de 100 minutos e das observações feitas em sala de aula, as principais conclusões obtidas pelos grupos 3 e 6.
	O aluno Hélio, do grupo 3, foi o primeiro a perceber a existência de dois tipos de erros, conforme diálogo abaixo:
	Hélio: Professor existe duas possibilidades. Primeira, a moeda ser honesta e não cair no intervalo e segunda, a moeda ser desonesta e cair no intervalo.
	Professor: Muito bem.
	Hélio: Se ela for desonesta temos que a média dela é diferente de 60, mas há inúmeras possibilidades, qual delas eu calculo. Só uma delas?
	Professor: Qual é o objetivo da Regra de Decisão? Quando você aplicou a Regra de Decisão já sabia se a moeda era honesta ou não? Pensem mais um pouco.
	Depois de algum tempo e de outras intervenções, o grupo concluiu que deveria particularizar uma situação. Escolheram E(X) = 70, calcularam a probabilidade de X estar entre 44 e 76, obtiveram a probabilidade p0,86 e concluíram:
“se ela for desonesta com média 70, a possibilidade de em 120 lançamentos a quantidade de caras cair entre 44 e 76 é de 86%, percebemos também que quanto mais distanciamos a média da moeda desonesta da moeda honesta, a probabilidade de cair no intervalo será menor”.
O grupo tinha assim caracterizado com correção o erro Tipo II. Escreveram ainda:
“E a possibilidade dela ser honesta e cair fora do intervalo é de 0,0036 ou 0,36%”.
Desta forma os alunos deste grupo haviam também especificado o nível de significância  do teste de hipóteses. O nível de significância  é numericamente igual a probabilidade de cometer o Erro Tipo I.
O grupo 6 também caracterizou corretamente os dois tipos de erros. Relataram:
“são dois erros possíveis:
(i) dizer que a moeda é honesta, quando na verdade ela é desonesta;
(ii) dizer que a moeda é desonesta quando na realidade for honesta.
Assim:
(i) ocorre quando o número de caras pertence ao intervalo [44 , 76] e a moeda é desonesta;
(ii) ocorre quando o número de caras está fora do intervalo e a moeda é honesta”.
Para o item (i) – Erro Tipo II - o grupo apresentou o cálculo da probabilidade do número de caras estar entre 44 e 76 para p = 0,6 e obtiveram p77,03%; já para (ii) – Erro Tipo I, indicaram: 100 – 99,64 = 0,36%.
Após o término das atividades investigativas, na aula do dia seguinte, utilizando a resolução de três problemas, sistematizamos e formulamos os conceitos básicos sobre Testes de Hipóteses, a saber: Hipóteses Nulas e Alternativas, Nível de Significância, Erros Tipo I e Tipo II, Região de Aceitação, Região de Rejeição, Curva Característica de Operação e Poder do Teste.
	Os alunos, através de um questionário com perguntas abertas, realizaram uma avaliação das atividades desenvolvidas. Solicitamos que os questionários fossem respondidos sem a identificação dos alunos. A grande maioria nunca havia participado de uma atividade didática de investigação. Das respostas fornecidas pelos alunos, acreditamos ter alcançado algum resultado positivo no processo de ensino e aprendizagem:
“a forma como foi abordado o trabalho permitiu que o assunto [ficasse] mais compreensível. Em geral ver os problemas na prática produz um conhecimento maior em relação à apenas teoria”;
[...] permite um conhecimento mais amplo sobre o objeto a ser investigado já que o mesmo não é simplesmente imposto para nós [...]”;
“permitiu-me aprender a analisar os fatos fora da teoria para assim formular uma”;
“eu como professor de matemática, seja em qualquer nível de ensino, devo ter mecanismos de ensino que facilitam a compreensão de certos assuntos. Este trabalho foi um bom mecanismo;
“as idéias nunca são desperdiçadas, sempre é ouvida e criticada pelos integrantes do grupo, até que cheguem num consenso comum”;
“a interação em grupo abre nosso olhar e podemos aprender mais ao falar sobre o assunto com outras pessoas”.
	Observamos assim que em uma atividade de investigação,
o aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação com os seus colegas e o professor (PONTE, et al., 2003, p. 23).
	Como este trabalho foi aplicado para futuros professores de matemática, a atividade de investigação poderá ser utilizada em suas práticas de sala de aula, para outros tópicos de matemática, podendo assim contribuir para a melhoria do processo de ensino e aprendizagem. 

Conclusões
	A atividade de investigação despertou muito interesse por parte dos alunos. A grande maioria trabalhou solidariamente, tentando sempre cumprir com as tarefas que foram propostas. O fluxo de alunos que saem da sala de aula diminuiu. Chamou a atenção um aluno que em aulas de 100 minutos, costuma sair de uma a duas vezes da sala, e neste trabalho, liderou o grupo, apresentou as melhores idéias e não saiu da sala por nenhum momento. No final da quarta aula, um outro aluno observou, “já são 9:00 horas [21:00 h], como passou rápido”. Alguns grupos ficavam após o final da aula para cumprirem a tarefa.
	O desenvolvimento da atividade de investigação propiciou nos alunos uma participação ativa na construção dos seus conhecimentos, através da necessidade de resolver as questões propostas e também da utilização de seus conhecimentos prévios sobre o assunto estudado. Um aluno destacou: “ [...] quando os conceitos foram dados de maneira formal, a associação foi mais rápida e a discussão nos fez olhar o problema probabilístico com outros olhos”.
	Observamos que ocorreu uma cooperação mútua entre os alunos na busca da solução para as questões apresentadas. Existiu uma troca de concepções e conhecimentos entre os alunos, estes aprendem a defender suas idéias, primeiro dentro do próprio grupo, depois para o resto dos colegas e também para o professor; aprendem também a lidar com idéias e posições diferentes das suas. O trabalho em grupo promoveu nos alunos o desenvolvimento de suas capacidades de crítica e reflexão. Enfim, os alunos aprendem a comportar-se como cidadãos ativos e responsáveis.
	A proposta deste artigo segue a atual tendência do ensino de Estatística. A forma como o trabalho foi desenvolvido, torna o ensino mais prazeroso e o aluno um ser ativo no processo de ensino e aprendizagem. Mudar a forma de se ensinar é uma tarefa árdua e lenta; mas só depende de nós, professores.
Finalmente, a Estatística foi caracterizada como um processo que envolve a realização de investigações, formulando questões, coletando dados, fazendo inferências, e a partir daí, colocando novas questões e reiniciando o ciclo investigativo (Ponte et al., 2003, p. 108).

Referências bibliográficas
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LOPES, J. M. Probabilidade Condicional através da Metodologia de Resolução de Problemas. Revista do Professor de Matemática, São Paulo: SBM, no 62, p. 34-9, 2007.
PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações Matemáticas na Sala de Aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2003, 151p.
SPIEGEL, M. R. Estatística. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977, 580p.